Hardouin, Laurent

Lhommeau, Mehdi

Winck, Guilherme,

French

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HAL Id: hal-02373597
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Analyse d’atteignabilité des systèmes (max,+)-linéaires
à l’aide des polyèdres tropicaux
Guilherme Winck, Mehdi Lhommeau, Laurent Hardouin
To cite this version:
Guilherme Winck, Mehdi Lhommeau, Laurent Hardouin. Analyse d’atteignabilité des systèmes
(max,+)-linéaires à l’aide des polyèdres tropicaux. Modélisation des Systèmes Réactifs (MSR 19),
Nov 2019, Angers, France. ￿hal-02373597￿
Analyse d’atteignabilite´ des syste`mes (max,+)-line´aires a`
l’aide des polye`dres tropicaux ∗
Guilherme E. Winck1, Mehdi Lhommeau2 et Laurent Hardouin3
1 LARIS - Universite´ d’Angers, Angers, France
guilherme.espindolawinck@univ-angers.fr
2 LARIS - Universite´ d’Angers, Angers, France
mehdi.lhommeau@univ-angers.fr
3 LARIS - Universite´ d’Angers, Angers, France
laurent.hardouin@univ-angers.fr
Re´sume´
Les Syste`mes a` Eve´nements Discrets (SED) peuvent eˆtre de´finis comme des syste`mes dans
lesquels les variables d’e´tat changent sous l’occurrence d’e´ve`nements au fil du temps. Les
SED mettant en jeu des phe´nome`nes de synchronisation peuvent eˆtre mode´lise´s par des
e´quations line´aires dans les alge`bres de type (max,+). Dans ce papier, on s’inte´resse au
proble`me de l’atteignabilite´ des SED de´crits dans l’alge`bre (max,+). L’objectif est de
de´terminer l’ensemble atteignable des SED de´crits dans l’alge`bre (max,+), c’est-a`-dire
l’obtention de toutes les trajectoires d’e´tat ge´ne´re´es a` partir d’un domaine d’e´tat initial.
L’approche propose´e repose sur la the´orie des polye`dres tropicaux.
1 Contexte
Les syste`mes a` e´ve´nements discrets (SED) temporise´s comportant des phe´nome`nes de synchro-
nisation et des retards peuvent eˆtre de´crits au moyen de mode`les (max,+)-line´aires. Le compor-
tement dynamique de cette classe de SED peut eˆtre mode´lise´ par des Graphes d’E´ve´nements
Temporise´s (GET). La connaissance a` priori de l’espace atteignable contribue a` la re´solution de
plusieurs proble`mes dans le domaine de l’automatique des syste`mes dynamiques a` e´ve´nements
discrets de´crits dans l’alge`bre (max,+). Par exemple, la ve´rification de la suˆrete´ de fonction-
nement, l’analyse de performances, la commande robuste, etc... En pratique, le calcul exact de
cet espace d’e´tat est difficile. Re´cemment [1] le proble`me de l’analyse d’atteignabilite´ pour les
syste`mes (max,+)-line´aire (MPL) a e´te´, proprement, re´solu en de´composant le syste`me MPL en
une combinaison de syste`mes affines par morceaux ou` les composantes affines du syste`me sont
repre´sente´es par des matrices de diffe´rences borne´es (Difference Bound Matrix, DBM). Dans ce
papier, nous montrons que les polye`dres tropicaux permettent de re´soudre de manie`re e´le´gante
ce proble`me.
2 Alge`bre tropicale
Soit Rmax l’ensemble R ∪ {−∞} muni des lois ⊕ et ⊗ de´finies par x ⊕ y = max(x, y) et
x⊗ y = x+ y. L’alge`bre (max,+) est le semi-anneau (Rmax,⊕,⊗) ou` les e´le´ments neutres pour
