Depto. de Análisis Matemático y Matemática AplicadaFac. de Ciencias MatemáticasTRUEpu

Hernández Gómez, Joaquín

Docta Complutense

“olimpiadas102”2007/7/17page 443LA GACETA DE LA RSME, Vol. 10.2 (2007), Págs. 443–449 443LA OLIMPIADA MATEMÁTICASección a cargo deMaŕıa GasparXLIII Olimpiada Matemática EspañolaporJoaqúın Hernández GómezDurante el fin de semana del 22 al 25 de marzo, se celebró en Torrelodonesla fase nacional de la XLIII OME. Aunque no es la primera vez que una ciudadque no sea capital de provincia asume la celebración de una fase nacional de laOlimpiada –recordemos, por ejemplo, Tarazona en 1998– śı que es la primeravez que un Ayuntamiento de una pequeña ciudad se involucra tanto en laorganización de este evento.Hubo detalles en esta fase nacional que muchos de los asistentes recor-daremos durante muchos años: desde las impresionantes vistas de la Sierrade Madrid que se teńıan desde la sala donde se realizaban las pruebas, has-ta la deliciosa interpretación musical de los niños de la Escuela Municipal deMúsica de Torrelodones en el acto de clausura, pasando por la maravillosaexposición de fotograf́ıas matemáticas de Herwig Hauser y terminando con elreconocimiento a la figura de Miguel de Guzmán, inaugurando un busto ensu honor. Son recuerdos que nos acompañarán mucho tiempo, pero como nosescrib́ıa mi amigo Esteban, que asistió por primera vez a una fase nacionalde la Olimpiada, ((...eso śı, si me obligan a quedarme con un solo recuerdode estas Olimpiadas, me quedo con el magńıfico ambiente que hab́ıa entre loschicos. El compañerismo, la alegŕıa que teńıan, su saber estar, el apoyo quese daban unos a otros, el cariño con que trataban a sus profesores... tal vez,como ellos mismos se denominan a veces, sean unos friquis, pero unos friquiscojonudos)).Seŕıa tremendamente injusto si no resaltara en esta nota nuestro recono-cimiento por su capacidad para hacer las cosas y por su habilidad para hacerbien cosas dif́ıciles al señor Letona, director de la Escuela de PensamientoMatemático Miguel de Guzmán de Torrelodones, presidente del comité orga-nizador de esta fase nacional y principal art́ıfice de que una pequeña ciudadsea recordada en la historia de nuestra olimpiada.Las sesiones de problemas tuvieron lugar en las mañas del viernes 23 y elsábado 24 de marzo, con los siguientes enunciados:“olimpiadas102”2007/7/17page 444444 LA OLIMPIADA MATEMÁTICAProblema 1Sean a0, a1, a2, a3, a4 cinco números positivos en progresión aritmética derazón d. Probar quea32 ≤110(a30 + 4a31 + 4a33 + a34)Problema 2Determinar todos los posibles valores enteros no negativos que puede to-mar la expresiónm2 + mn + n2mn− 1siendo m y n enteros no negativos tales que mn 6= 1Problema 3Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que parte de Acorta al lado opuesto en P . Probar que se cumpleAP 2 + OA2 −OP 2 = bcProblema 4¿Cuáles son los números enteros positivos que se pueden obtener de exac-tamente 2007 maneras distintas como la suma de al menos dos números enterospositivos consecutivos? ¿Cuál es el menor de todos ellos?Problema 5Sea a 6= 1 un número real positivo y n un entero positivo. Demostrar quen2 <an + a−n − 2a + a−1 − 2Problema 6Dada una semicircunferencia de diámetro AB = 2R, se considera unacuerda CD de longitud fija c. Sea E la intersección de AC con BD y F laintersección de AD con BC. Probar que el segmento EF tiene longitud cons-tante y dirección constante al variar la cuerda CD sobre la semicircunferencia.Como de costumbre, cada problema se califica sobre siete puntos. ningúnparticipante resolvió los problemas 2 y 4, pero el 1 si fue abordado con éxitopor muchos de ellos.