International audienceLa méthode des éléments finis est aujourd'hui la méthode numérique la plus utilisée en mécanique. Généralement utilisée dans la discrétisation de l'espace, elle est souvent associée à une méthode de type différences finies pour la résolution en temps. Nous nous intéressons dans cette étude à appliquer un schéma de discrétisation en espace et en temps simultanément. Nous utilisons l'Analyse Isogéométrique (IGA) comme méthode de discrétisation (voir [1]) dans le but de profiter des qualités numériques de la méthode en résolution en temps. Dans ce papier, nous validons partiellement la stabilité de manière numérique des tests de convergence triviaux pour les équations de la chaleur et d'ondes en 1D, et vérifions qualitativement le potentiel de la méthode sur un modèle mécanique de viscoélasticité dynamique 1D

Eyheramendy, Dominique

Lejeunes, S.

Saad, Roy

Saadé, Christelle

French

Archive Ouverte en Sciences de l'Information et de la Communication

HAL Id: hal-02354156
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02354156
Submitted on 7 Nov 2019
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Analyse Isogéométrique espace-temps pour le Calcul des
Structures
Christelle Saadé, S. Lejeunes, Dominique Eyheramendy, Roy Saad
To cite this version:
Christelle Saadé, S. Lejeunes, Dominique Eyheramendy, Roy Saad. Analyse Isogéométrique espace-
temps pour le Calcul des Structures. 14eme Colloque National en Calcul des Structures, May 2019,
Giens, France. ￿hal-02354156￿
  
 
 1 
CSMA 2019 
14ème Colloque National en Calcul des 
Structures 
13-17 mai 2019, Presqu’île de Giens (Var) 
Analyse Isogéométrique espace-temps pour le Calcul des Structures 
C. Saadé
1
, S. Lejeunes
1
, D. Eyheramendy
1
, R. Saad
2
 
 
1 Aix Marseille Univ, CNRS, Centrale Marseille, LMA UMR 7031, Marseille, France, saade@lma.cnrs-mrs.fr, lejeunes@lma.cnrs-mrs.fr, 
eyheramendy@lma.cnrs-mrs.fr  
2 Université Libanaise, Fanar, Liban, dr.roysaad@hotmail.com  
Résumé — La méthode des éléments finis est aujourd’hui la méthode numérique la plus utilisée en 
mécanique. Généralement utilisée dans la discrétisation de l’espace, elle est souvent associée à une 
méthode de type différences finies pour la résolution en temps. Nous nous intéressons dans cette étude 
à appliquer un schéma de discrétisation en espace et en temps simultanément. Nous utilisons l’Analyse 
Isogéométrique (IGA) comme méthode de discrétisation (voir [1]) dans le but de profiter des qualités 
numériques de la méthode en résolution en temps. Dans ce papier, nous validons partiellement la 
stabilité de manière numérique des tests de convergence triviaux pour les équations de la chaleur et 
d’ondes en 1D, et vérifions qualitativement le potentiel de la méthode sur un modèle mécanique de 
viscoélasticité dynamique 1D. 
Mots clefs — Analyse isogéométrique, Résolution espace-temps. 
1. Introduction 
Dans la plupart des outils de calcul, la dépendance en temps des champs inconnus est traitée par 
des méthodes de type différences finies ou par des schémas discrets d’ordre faible. La discrétisation 
espace-temps consiste à considérer la dépendance en temps comme la dépendance en espace, c’est à 
dire en utilisant les mêmes fonctions formant la base d’approximation et en utilisant un principe 
variationnel espace-temps. L’un des premiers travaux vraiment avancés sur l’espace-temps est celui de 
Hughes et Hulbert [2], dans lequel les auteurs s’intéressent à une formulation élastodynamique et la 
propagation d’un soliton dans une barre élastique. Dans notre étude, pour la base d’approximation, 
nous utilisons l’analyse isogéométrique, basée sur des approximations B-Spline ou NURBS. Ceci 
permet, d’une part, de pouvoir représenter exactement des géométries complexes (voir [1]), et d’autre 
part, d’avoir des bases d’approximation plus riches que les polynômes de Lagrange classique (ordre de 
continuité inter-éléments élevé). Pour la formulation variationnelle, nous utilisons une méthode de 
Galerkin continue. 
Dans la littérature, on peut trouver quelques références qui proposent des méthodes espace-temps 
pour la résolution numérique de différents problèmes. Par exemple, les articles [3],[4],[5] et [6] traitent 
de l’équation de la chaleur. Dans [5], la méthode des éléments finis est utilisée en espace et en temps 
simultanément pour l’établissement de la formulation variationnelle espace-temps de l’équation de la 
chaleur. Dans [3], l’équation de la chaleur a été traité à partir d’une méthode isogéométrique espace-
temps stable. Dans [4], les auteurs utilisent une méthode de Galerkin discontinue en temps pour traiter 
numériquement l’équation de la chaleur en isogéométrique espace-temps, et dans [6], une méthode de 
Galerkin discontinue en espace et en temps a été employé dans un cadre isogéométrique. 
Dans ce papier, on propose d’étudier l’application de formulations isogéométriques espace-temps à 
différents problèmes, équation d’onde et équation de la chaleur. Nous étudions en particulier la 
convergence et la stabilité sur ces cas tests triviaux, avant de valider qualitativement la stratégie sur un 
problème de viscoélasticité dynamique.   
2. Analyse isogéométrique espace-temps de problèmes de base 
Dans cette section, nous proposons de conduire des tests de convergence en espace-temps pour des 
problèmes fondamentaux rencontrés classiquement en mécanique et disciplines connexes. 
 2 
2.1. Équation de la chaleur 
2.1.1 Problème 
On considère un domaine 1D de longueur   soumis à apport volumique de chaleur f. La forme forte 
(S) du problème parabolique aux valeurs limites et initiales s’écrit sous la forme (Dirichlet pur): 
                                                                   
