OKAWA Satoshi

大川 知

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大川, 知

2532

オオカワ, サトシ

OKAWA, Satoshi

Hachinohe Institute of Technology Repository / 八戸工業大学学術リポジトリ

制 約 の あ る ス ノヾ ン ニ ン グ プ リ問 題 とこ つ とヽて大川 知*On the Spanning Tree Prob■ems with RestrictionsSatoshi OKAWAAbstractMany probrems  concerning  network design  are very important  andconsidered to be diffdicult combinatorial problems to solve. In fact,most of them are kROWn tO be NP―complete.We define a new network design problem ( and its subproblems ),thesapanning caterpillar problem, that is,the problem to decide whetheror not, for a graph C ( with the  degree at most d ) given as input,there  exists a spanning  caterpillar in Go  Ve show this problem isNP―complete even if d≦3.  It is a trivial problem for d≡≦2 because aconnected graph with the degree at most 2 is a cycle or a path.   Soour result is best for the degree constraint.1.ィよじめに多数の計算機を相互に接続 し、分散的な環境で各種の処理を行なうことの利点があきらかになり、計算機ネットワークが構築されている。特に最近は、エンジニアリングワークステーション(EWS)やパーソナルコンピュータ(Pc)をも含めて、ネットワークを構成したり、それらを中心とした構内ネットワークを構築 したりすることが多 くなっている。資源の少ない小型計算機の利用者は、ネットワークを介 して大型機や他の資源を利用できるので、恩恵はきわめて大 きい。このようなネットワークは計画的に構築された場合も含め、次々と新 しい計算機がネットワークに加わって、乱雑なネットワークになりがちである。昭和63年12月15日受理* 電気工学科助教授-31-そこで、既存のネットヮークを見直し、ある意味で最適なネットヮークに改造するという問題が生 じる。本稿では、このようなネットヮークの問題を、グラフの問題として定式化 して考察 し、最適なネットヮークを得るのは困難であることをあきらかにする。2.準備本節では、グラフ、問題、計算量など基本的な事項について簡単に説明する (詳細は文献 (1)(2)などを参照)。 次に、本稿で考察する問題に関して必要な定義等を与え、最後に問題の定義をする。グラフとは有限集合Vと, vの元の対 (u, v)(u≠v)の有限集合Eからなる組G=(V, E)である。Vの元を点、Eの元を枝という。Gにおいて、枝 (u,v)と枝 (v,u)を区別するとき有向グラフ、区別しないとき無向グラフという。本稿では、無向グラフだけを考え、無向グラフの意味でグラフということにする。問題 とは、通常、値が不定になっているパラメータゃ変数を含む一般的な形をした問題のことである。不定になっているパラメータゃ変数に具体的な値を入れたものを問題の実例 (instance)という。例えば、2次方程式を解く問題といえば、不定のパラメータa,b, cを含むax2+bx+c=0を解 く問題を意味 し、a=1, b=2, c=1としたx2+2x+1=oはその実例である。ある問題を解 くアルゴリズムとは、上述の意味の一般的な形の問題について、どのような実例が入力されても解くことができる解法を意味し、特定の実例を解 くというものではないことに注意する。ある問題を解 くのに要する計算時間を考えるとき、実例の大 きさに依存すると考えるのが自然であるから、長さnの実例に対 してt(■)ステップ以下で計算できるとき、その問題の時間計算量はt(■)であるという。