El uso de vigas planas en edificación se ha generalizado por motivos funcionales.El cálculo automatizado de esfuerzos y armado en ordenador provoca en ocasiones un exceso de confianza en el tratamiento de los detalles de casos particulares.En este articulo se trata el caso de apoyo extremo de vigas de borde y se muestran los efectos que sobre el armado tiene la asimetría de las condiciones de apoyo

Alarcón Álvarez, Enrique

Cerrolaza Rivas, Miguel

Gómez Sedano, Benedicto

Sánchez, C.

Archivo Digital UPM

Sobre el armado de vigas planas de hormigón

Servicio de Coordinación de Bibliotecas de la Universidad Politécnica de Madrid

ANALES DE INGENIERIA MECANICA- AAO 4- NUM. 2 -1986 
SOBRE EL ARMADO DE VIGAS PLANAS DE HORMIGON 
Gómez Sedano, B., Cerrolaza, M., Sánchez, c., Alarcón, E. 
CATEDRA DE ESTRUCTURAS. E.T.S.I. INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID 
RESUMEN.- El uso de vigas planas en edificación se ha generalizado por motivos fun-
cionales. El cálculo automatizado de esfuerzos y armado en ordenador provoca en 
ocasiones un exceso de confianza en el tratamiento de los detalles de casos parti-
culares. En este articulo se trata el caso de apoyo extremo de vigas de borde y se 
muestran los efectos que sobre el armado tiene la asimetría de las condiciones de 
apoyo. 
1 • INTROPUCC ION 
Con objeto de eliminar vigas vistas en el 
interior de los edificios es norma comdn recu-
rrir al uso de vigas del mismo espesor que el 
forjado y anchura adecuada para resistir los es 
fuerzos que sobre ellas provocan las cargas. Es 
tas vigas, denominadas planas, se utilizan in--
cluso en las fachadas o bordes donde el condici~ 
nante anterior es de menor importancia. 
Al generalizarse el uso del computador tan 
to para el cálculo de esfuerzos como para el dT 
mensionamiento de armaduras, los detalles sin~ 
lares de algunas de estas vigas tienden a ser -
olvidados y se puede proceder a un armado ruti-
nario que no garantice realmente las condiciones 
de contorno supuestas para el cálculo de esfuer-
zos. La fiqura 1 muestra dos casos t!picos en un 
edificio. En la figura la se observa una viga 
con el eje centrado en la linea de pilares, mien 
tras la lb se observa una viga de borde. En am--
bos casos se pone de manifiesto que las dimensio 
nes de la viga propician su cálculo como placa y 
que, además, las dimensiones relativas respecto 
a los pilares van a provocar en sus alrededores 
momentos torsores no tenidos en cuenta en el ar-
e 
n~___, 
bu.-___ __..n,_____,/ 
mado habitual. Este efecto es evidentemente mu-
cho más pronunciado en el caso de la figura lb 
y se acent~a en loa pisos altos donde las dimen-
siones del pilar se van reduciendo mientas que 
las de la viga plana permanecen constantes. 
En lo que sigue se van a presentar los re-
sultados numéricos obtenidos con un caso extremo 
que permitirá observar la importancia. de los fe-
nómenos descritos m&s arriba. 
2. ANALISIS NUMERICO 
Para el 4nalisis de esfuerzos se ha utili-
zado un programa de elementos finitos para pla-
cas implementado en un microordenador HP-9836. 
,-----••X 
z 
• 
Fig. la y lb Fig. 2. Convenciones de signo en elemento finito. 
161 
El elemento utilizado se indica en la figura 2 
y consiste en un cuadrilátero de nudos varia-
bles (4 a 8 nudos) y espesor constante, pudién-
dose considerar condiciones ortótropas y defor-
maciones por cortante. Los nudos tienen tres 
grados de libertad, la flecha y dos rotaciones 
ortogonales. 
Se utiliza el método directo de la rigidez 
y un proceso de eliminación de Gauss para la r~ 
solución del sistema de ecuaciones. 
3. ESFUERZOS DE ARMADO 
