Wollring, Bernd

German

Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM)

GDM-Mitteilungen 96 · 2014 Rezensionen 67Schmitt-Hartmann, Reinhard und Herget, Wilfried:Moderner Unterricht – Papierfalten im Mathematikunterricht 5–12Rezensiert von Bernd WollringZuerst. Es ist begrü-ßenswert, dass ReinhardSchmitt-Hartmann undWilfried Herget ein Buchzur Papierfaltgeometrievorlegen, noch dazu fürdie Sekundarstufe. Dasklingt zunächst ein we-nig nach „Basteln in derMathematik“, nach derAnkündigung speziellenLustgewinns beim Befas-sen mit einer bestimmten Art von Mathematik,ganz ähnlich, wie es auch bei den „etwas ande-ren Aufgaben“ der Fall ist, für die Wilfried Hergetbekannt ist.Aber das ist nicht so, denn Papierfalten ist ei-ne Artikulation geometrischer Prozesse, es ist einhändisches Darstellen von Abbildungen an Figu-ren, wie es in den Bildungsstandards der Kultus-ministerkonferenz im Inhaltsbereich „Raum undForm“ sowohl für die Sekundarstufe I als auchfür die Primarstufe angesprochen wird. Papier-falten schafft eine mächtige Handlungs-Sprachezu geometrischen Konstruktionen. Vielen Men-schen, Jugendlichen wie Erwachsenen, mathema-tikfernen wie mathematiknahen, macht es erhebli-che Schwierigkeiten, Papierfaltkonstruktionen mitgesprochenen oder geschriebenen Texten zu be-gleiten. Das erfordert eine fundierte situative Spra-che auf der Basis alltäglicher Erfahrung oder eineelaborierte und trainierte Fachsprache. Man versu-che einmal, das Falten der vielen Kindern geläufi-gen Figur „Himmel und Hölle“ ohne Benutzen derHände in einen gesprochenen oder geschriebenenText zu fassen. Deutlich wird, welch starke Sprachein den handelnden Händen steckt.In diesem Buch werden ausschließlich Faltun-gen vorgestellt, die gradlinige Faltlinien erzeugen,die dargestellten Figuren bestehen aus gefaltetenStrecken, Strahlen oder Graden. Das ist eine deut-liche, wenn auch sehr zweckmäßige Einschrän-kung. Man findet durchaus Verpackungen, bei de-nen krummlinige Faltkanten im dreidimensiona-len Raum entstehen. Kreise und Kurven sind alsoFiguren, die das hier vorgestellte Papierfalten nichterschließt, wohl aber gerade Linien und gradlinigbegrenzte Vielecke.Die Kraft des Papierfaltens liegt darin, dass vie-le seiner Konstruktionen auf Achsenspiegelungenberuhen. Versuche zum Axiomatisieren des Pa-pierfaltens ähnlich den Axiomen der euklidischenGeometrie zeigen, dass man mit Papierfaltungenmehr konstruieren kann als mit Zirkel und Line-al. Bereits ein Blick in das Inhaltsverzeichnis desBuches belegt dies: Unter den Aufgaben ab Klas-se 7/8 findet sich die „Dreiteilung eines Winkels“,euklidisch nicht lösbar. Das wirft die Frage auf,ob hier eine Art probierende Konstruktion vorliegtoder eine Konstruktion, die das gesuchte Objektlediglich näherungsweise darstellt. Beides ist nichtder Fall, denn das Papierfalten erlaubt weiterge-hende Konstruktionsmuster als das Konstruierenmit Zirkel und Lineal. Lässt man diese ebenfallszu, dann sind mit Papierfaltgeometrie tatsächlichmehr Probleme exakt zu lösen als mit euklidischer68 Rezensionen GDM-Mitteilungen 96 · 2014Geometrie. Zwei dieser in der euklidischen Geo-metrie nicht lösbaren Probleme finden sich dennauch in diesem Buch:Auf Seite 74 findet sich die „Dreiteilung desWinkels“ mit einer Begründung, die genaudie erweiterten „Axiome“ aufnimmt, welchedurch die Papierfaltgeometrie modelliert wer-den. Diese Konstruktion schlagen die Autorenmutiger weise bereits für die Jahrgangsstufen 7oder 8 vor, und ich teile diese Einschätzung: Daist sie richtig platziert.Auf Seite 130 findet sich das „Delische Pro-blem“, bei dem