基本ステップとして何をとるかは計算機モデルに依存する。本稿では計算機モデルとして(非決定性)Turing機械を考える。問題を解 くのに要する時間によって問題の難 しさを測ることができる。非決定性TuriRg機械によって多項式時間で解 くことのできる問題のクラスをNPと表わす。ある問題PがNPに属 しており、しかもNPに属する他のすべての問題P'が決定性Turing機械で多項式時間でPに変換可能であるとき、PはNP完全な問題であるという。NP完全な問題 とは、NPの中で最も難しい問題で、現実的な時間 (決定性多項式時間)で解 くアルゴリズムが存在しない問題と考えられている。次に本稿で考察する問題について述べる。前節で述べたように、ネットヮークは次第に乱雑なものになりがちであるので、それを編成 しなおす必要が生 じる。このとき、幹線と支線とが生 じるのはやむを得ないとしても、末端からでも十分速 く幹線に入れるようにしなければ、ネットヮークの利用者か-32-―ら不満が出ることはあきらかである。このようなことを考慮 して、末端から長さ1の道で幹線に入ることのできるように幹線を決定する問題を以下に定式化する。まず、末端から長さ1で幹線に入るようなグラフ、キャタピラ (caterpillar)を定義する。すなわち、キャタピラとは、次数1の点を除去 して得 られるグラフが道 となる木Tc=(V, E)のことである。このとき、残 った道をキャタピラの幹といい、ネットワークの幹線に対応する。あきらかに、道、スターグラフもキャタピラである。グラフGのスパンニングキャタピラ(spanning caterpi H ar, SC)とは、Gのすべての点を連結するキャタピラのことである。本稿で扱う問題は、SCを用いて次のように定義される。スパンエングキャタピラ問題SC:グラフGが与え られたとき、GにSCが存在す るかどうかを判定せよ。次数制限スパンニグキャタピラ問題SC(d):次数がd以下 のグラフGが与えられたとき、GにSCが存在するか どうかを判定せよ。最後 に、次節で必要なことを命題 としてあげてお く。[命題 1]問題PがNPに属 しており、 しか も、既 にNP完全であることが知 られている問題P'がPに多項式時間で変換可能ならば、PもNP完全である。[命題2]i)グラフに対するハ ミル トン道問題HP・はNP完全である。ii)次数3以下のグラフに制限したときハ ミル トン道問題HP(3)もNP完全である。3。 結果前節で定義 した問題について考察する。問題SC(d)がNP完全であることが示されれば、問題SCもNP完全であることになるから、前者だけを考えれば十分であるが、後者は証明の基本的な考え方をよく表わしていると考えるので、本稿では両者について証明を与える。グラフGのハ ミル トン道(HP)はSCであるが、 SCは一般にはHPではないから、 SCからHPを得ることができるようにするのが本節の証明の基本的な考え方である。問題HPは次のような問題である。グラフGが与えられたとき、Gのすべての点を1回だけ通るような道が存在するかを判定せよ。-33-―*[定理1]問題SCはNP完全である。(証明)問題SCがNPに属することはあきらかであるから、問題HPが問題SCに多項式時間で変換可能であることを示 して、問題SCがNP完全であることを証明する。問題HPの実例をG=(V,E)とする。Gにおいて、d(v)=1の点は存在 しないものとする。ここで、了=v∪(v' lv∈V)、こ=E∪((v,v')lv∈V)とし、6=(V,百)を構成する。この6を構成するのに要する時間は、klVI(k:定数)以下、すなわち多項式時間以下である。このとき、次の命題が成立する。[命題] GにHPが存在する必要十分条件は、6にSCが存在することである。(⇒)Gにハ ミル トン道H=(V,EH)が存在するとする。Cの構成法からT=(▼, EH∪{(v, v')lv∈V})とすると、あきらかにTはGのScである。(←)6にSC=(V, Ec)が存在す るとする。 あきらかに、 (V, Ec―{(v, v')lv∈V))はGのハ ミル トン道である。よって問題HPが問題SCに多項式時間で変換 されることが示 された。[定理2]問題SC(3)はNP完全である。(証明)定理 1の証明と同様にして問題HP(3)を問題SC(3)に多項式時間で変換可能であることを示す。G=(V,E), d(v)≦3を問題HP(3)の実例 とする。