                                 
  
  
  
  
   
   
                          
Conditions de bord :                        et                        
Condition initiale :                 avec          
où   est la température,   est la source de chaleur,   et   sont les températures prescrites,    est la 
condition initiale,   représente la densité,   représente la capacité calorifique et   représente la 
conductivité. 
2.1.2 Formulation variationnelle espace-temps 
On note               le domaine spatio-temporel et on définit les espaces de Sobolev 
suivant :  
  
                 
  
  
                          
    
              
  
  
       
  
  
                                   
La formulation variationnelle faible peut être écrite comme suit : 
Trouver          
               :            ,         
       avec :  
               
  
  
            
  
  
     
  
  
      
  
  ,  
                                      . 
Soit    et    les sous-espaces d’approximation de dimension finie respectivement reliés à   
       
et    
   
. La formulation de Galerkin approximée est la suivante : 
Trouver                    :               ,         où : 
                  
   
  
           
   
  
     
   
  
     
  
  , 
                        
 
        
      
 
    
 3 
2.1.3 Test de convergence  
On considère le domaine espace-temps         . Les paramètres du problème sont choisis tels 
que            ,     
    
    
 et           . On choisit pour second membre :   
                                       . La solution exacte du problème est alors : 
                         
Le domaine de calcul (domaine carré de largeur 1 m) est donné en Figure 1 avec conditions initiale 
et de bords de Dirichlet homogène. 
 
Figure 1 Domaine de calcul espace-temps avec conditions de bords et condition initiale homogènes pour 
l’équation de la chaleur 
 
Les courbes de convergence de l’erreur en u en norme    pour ce problème IGA espace-temps sont 
représentées pour plusieurs degrés   des fonctions B-Splines d’ordre de continuité maximal et 
plusieurs valeurs de conductivité thermique  .  
  
                                                                        
Figure 2 Courbes de convergence en erreur    de l’équation de la chaleur pour les degrés              et 
pour les conductivités               et              en fonction du nombre d’éléments par coté (n) 
 
On remarque qu’on obtient toujours des taux de convergence optimaux quelle que soit la valeur de 
 . En d’autres termes, on trouve toujours une pente de    ,   étant le degré des fonctions de base. 
La formulation sur le problème est convergente sur le cas test considéré. 
2.2. Équation d’ondes 
 4 
On est intéressé notamment par l’étude de l’équation d’ondes appliquée à la barre 1D de longueur 
L. La formulation forte (S) du problème hyperbolique de valeur limite initiale est : 
                                                                 
                                
  
   
   
       
   
   
                               
Conditions de bord :                                                        
Conditions initiales :                          
  
  
                               
2.2.1 Formulation variationnelle espace-temps 
Dans cette section, on définit les espaces de Sobolev suivants : 
  
                 
  