es darum geht zu einem ge-gebenen Würfel einen zweiten mit doppeltemRauminhalt zu konstruieren. Hier waren dieAutoren etwas vorsichtiger und haben dieseAufgabe als etwas schwieriger den Jahrgangs-stufen 9 oder 10 gewidmet.Diese beiden Konstruktionen haben eher grund-sätzliche Bedeutung und dienen der Schulung desArgumentierens auf einer angenommenen Argu-mentationsbasis. Das Buch stellt eine Fülle vonAufgaben vor, nicht nur zahlenmäßig viele, son-dern auch vom Schwierigkeitsgrad und vom äs-thetischen Reiz her viele.Man könnte sich natürlich mehr Fotos anstel-le von Zeichnungen wünschen, weil diese die Pa-pierfaltobjekte schöner und plastischer darstellenals Zeichnungen dies vermögen. So benötigt manschon eine spezifische Kompetenz, um die Zeich-nungen korrekt lesen zu können. Auch hätte es dasganze Buch attraktiv gemacht, wenn man zumin-dest bei einigen Seiten einen farbigen Druck spen-diert hätte, nicht nur aus Gründen der Ästhetik,sondern auch, weil mit Hilfe von Farben mancheUnterscheidungen von Objekten leichter und schö-ner gelingen als mit den typischen Grauschattie-rungen.Viele der Darstellungen zu den Faltungen äh-neln Konstruktionsbeschreibungen, wie man sieaus Schulbüchern zur Geometrie kennt: Die ikoni-sche Darstellung ist durch Bezeichnungen ergänztund die Bezeichnungen werden im begleitendenText wieder aufgenommen. Damit fordert diesesBuch zwei Kompetenzen:Es fordert zum einen die Kompetenz, die jewei-lige Papierfaltung nachvollziehen und das zu-grunde liegende mathematische Phänomen er-klären und begründen zu können.Es fordert aber darüber hinaus die Kompetenz,eine bestimmte verschriftlichte ikonische Dar-stellung lesen und in eine Handlung übersetzenzu können. Wenden wir es ins Positive: Viel-leicht hat ja diese oder jene Lehrkraft Interes-se, einige dieser Faltungen durch Videoclips zudokumentieren oder ihre Bearbeitung mit Hilfevorgefalteter Musterstücke zu unterstützen, diedann von den Lernenden zu analysieren undnachzubauen sind.Betrachten wir nun die einzelnen Abschnitte:Klasse 5/6Dort finden sich elementare Faltungen, die inreizvolle Objekte oder bedeutsame Konstruktio-nen münden, zum einen etwa die Konstruktio-nen von Mittelsenkrechten und Winkelhalbieren-den auf der Basis von Achsensymmetrie, zum an-deren der „Puste-Würfel“, der zwar reizvoll abermöglicherweise mathematisch von sehr begrenzterBedeutung ist. Faltungen zur Betrachtung der Flä-cheninhalte bei Drei- und Vierecken dagegen ge-nerieren flexible Darstellungen zum Unterstützenvon Beweisideen. Besonders reizvoll und typischfür Aufgaben vom Stil der Autoren ist die Aufgabe„Die dicke Säule“, bei der es um experimentellesHerstellen von Säulen mit gegebenem Mantel gehtund gefragt ist, welche Rauminhalte diese Säulendenn haben.Klasse 7/8Wie im vorhergehenden Abschnitt finden sich hierschulbedeutsame ebene Konstruktionen, die aus-weisen, dass sich Papierfaltgeometrie begleitendund unterstützend zur ebenen euklidischen Geo-metrie nutzen lässt, wie sie in der Mittelstufe ge-wöhnlich stattfindet. Die Faltungen zu Würfelnund Tetraedern dagegen machen auf den erstenBlick den Eindruck, es gehe hier um das Herstel-len von Spielzeug. Das ist meines Erachtens nichtso, vielmehr geht es darum, Symmetrien an dreidi-mensionalen Körpern handelnd zu erkunden unddazu einen Erfahrungsraum zu schaffen, welcherder Versprachlichung vorausgeht. Selbstverständ-lich naheliegend ist es, die Geometrie eines In-dustrieproduktes, wie es Papierbögen der Forma-te DIN A sind, auch an den originalen Objektenhandelnd zu erkunden. Dazu sind Papierfaltkon-struktionen prädestiniert, und