Gに次数2の点があるときは、簡単な変形で解消できるから、Gは次数 3の正規グラフであるとする。このとき、次の操作によってG'三(V',E')を構成する。 (図1参照)X(3) X(5)XX(4)⇒ V(0)z(1) V(2)V(5)V(4)y(3)y(1)V(1)yZ(0)V(3)Z(5)図l Gの点vとvに対するG'の部分グラフG(v)y(2)-34-―V'=∪V(V)、ここで 、V∈VV(v)=(V(1)十二=0,1,・・・ 5}とする。加算は6を法とする加算を表わすものとし、E(v)=((V(1),V(1+1))li=0,1,2,“・,5}とし、G(v)=(V(V),E(v))とする。さらに、Eの各枝 (u,v)に対応させて、あるj, kについて (u(2j), v(2k))なる枝をつける。このとき、vに接続 している3本の枝に対応する枝をすべて異なる点につけるようにkを選ぶ。このEの枝に対応 した枝の集合をEOとし、E'=∪E(v)∪E。とする。このとき、次の命題が成立する。V∈V[命題] Gにハ ミル トン道が存在する必要十分条件は、G'にSCが存在することである。(⇒)Gのハ ミル トン道 H=(V,EH)が存 在 す る とす る。 それ が 、であるとする。Hの各枝 (vl, Vl+1)∈EH⊂Eに対応するG'の枝が、(vi(2 ki),vi+1(2ji+1))∈E。であるとする。G(v)=(V(v), E(v))において、v(2j)とv(2k)とを結ぶ長さ4の道をv(2j)→v(2k)とする。このときvl(2kl+1)vl(2kl+2)→vl(2kl)v2(2j2)→v2(2k2)‐・・…ⅢVi_1(2kn-1)vl(2jl)→vi(2kl)vI+生(2k)v(2j i+1)・・・中●vn~1(2kn-1)vn(2j n)―→v(2j n+2)v(2i n+3)は、G'の道となり、この道に入っていない点は、G'及び、道の構成法から、道から距離1で道に至る点である。従って、この道に入っていない全ての点qに対 してqに隣接 している道の点のうちの1つpについて、 (p, q)をこの道に付加 したグラフはG'のSCである。(←)G'にSCが存在するとする。C'の構成法からSCの幹は、各v∈Vについて、V(v)の元が一団になっているから、そのブッロクをB(v)と表わすことにすると、B(vl)B(V2)°中B(vn)とな ってい る。そ こで、V lV2…Vnをとると、これはあきらかにGのハ ミル トン道である。よって問題HP(3)が問題SC(3)に多項式時間で変換されることが示された。-35-4.むすび本稿では、計算機ネットワークの再編成に関する問題を、グラフGが与えらえたときGにスパンニングキャタピラが存在するかどうかを判定する問題として定式化 した。そしてこの問題がNP完全であることを示 した。さらに、この問題の入力のグラフについて次数を3以下に制限した場合についても、NP完全であることを示 した。次数が2以下の連結グラフは、道であるかサイクルであるかのいずれいかであるから、スパンニングキャタピラが存在することはあきらかである。従 って本稿で示 した結果は、多項式時間で解ける場合とNP完全となる場合の境界を明確にしたことになる。SC問題の他の部分問題として、幹の長さをできるだけ短 くする問題も考えられる。この問題は、端局がどの主局にもできるだけ速 くアクセスできるようにするという課題に対応するものである。この問題についても,NP完全であることが示されているが (3)、長さに関 して多項式時間で解ける場合とNP完全となる場合の境界については未解決である。文献1) Fo Harary,"Graph Theory",Addisan―Wesle2)M.R.Garey,Do S.Johnson,"Computers and lnstractitability",V.H.Freeman and CompaRy,18793)大川 知、"スパ ンニ ングキ ャタ ピラ問題 につ いて"、情報処理学会第38回全国大会論文集 (1989)-36-

On the Spanning Tree Problems with Restrictions

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制約のあるスパンニングツリー問題について

制約のあるスパンニングツリー問題について

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