Puesto que el método de los elementos fini 
tos suministra un campo de esfuerzos en equili~ 
brio con las cargas exteriores se puede aplicar 
el teorema estitico del cálculo plástico que g~ 
rantiza una solución del lado de la seguridad 
si se arma para aquéllos. Sustancialmente se 
trata del mismo procedimiento para el que l!ille 
borg (1) ha acuftado el nombre de "m'todo de las 
bandas", lo que permite utilizar para el armado 
las normas suecas (2) justificadas en (1), (3), 
(4). Si se supone que la armadura se encuentra 
distribuida en las dirtcci~nes x e y, sus momeE 
tos resistentes son M M y con momentos ac-
tuantes Mx, ~, ~y e~ po~ible escribir, con el 
criterio de signos de la figura 3, sobre una 
sección de inclinación e. 
., 
Fi9. 3. Momentos en direcciones arbitrarias 
para los momentos actuantes: 
M • M cos2e + M sen2e + 2M sen& cose 
n x y xy 
para los momentos resistentes: 
* * 2 * 2 M = M cos e + M ~sen e 
n x y 
La condición de ~uhansen es: 
* M - M ~O 
n n 
y obligando a diferencia m!nima y distinguiendo 
los diferentes casos posibles se obtienen las 
siguientes reglas: 
162 
Momentos flectores con tracciones en cara in-
~ 
* Si M 
X 
* Si M y 
M 
X 
M y 
* 
* 
= M + IM 1 x xy 
+ IM 1 • M y xy 
.. 
es negativo M •O 
X 
• es negativo M •O y 
* • 
* 
M2 
M •M+.._!L y y 
IM 1 X 
* 
M2 
M "' M + --&.. X X 
IM 1 y 
Si M y M son negativos no se precisa arma-
dura~ Y 
Momentos flectores con tracciones en cara su-
2erior 
* Si M 
X 
Si M * y 
* 
M 
X 
M y 
es 
• 
• 
"'M - IM 1 x xy 
- IM 1 • M y xy 
* positivo M 
X 
• es positivo M y 
• 
* 
M2 
•O M •M-.....!I.,. y y IM 1 X 
* 
M2 
•O M • M - .....J!I.. 
X X (M 1 y 
Si M y M son positivos no se precisa arma-
dura~ y 
4. EJEMPLO DE APLICACION 
Se obtienen los esfuerzos en el caso cen-
creto del apoyo extremo de la viga plana que se 
define ge~tricamente en la figura 4., una viga 
principal de pórtico de fachada y una viga trans 
versal de borde. · -
Fig. 4. Viga plana 
El modelo de elementos finitos que se ha 
utilizado, su geometr!a y su numeración se in-
dican en la figura S. 
1 " J!l!l!l - 1 . , 1 lf} 
Fig. S. Geometr!a y modelo de Elementos Finitos 
Se ha supuesto una unión con el pilar, de 
einpotramienté:) ·perfecto, y las acciones conside-
radas como uniformes sobre la superficie de la 
viga son cargas verticales de 1000 Kp/ml en la 
viga principal y 250 Kp/m. en la viga transver-
sal. Las cargas a considerar en esta estructura 
para edificación serian aproximadamente tres v~ 
ces y media la considerada. 
En las figuras 6 a 9 se representan sobre 
los elementos fini¡os, l~s momentos !lectores 
de dimensionado M y My en las caras superior 
e inferior, resul~antes de la flexi6n y torsión 
según se indican en el apartado 3 (Esfuerzos de 
armado). 
La figura 10 muestra la orientación de los 
momentos principales y su densidad. 
La figura 1! ilustra los diagramas del mo-
mento flector M en secciones transversales de 
la viga princi~l. 
Fig. 6. Momentos M *<mt.Ton) en cara superior 
x mt 
... . 
Fig. 7. Momentos M *<mt.Ton) en cara superior y mt 
En la f~qura 12 se pueden observar los di~ 
gramas de M en secciones longitudinales de la ~ .... ~e~ 
misma viga principal. 
. .... 
• • o o 
Fig. 8. Momentos M *<mt.Ton) en cara inferior y mt 
163 
~ 
-
~ CAllA II'IMit 111~( ... ) 
• 
~ 
o 
• • oj.¿ 
-
' 
o •'of~/. ~ 1 
o o o • ....-
• 1 .._. lo o • 
• o o o o o 
' 
f'ig. 9. Momentos M *<mt.Ton} en cara inferior 
x mt 
-
~ 
. 
~ 
. 1 
·/:/. . 1 
.. ;/·/'/.' V. 1 1 
"1, /, 
" ,...,-
"" 
l/1./1/ ..:,.,.. . 1 
/ 1.11/11 ' 
/1 1 1 1 1 
Fig. 10. Distribución de momentos principales 
máximos. 
• ~~~= • '• l'IOa.ICp. 