die beiden Aufga-benvorschläge zu DIN-Formaten sollten im Sinneeiner technischen Elementarbildung jeder Schüle-rin und jedem Schüler der ausgehenden Mittelstu-fe bekannt sein.Klasse 9/10Hier werden die vorgestellten Projekte schon an-spruchsvoller. Es wird ein Katalog von Problemendargestellt, der in der Mathematik in der ausge-henden Mittelstufe nicht allein der Geometrie zu-zuordnen ist. Vielmehr sind die Objekte gebiets-verbindend in der Mathematik der Jahrgangsstu-fen 9 und 10. Drei Beispiele sollen dies belegen:Bedeutsam innerhalb der Geometrie, aber mitalgebraischer Anreicherung, sind die beidenGDM-Mitteilungen 96 · 2014 Rezensionen 69Probleme „Parallelogramm im Quadrat“ I undII. Dort geht es um besondere Eigenschaftenvon Figuren im Quadrat, deren Winkelsummenund deren Seitenverhältnisse. Diese Aufgabenbündeln alle Kompetenzen die man in der Geo-metrie der Mittelstufe zusammengetragen hat.Eine wundervolle Konstruktion ist die„Kasahara-Faltung des goldenen Schnitts“ aufSeite 116, leider ohne Zitat angegeben. DieseFaltung ist derart schön und genial, dass manan ihrer Eleganz die ganze Macht der Papier-faltgeometrie denen demonstrieren kann, diesich für Schönheit in der Mathematik begeis-tern können. Natürlich muss man die Argu-mente wieder nahezu im ganzen Bereich derMittelstufengeometrie zusammensuchen undsie treten auch durchaus verdichtet auf, aberdie unmittelbare Zugänglichkeit des goldenRechtecks mit dieser Konstruktion ist meinesWissens nur noch bei der berühmten Freimau-rerkonstruktion des „Secret Cut“ für das regel-mäßige Achteck zu finden. Es lohnt sich, imInternet einmal nach Kasahara und seiner Be-deutung für die Papierfaltgeometrie zu suchen.Eine weitere attraktive Konstruktion ist das„Falten des regelmäßigen Achtecks im Qua-drat“ auf Seite 128. Sie steht stellvertretendfür explorative Konstruktionen zu regelmäßi-gen Vielecken. Vorgestellt wird ein Weg, dasgrößte regelmäßige Achteck zu falten, das inein Quadrat passt. Es liegt mit vier seiner Sei-ten auf den Quadratseiten. Eine dazu verwand-te komplementäre Konstruktion ist das Fal-ten eines regelmäßigen Achtecks im Quadrat,das mit vier seiner Ecken auf den Seitenmittendes Quadrates liegt. Diese Konstruktion ist ver-wandt zu der hier gezeigten und möglicherwei-se deshalb von den Autoren fortge- und demLeser als Hausaufgabe überlassen.Ein Klassiker ist ebenfalls die Umsetzung desStrahlensatzes in ein Faltprinzip, mit dessen Hil-fe eine Strecke gegebener Länge in eine gegebe-ne Anzahl gleichlanger Teilstrecken zu zerlegenist. Diese Faltung auf Seite 86 ist gewissermaßeneine „Aufgabe ohne Jahrgang“, sie lässt sich mitminimalen Anpassungen in allen Jahrgangsstufenvon der Grundschule bis in die hohe Sekundarstu-fe einsetzen.Jahrgangsstufe 11 und 12Hier sind in erster Linie Probleme aufgenommen,die mit anderen Veranschaulichungen bereits inder Analysis thematisiert werden. Genutzt wirdim Wesentlichen die Option, bestimmte Gestaltenleicht variieren zu können oder Folgen von Faltfi-guren herzustellen, deren Struktur algebraisch zuerkunden ist. Das allerdings setzt doch etwas Rou-tine zur Papierfaltgeometrie aus dem Programmfür die vorhergehenden Jahrgänge voraus. Mög-licherweise lassen sich diese Probleme aber auchmit anderen Darstellungen, etwa mit hinreichendmächtiger Software ebenso gut darstellen. Der Vor-teil der Darstellung mit Papierfalten liegt hier eherin der schnellen und unkomplizierten Verfügbar-keit, ähnlich der bei „Hands-on-Experimenten“ inder Naturwissenschaft.