“olimpiadas102”2007/7/17page 445LA GACETA 445Frecuencias de puntuaciones por problemaP1 P2 P3 P4 P5 P60 ptos 12 55 65 92 46 631 pto 1 60 28 19 7 152 ptos 1 1 7 3 45 13 ptos 3 0 2 2 5 194 ptos 14 0 3 0 4 55 ptos 14 0 0 0 4 06 ptos 5 0 1 0 0 07 ptos 66 0 10 0 5 13Y las medias:media oros 7 0,67 6 0,67 6 6,50media premiados 6,89 0,61 2,81 0,50 2,58 3,89media todos 5,43 0,53 1,17 0,27 1,58 1,59desviación 2,27 0,52 2,05 0,59 1,74 2,30La entrega de premios se celebró en la tarde del sábado en el TeatroBulevar de Torrelodones, resultando premiados los siguientes estudiantes :Alumnos premiados en la XLIII OMEMedallas de OroDiego Izquierdo Arseguet (1◦ Bto., Liceo Francés de Madrid) yAdrián Rodrigo Escudero(2◦ Bto., IES Elaios de Zaragoza)Daniel Remón Rodŕıguez(2◦ Bto., IES Valle de Moreda de Aller, Asturias)Gabriel Furstenheim Milerud(1◦ Bto., IES Ramiro de Maeztu de Madrid)David Alfaya Sánchez (1◦ Bto., IES José Luis Sampedro de Tres Cantos, Ma-drid)Glenier Bello Burguet (4◦ de ESO, IES Hermanos D ’ Elhuyar de Logroño“olimpiadas102”2007/7/17page 446446 LA OLIMPIADA MATEMÁTICAMedallas de PlataAlbert Santiago Bóıl (2◦ Bto., IES de Bruguers de Gavá, Barcelona )Bernat Serra Montoĺı (2◦ Bto., IES La Sedeta de Barcelona)Alejandro Gimeno Sanz(1◦ Bto., Colegio San José de Valladolid)Arnau Messegué Buisan(2◦ Bto., IES Ciutat de Balaguer de Balaguer, Lleida)J. Ramón Sierra Gómez de León(2◦ Bto. Francisco de Paula de Sevilla)Andrés Rodŕıguez Reina (1◦ Bto., Colegio SEK Ciudalcampo de Madrid)Álvaro Mateos González(2◦ Bto., Liceo Francés de Madrid)Josep Marc Mingot Hidalgo(2◦ Bto., Col.legi Claver de Raimat, Lleida)Carlos Sánchez Ramı́rez(2◦ Bto., Colegio Ntra Sra de las Maravillas de Ma-dridDaniel de la Concepción Sáez(2◦ Bto., IES Práxedes Mateo Sagasta de Lo-groño)David Gacés Urzainqui(2◦Bto., Colegio Alemán de Valencia)Adrián Moro Calderón(2◦ Bto., IES Las Llamas de Santander)Medallas de BronceZhimin Lin (2◦ Bto., IES Mariano Quintanilla de Santander)Bartomeu Monserrat Sánchez (2◦ Bto., IES Felanitx de Baleares)Javier Bolea Moll (2◦ Bto., IES Clot de Valencia)Paloma Arenas Guerrero (1◦ Bto., IES Pablo Neruda de Huelva)Santiago Ruiz Valdepeñas, (2◦ Bto., IES Santa Maŕıa de Alarcos de CiudadReal)Alberto Calderón González (1◦ Bto., IES Conde Diego Porcelos de Burgos)Manuel López Sheriff (2◦ Bto., Colegio Arturo Soria de Madrid)Antonio Pérez Hernández (2◦ Bto., IES El Carmen de Murcia)Adrián Rey Rodŕıguez (1◦ Bto., Ies Vicent Castell de Catellón)Teresa Rodrigo Rey(2◦ Bto., IES Pŕıncipe Felipe de Madrid)Alberto Sánchez Molero (2◦ Bto., IES Camp de Morvedre de Valencia)Carlos Corrales Beńıtez (2◦ Bto., Colegio La Inmaculada de Valladolid)José Luis Lado Villanueva (2◦ Bto., Colexio Marista Santa Maŕıa de Ourense)Eloi Maŕın Amat (2◦ Bto., IES Frederic Mistral de Barcelona)Vı́ctor Rodŕıguez Rodŕıguez (1◦ Bto., IES Padre Suárez de Granada)Francisco Salamanca González (1◦ Bto., Colegio San José de Villafranca delos Barros)Fernando Sánchez Madrigal (1◦ Bto., Colegio Cristo Rey de Jaén)David Tena Cucala (1◦ Bto., IES Ramonćın de Castellón)Los seis estudiantes con medalla de oro forman el equipo que participará enjulio en la 48 IMO en Hanoi, Vietnam. Es el equipo español más joven queha participado nunca en una Olimpiada Internacional, con tres alumnos deprimero de Bachillerato y uno de cuarto de ESO.“olimpiadas102”2007/7/17page 447LA GACETA 447Ganadores de la fase local de la XLIII OME:Primer PremioAbderrahaman Elena, Nabil AndalućıaAlfaya Sánchez, David MadridÁlvarez Romero, Isaac CanariasAndreu Ñı́guez, Fernando Comunidad ValencianaAparicio Gallego, Pablo AndalućıaArenas Guerrero, Paloma AndalućıaBalibrea Iniesta, Francisco Región de MurciaBello Burguet, Glenier lázaro La RiojaBolea Moll, Javier Comunidad ValencianaBriales Palacio, Eduardo MelillaCodesido Sánchez, Santiago GaliciaCorrales Beńıtez, Carlos Castilla y LeónFernández Moreno, José Luis Castilla-La ManchaGarćıa Ferrero, Juan Castilla y LeónGarćıa Salcedo, Francisco José AndalućıaGoñi Mora, Javier Páıs VascoIzquierdo Arseguet, Diego MadridLado Villanueva, José Luis GaliciaLin, Zhimin CantabriaLópez