  
       
  
  
    
   
   
                          
    
              
  
  
                                   
La formulation variationnelle faible du problème est : 
Trouver          
        tel que            ,         
       avec 
                  
   
   
          
  
  
     
  
  
     
  
  , 
                  
 
   
On considère    et   , sous-espaces d’approximation à dimension finie de   
       et     
   
 
respectivement. La formulation de Galerkin de ce problème hyperbolique est la suivante : 
Trouver                                  ,         avec : 
                    
   
   
          
   
  
     
   
  
       
  
, 
                    
 
   
2.2.3  Tests de convergence 
Pour la résolution de ce problème, on considère le domaine espace-temps         . Les 
paramètres du problème sont choisis comme précédemment, c’est-à-dire            ,   
  
    
    
 et           . Des conditions de bords et initiales de type Dirichlet homogènes sont 
choisis pour illustrer l’approche. Le domaine spatio-temporel est représenté dans la Figure 1. On 
impose le chargement volumique suivant :  
                        
 
               
                         
 5 
de façon à avoir la solution exacte telle que :          
           
 
          
Les courbes de convergence de ce problème IGA espace-temps en norme    sont représentées ci-
dessous pour plusieurs valeurs de degrés   et pour plusieurs valeurs de conductivités  . 
  
                                                                                                                    
Figure 3 Courbes de convergence en erreur    de l’équation d’ondes pour les degrés   
           et pour les conductivités               et              
Les taux optimaux de convergence sont aussi obtenus dans le cas hyperbolique pour cette étude.  
3. Viscoélasticité à variable interne 
3.1 Le problème 
On considère un domaine espace en 1D de longueur L et encastrée à l’extrémité gauche. On 
s’intéresse à l’équation de Maxwell appliquée à cette barre. Les équations du problème de 
viscoélasticité sont données par (en utilisant des notations classiques) :  
          
   
   
  Equation d’équilibre 
        décomposition de la déformation en parties élastique et visqueuse 
    
 
 
  loi d’évolution de la viscosité 
      loi de comportement 
Le schéma équivalent est donné dans la Figure 4Erreur ! Source du renvoi introuvable.. 
  
Figure 4 Schéma rhéologique équivalent de Maxwell 
 
La  formulation forte du problème 1D du problème viscoélastique s’écrit : 
 
                                                                     
                          tel que : 
 6 
  
  
      
 
 
 
  
  
                              
  
   
   
      
  
  
               
  
  
                      
Conditions de bord :                             
Conditions initiales :              et             ,                          
           
On pose        
  
  
      
 
 3.2 Formulation variationnelle espace-temps 
La formulation variationnelle faible du problème est : 
Trouver                                                        
        
  
  
       
 
         
 
 
  
  
       
 
         
 
 
          
 
      
     
              
 
           
  
  
         
 
      
      
 
   
  
      
  
  
     
 
            
  
  
     
 
            
  
  
     
 
  
               
 
        
       
Soit            
    
    
  les sous-espaces d’approximation de dimension finie reliés à 
                                              respectivement. La formulation de Galerkin 
approximée du problème est la suivante : 
Trouver                                             
   
      
   
  
     
 
      
      
 
 
   
  
           
      
 
 
           
  
    
 
    
  
   
             
 
      
      
   
  
         
 
    
    
  
 
   
 
  
      
   
  
     
 
      
       
     
  
       
 
    
       
   
  
     
 
  
          
      
 
      
    
  
3.3 Résultats numériques 
 7 
On souhaite dans cette section comparer les solutions du problème pour plusieurs valeurs de masse 
volumique   (influence de la dynamique). La longueur de la barre est toujours considérée égale à 1, et 
le temps final est     . Le domaine est montré dans la Figure 5. Les paramètres du problème sont 
choisis tels que               . 
 
Figure 5 Domaine espace-temps (1D espace) 
 
La charge volumique   est définie linéaire par morceaux sur le temps : 
        
                               
                                  
  
Dans la Figure 6,   et   sont respectivement représentés et sont calculées pour des fonctions de 
base B-Splines de degré    , et pour             . On choisit de prendre pour le maillage 20 
éléments en espace et 40 éléments en temps.  Les figures sont représentées avec des échelles 
d’isocouleurs différentes.  
 