Überlegungen zur Geometrie des PapierfaltensWer mit der Voreinstellung in das Lesen diesesBuches einsteigt, es gehe beim Papierfalten umeine Art Schwierigkeitsausgleich zu den forma-len und beweisbestimmten Teilen der Mathema-tik, dem sei empfohlen das Lesen dieses wun-derbaren Buches auf Seite 156 zu beginnen. Dortfindet man zunächst die euklidischen Axiome,korrekterweise fehlt das Parallelenaxiom. Diesenwird ein Axiomen-System zur Papierfaltgeome-trie gegenüber gestellt, das auf die japanischenMathematiker Huizita und Hatori zurückgeht. Eskennzeichnet die elementaren Faltungen mit Axio-men, deren Grundbegriffe Punkte und Faltliniensind. Kreise sind darin nicht explizit als Objek-te benannt. Dieses Axiomen-System ist mächtigerals das Axiomen-System der euklidischen Geo-metrie, wie bereits oben vermerkt ist. Eine kurzevergleichende Betrachtung zeigt an den Beispie-len der beiden herausragenden Probleme „Win-keldreiteilung“ und „Würfelverdopplung“ worandas liegt: Es stehen in der Papierfaltgeometrie so-genannte „Einschiebe-Konstruktionen“ zur Verfü-gung, die in der euklidischen Geometrie nicht dar-stellbar sind. Einen der zentralen Gedanken vonCarl Friedrich Gauß aufnehmend wird zudem be-gründet weshalb: Beschreibt man die Objekte dereuklidischen Geometrie und die der Papierfaltgeo-metrie durch algebraische Modelle, so zeigt sich,dass die Konstruktionen der euklidischen Geome-trie dem Lösen von Gleichungen zweiten Gradesentsprechen, die der Papierfaltgeometrie aber Glei-chungen dritten Grades.Betrachtung insgesamtPapierfaltgeometrie muss man mögen. Eine mo-torische Grundkompetenz ist zudem erforderlich,denn nicht alle hier vorgestellten Faltungen sindrobust im Sinne des „forgiving origami“, bei demkleinere Ungenauigkeiten beim Falten ein schö-nes Gesamtergebnis nicht beeinträchtigen. MancheFaltungen erfordern eine gewisse Routine zur Prä-zision. Andererseits ist festzuhalten, dass das Ge-stalten geometrischer Figuren durch Papierfaltenteilweise flexibler ist als das mit Hilfe von Zeich-nungen. Die Versuche führen teilweise schnellerauf ergiebige experimentelle Ergebnisse als beim70 Rezensionen GDM-Mitteilungen 96 · 2014Zeichnen. Künstlerischen Ideen zugewandte Men-schen würden auch das taktile Erlebnis beim Pa-pierfalten hervorheben. Leider fehlen Bezugnah-men auf die Bedeutung des Papierfaltens in denIngenieurwissenschaften, aber das ist ein weitesFeld. Eines noch ist mir abschließend wichtig: Pa-pierfalten sollte man würdigen, und zwar nichtprimär als ein Werkzeug zur Mathematik, sondernals einen substanziellen Beitrag japanischer Kulturan der Schnittstelle zwischen Kunst und Mathe-matik. Denn seinen Ursprung hat das Papierfaltennicht als Ausdrucksform für Mathematisches, son-dern als künstlerische Ausdrucksform einer Kul-tur, die dieses nicht nur zielgerichtet konstruie-rend, sondern introvertiert und kontemplativ be-greift. Dieses über das in diesem Buch Dargestelltehinausgehende Papierfalterlebnis wünsche ich al-len, die dieses Buch zur Hand nehmen.Schmitt-Hartmann, Reinhard & Herget, Wilfried (2013):Moderner Unterricht: Papierfalten im Mathematikunterricht.5. bis 12. Schuljahr. Stuttgart: Ernst-Klett Verlag, 2013,ISBN 978-3-12-720062-1, EUR 23,95.Bernd Wollring, FB 10 Mathematik u. N., Heinrich-Plett-Straße 40, 34132 Kassel, Email:wollring@mathematik.uni-kassel.de

Schmitt-Hartmann, Reinhard und Herget, Wilfried: Moderner Unterricht – Papierfalten im Mathematikunterricht 5–12

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Schmitt-Hartmann, Reinhard und Herget, Wilfried: Moderner Unterricht – Papierfalten im Mathematikunterricht 5–12

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