Ferrando, Vı́ctor Comunidad ValencianaMessegué Buisan, Arnau CataluñaMonserrat Sánchez, Bartomeu BalearesMuñoz Montes, Rodrigo Castilla y LeónPallarés Mart́ınez, Beatriz Región de MurciaPastor Alcoceba, Carlos Comunidad ValencianaPérez Dı́az, Fernando GaliciaRamı́rez Fernández, Guillermo CanariasRemón Rodŕıguez, Daniel AsturiasRodrigo Aznárez, Javier NavarraRodrigo Escudero, Adrián AragónRodrigo Rey, Teresa MadridRodŕıguez Rodŕıguez, Vı́ctor AndalućıaRubio Madroñal, Sergio AndalućıaSalamanca González, Francisco ExtremaduraSánchez Molero, Alberto Comunidad ValencianaSantiago Bóıl, Albert CataluñaSerra Montoĺı, Bernat CataluñaSierra Gómez de León, José Ramón AndalućıaUrrutia Mataŕın, Luis Andrés AndalućıaZamanillo Mateos, César Castilla y León“olimpiadas102”2007/7/17page 448448 LA OLIMPIADA MATEMÁTICASegundo PremioAbad Peñas, Rafael Región de MurciaAranzadi de Miguel, Myriam NavarraBernad Blanch, Alberto AndalućıaBibiloni Serrano, Pedro Islas BalearesBlanca Maŕın, Zofio AndalućıaBornaechea Mart́ın, Francisco Javier AndalućıaCalderón González, Alberto Castilla y LeónColera Rico, Manuel AndalućıaCoronado Blanco, Maŕıa Teresa AndalućıaConcepción Sáez, Daniel de la La RiojaDeleyto La Cruz, Esther AragónDı́az Daniel, Carlos Comunidad ValencianaFalcón Rodŕıguez, Carlos Javier CanariasFurstenheim Milerud, Gabriel MadridGarcés Urzainqui, David Comunidad ValencianaGimeno Sanz, Alejandro Castilla y LeónGómez Ramudo, Iris GaliciaGonzález Carrasco, Armiche CanariasGonzález Cuadrado, David Castilla y LeónHermoso Dı́az, Alberto AndalućıaImaz Ducasse, Guillermo Páıs VascoIranzo Andrés, Enrique Comunidad ValencianaLópez Camaño, Marta GaliciaLópez Sheriff, Manuel MadridMadruga Villalba, Francisco ExtremaduraMaŕın Amat, Eloi CataluñaMateos González, Álvaro MadridMingot Hidalgo, Josep Marc CataluñaMohamed Abdel-Lah, Said MelillaPadilla de la Torre, Enrique Manuel AndalućıaPérez González, Noel Castilla y LeónQuintans Rodŕıguez, Águeda GaliciaRomera Mart́ınez, Álvaro Región de MurciaRuiz Valdepeñas, Santiago Castilla-La ManchaTena Cucal, David Comunidad ValencianaVallines Bontempini, Mario CantabriaVila Ferrero, Pablo AsturiasVilaregut Comellas, Javier CataluñaWei, Zhao Comunidad Valenciana“olimpiadas102”2007/7/17page 449LA GACETA 449Tercer PremioAláez Fernández, Jesús AndalućıaAlmagro Vergara, Maŕıa del Carmen Comunidad ValencianaBarbadillo Villanueva, Guillermo NavarraCiller Cutillas, Pedro Castilla-La ManchaDı́ez Gallego, Miguel Ángel Castilla y LeónDomı́nguez Sánchez, Raúl Castilla y LeónEiras Domı́nguez, Ángel GaliciaGallego Ramos, Miguel Ángel AndalućıaGarćıa Domı́nguez, Álvaro AndalućıaGarćıa Mend́ıvil, Fernando AragónGarćıa-Moncó Fernández, Carlos Páıs VascoGaset Rifà, Jordi CataluñaGeffner Fuenmayor, Ivan CataluñaGil Pérez Fernando GaliciaHueso González, Fernando Comunidad ValencianaLedesma Villa, Almudena Comunidad ValencianaLlamazares Blanco, Jonatan Castilla y LeónMart́ın Jorge, Daniel CanariasMart́ınez Miranda, Eduardo AsturiasMerino Madrid, Cristian Jesús La RiojaMisó Antón, Sergio Comunidad ValencianaMoro Calderón, Adrián Castilla y LeónNavarro Sánchez, Daniel AndalućıaPallares Mart́ın, Antonio Jesús AndalućıaPaños Iniesta, Antonio Refión de MurciaPelayo Rodŕıguez, Pablo Francisco AndalućıaPérez Encinar, Miguel ExtremaduraPérez Hernández, Antonio Región de MurciaPortilla Cuadrado, pablo MadridRey Rodŕıguez, Adrián Comunidad ValencianaRodŕıguez Reina, Andrés MadridRosa Machado, Raúl de la CanariasRul.lan Palou de Comesana, Francisco Islas BalearesSánchez Madrigal, Fernando AndalućıaSánchez Ramı́rez, carlos MadridSuárez Serrano, Daniel AndalućıaVelasco Oña, Juan Carlos MelillaVı́ctor Fernández, Sara CataluñaWang Xiao, Beatriz CantabriaYáñez Santamaŕıa, Antonio Galicia

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XLIII Olimpiada matemática española

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