Umnožak tetiva elipse i rekurzivni nizovi polinoma

Abstract

Središnja tema ovog rada je izračunavanje umnoška $d_n$ duljina tetiva elipse dobivene skaliranjem kružnice na kojoj je odabrano $n$ ekvidistantnih točaka. Motivacija za ovaj problem proizlazi iz odgovarajućeg rezultata za jediničnu kružnicu gdje vrijedi $d_n = n$. Th. E. Price izveo je poopćenje tog teorema proučavanjem stanovite familije polinoma $P_n(z)$. Ti polinomi karakterizirani su rekurzijom koja ih dovodi u vezu s poopćenim Lucasovim i Fibonaccijevim polinomima. Za prikladni izbor parametara koji određuju promatranu elipsu dobiva se $P_n(1) = L_n$ i $P'_n(1) = d_n = n F_n$, pri čemu su $L_n$ i $F_n$ $n$-ti Lucasov, odnosno Fibonaccijev broj. U završnom poglavlju izložen je alternativni pristup Priceovom radu, prema nedavno objavljenom članku B. Blum - Smitha i J. Wooda (2018.). Veći dio Priceovih rezultata izveden je i protumačen na novi način, polazeći od klasičnog Cardanovog rješenja kubne jednadžbe.The main topic of this thesis is computation of the product $d_n$ of chord lengths for the ellipse obtained by scaling a circle on which $n$ equidistant points were chosen. The motivation for this problem originates from the corresponding result for the unit circle, namely $d_n = n$. Th. E. Price derived a generalization of that result by exploring a certain family of polynomials $P_n(z)$. These polynomials are characterized by a recursion which brings them into a relation with generalized Lucas and Fibonacci polynomials. For an appropriate choice of parameters that describe the observed ellipse, one obtains $P_n(1) = L_n$ and $P'_n(1) = d_n = n F_n$, where $L_n$ and $F_n$ are the Lucas and Fibonacci numbers, respectively. In the final chapter an alternative approach to Price’s work is laid out, according to a recent paper by B. Blum-Smith and J. Wood (2018.). The main part of Price’s results is derived and explained in a new fashion, starting with the classical Cardano’s solution of the cubic equation