1 1 1 1 :J l(c.~up. 
11 11 ID • 
[1 a(c.~up. 
11 11' M /S 
164 
1( c ... 
• .. :·r•I.IIOa.Kp. 
11 
..: C.lup. 
[1 
.(e••• 
* Fig. 11. Momentos Mx en secciones transversales 
··- . 
.. ~ MJ·a•l.441•.1(p. 
..;e: .... 
C. ~¡·· llr-2.... . ~ , ......... .. 
~~~--~------------~~~-----¿'~-----' ~e: ... 11 nHM 11-10 
Fig. 12. Momentos M y 
* 
::J ..; • 1 • HO•.W,. 
..;e: ... 
en secciones longitudinales 
S. CONCLUSIONES 
oe la distribución de momentos principales 
(figura 10) se deducen las zonas de las vigas 
con caras traccionadas, por la dirección de los 
vectores, y puede estimarse comparativamente la 
densidad de armadura longitudinal, en el senti-
do x, y transversal en el sentido y, por las 
componentes de los vectores según ambos ejes. 
El equilibrio se establece con importantes mo-
mentos flectores M (armadura transversal) en 
los elementos fini~os próximos al pilar. 
* * Los momentos M y M cuyos valores de 
densidad se dan en las plXntas (figs. 6 a 9) y 
cuya variación se aprecia en los diagramas 
(Figs. 11 y 12) indican que: 
- en la sección transversal más desfavora* 
ble, la adyacente al pilar, el valor EMx 
alcanza 3205 mKp. 
- en la sección longitudinal más desfavora 
ble, igualme~te la adyacente al pilar, 
el valor tM es aproximadamente 244SmKp. y 
- un armado consecuente exigir!a una rela-
ción· aproximada de armadura longitudinal 
(la del momento de empotramiento de la 
viga en el pilar) a armadura transversal 
(las ramas superiores del estribo) de 
3205 1'30 2445 = --r. 
* 
- la distribución del momento M en la 
sección adyacente al pilar (figura 11) 
nos indica que, dividida la sección trans 
versal de la viga en 4 anchos de 25 cms,-
el primer ancho absorbe el 50\ del mamen 
to, el 22 el 37\, el 32 el 7\ y el 42 el 
10\. 
Según todo lo anterior se puede estimar: 
- que si el dimensionado de pórticos de vi 
gas planas se realiza sin considerar las 
singularidades de apoyo, el momento flec 
tor absorbido en la unión viga-pilar pue 
de ser sensiblemente menor al asignado,-
incrementándose en consecuencia el momen 
to de vano sobre el valor de dimensiona~ 
do y resultando el armado de la viga con 
coeficientes de seguridad inferiores a 
los de cálculo. La armadura transversal 
del dimensionado a esfuerzos cortantes 
resulta muy inferior a la necesaria para 
la absorción del momento transversal. 
- que la armadura de momentos de empotra-
miento viga-pilar debe disponerse prefe-
rentemente en el ancho del pilar y en el 
vuelo de viga correspondiente a un canto 
de pilar •. En alguna forma, la sección de 
viga en vuelo superior a un ancho de pi-
lar resulta ineficaz en la absorción de 
n1omentos. 
- para más generalizadas y simultáneamente 
concretas especificaciones debe ampliar-
se el· estudio en función de la flexibili 
dad de la unión viga•pila~, y de la teli 
165 
ción ancho-pilar a vuelo de viga como principa-
les variables, en apoyos extremos e intermedios, 
de viqas de borde y viqas intermedias. EstA en 
el ánimo de los autores su realización. 
6. BIBLIOORAFIA 
1. Hillebor9, A.: "Strip method of desiqn". 
Viewpoint Pub. 1975. 
2. Códiqo sueco para el disefto de placas de ho~ 
miqón armado. 1957. 
3. Wood, R.H.: "'l'he reinforeement of alaba in 
accor4ance with a predeterminad field of mo-
ments". Concrete. Feb. 1968. 
4. Park, R., y Gamble, W.L.: "Reinforced concr~ 
te alaba" • Wiley. 1980. 
S. Calavera, J.: "Cálculo, construcción y pato-
logia de forjados de edificación". Intemec. 
1981. 


http://oa.upm.es/22588/1/Anales_de_Ingenieria._Sobre_el_armado_de_vigas_planas_de_hormigon.pdf

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