  Figure 6 Évolution de   et v pour              (BSplines en degré    )  
On observe une réponse avec des amplitudes initiales plus importantes qui s’amortissent fortement 
ensuite. On constate donc que la formulation adoptée nous permet d’obtenir qualitativement la réponse 
d’un système dynamique couplé (amorti). 
On souhaite dans un second temps comparer les solutions u et v pour différents maillages en temps et 
maillage fixe en espace (20 éléments en espace). Pour cela, on fixe le degré et la masse volumique en 
prenant     pour toutes les solutions, et             . La Figure 7 représente l’évolution en 
fonction du temps du centre de la barre (      ). 
  
Figure 7 Évolution de u et v en fonction du temps (BSplines de degré    ) et              par rapport 
aux maillages en temps de 5, 10, 20, 40 et 80 éléments  
-1 
-0,8 
-0,6 
-0,4 
-0,2 
0 
0,2 
0 2 4 6 
u 
tps 80 elts 
tps 5 elts 
tps 10 elts 
tps 20 elts 
tps 40 elts 
-0,2 
0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1 
0 1 2 3 4 5 
v 
0 
x 
t 
L 
T 
 8 
4. Conclusion 
Dans ce papier, nous avons présenté des formulation IGA espace-temps pour trois différents types 
d’équations : l’équation de la chaleur, l’équation d’ondes et une équation d’onde couplées avec une 
équation de viscoélasticité à variable interne. Nous avons vérifié sur des cas tests simples la 
convergence de la formulation espace-temps pour l’équation d’onde et l’équation de la chaleur 1D. 
Ces résultats encourageants devraient être consolidés sur d’autres configurations (forme de domaine, 
conditions de bords) de façon à avoir plus de certitude sur la convergence de la méthode, et bien sûr 
validées sur de l’espace 2D et 3D. Nous avons vérifié qualitativement sur un problème de 
viscoélasticité de base (modèle rhéologique de type Maxwell) le potentiel de ce type de formulation 
dans le cas de problème couplés. Cela nous permet de mettre en œuvre la formulation qui 
classiquement est résolue par une méthode de discrétisation en espace (éléments finis ou IGA) 
associée à une méthode d’intégration en temps. La loi d’évolution est ici intégrée sur le domaine 
global de résolution contrairement aux approches classiques ou l’intégration est local au point 
d’intégration. Un schéma itératif est nécessaire pour obtenir la solution, ce qui n’est pas le cas dans 
notre approche. Ces tests de bases permettent d’illustrer le potentiel de l’approche. Les prochaines 
étapes consisteront à comparer ce schéma aux résolutions en temps classiques. Afin de développer la 
méthode pour des résolution en temps très long, nous étendrons ce schéma Galerkin espace-temps 
continu à un schéma Galerkin discontinu en temps. On souhaite notamment appliquer l’IGA espace-
temps pour des multiphysiques couplées dans le cadre de matériaux complexes fortement sollicités 
thermiquement et mécaniquement. Les applications visées sont en particulier la simulation de 
fatigue/vieillissement de pièces industrielles en élastomère soumises à des charges multiphysiques. 
5. Références bibliographiques 
[1] T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs, Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, 
exact geometry and mesh refinement, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194 4135–4195, 
2005. 
 
[2] T. J. R. Hughes, G. M. Hulbert, Space-time finite element methods for elastodynamics: 
Formulations and error estimates, Comput. Methods Appl. Mech. Eng.,66 (3) 339–363, 1988. 
 
[3] U. Langer, S. E. Moore, M. Neumuller. Space-time isogeometric analysis of parabolic evolution 
equations, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 306:342–363, 2016. 
 
[4] C. Hofer, U. Langer, M. Neumüller, I. Toulopoulos, Time-Multipatch Discontinuous Galerkin 
Space-Time Isogeometric Analysis of Parabolic Evolution Problems, RICAM-Report, 2017-26. 
 
[5] S. E. Moore, A stable space-time finite element method for parabolic evolution problems, 
math.NA, 2017. 
  
[6] S. E. Moore, Space-Time Multi-patch Discontinuous Galerkin Isogeometric Analysis for 
Parabolic Evolution Problems, math.NA, 2017. 


Analyse Isogéométrique espace-temps pour le Calcul des Structures

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02354156/file/Abstract_Giens_02_02_19.pdf

Analyse Isogéométrique espace-temps pour le Calcul des Structures

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