l’addition ⊕ et la multiplication ⊗ sont note´s, respectivement, ε = −∞ et e = 0. L’addition et
la multiplication peuvent eˆtre e´tendues aux vecteurs et matrices de Rn : v⊕w = (v1, . . . ,vn)⊕
(w1, . . . ,wn) = (v1⊕w1, . . . ,vn⊕wn), α⊗v = (α⊗v1, . . . , α⊗vn) et (AB)ij =
⊕n
k=1Aik⊗Bkj .
∗Ce travail a e´te´ soutenu par le biais du programme RFI Atlanstic 2020.
Analyse d’atteignabilite´ (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
Soient les sous-ensemble S1, S2 ⊆ Rnmax, on appelle somme de Minkowski S1 ⊕ S2, l’ensemble
{s1 ⊕ s2 | s1 ∈ S1, s2 ∈ S2}. Un vecteur a est une combinaison line´aire de l’ensemble des vec-
teurs b1, . . . ,bm si a =
⊕m
i=1 αib
i avec les αi ∈ Rmax. Le coˆne engendre´ par A, note´ cone(A),
est l’ensemble de toutes les combinaisons (finies) line´aires des e´le´ments de A. Un vecteur a
est une combinaison convexe d’un ensemble de vecteurs b1, . . . ,bm si a =
⊕m
i=1 αib
i avec les
αi ∈ Rmax tels que
⊕m
i=1 αi = e. On de´finit l’enveloppe convexe, note´e co(A), comme l’ensemble
de toutes les combinaisons convexes des e´le´ments de A.
3 Repre´sentations des polye`dres tropicaux
Il y a une grande similitude entre la the´orie des polye`dres tropicaux et les polye`dres ge´ne´raux.
En effet, les polye`dres tropicaux peuvent eˆtre de´finis comme l’intersection d’un ensemble fini de
demi-espaces tropicaux de´crits par des ine´galite´s de la forme ax⊕ b ≤ cx⊕d, ou` a, c ∈ R1×nmax et
b, d ∈ Rmax 1. On parle de repre´sentation externe. Par l’interme´diaire de l’e´quivalent tropicale
[2] du the´ore`me de Minkowski-Weyl, on peut de´finir un polye`dre tropical P0 comme la somme
de l’enveloppe convexe d’un nombre fini de points et d’une enveloppe conique, i.e.,
P0 = co(V )⊕ cone(W ),
ou` V =
{
v1, . . . ,vp
}
,W =
{
w1, . . . ,wq
}
et V,W ⊆ Rnmax sont des ensembles finis des points
tels que λ1v
1 ⊕ · · · ⊕ λpvp ⊕ γ1w1 ⊕ · · · ⊕ γqwq, ou`
⊕p
i=1 λi = e et γ1, . . . , γq ∈ Rmax. On parle
de repre´sentation interne.
Dans [1] les auteurs proposent d’utiliser les matrices a` diffe´rences borne´es (nous dirons DBM
pour Difference Bound Matrix) pour repre´senter certains polye`dres tropicaux. Les DBM ne
permettent de repre´senter que des polye`dres tropicaux qui sont convexes au sens de l’alge`bre
ordinaire. En effet, une DBM est une matrice permettant de repre´senter un ensemble d’ine´galite´s
de la forme xi − xj < c ou xi − xj ≤ c et x0 = 0. On peut exprimer une contrainte de la forme
xi − xj > c par xj − xi < −c. La constante x0 = 0 permet d’exprimer des contraintes de la
forme xi < c par xi − x0 < c. Les DBM sont tre`s utilise´es en ve´rification de mode`les.
La repre´sentation externe des polye`dres tropicaux est similaire a` la repre´sentation des DBM. On
peut toujours repre´senter une DBM par un polye`dre tropical [5]. Par exemple, si on conside`re
les ine´galite´s x1 ≤ n et x1 − x2 ≤ n. On a, pour la premie`re x1 ≤ n ⇐⇒ e⊗ x1 ⊕ ε⊗ x2 ⊕ ε ≤
ε⊗ x1 ⊕ ε⊗ x2 ⊕ e⊗ n, de meˆme pour la seconde ine´galite´ x1 − x2 ≤ n ⇐⇒ x1 ≤ x2 + n ⇐⇒
e⊗x1⊕ ε⊗x2⊕ ε ≤ ε⊗x1⊕n⊗x2⊕ ε. Que l’on peut mettre sous la forme Ax⊕b ≤ Cx⊕d,(
e ε
e ε
)(
x1
x2
)
⊕
(
ε
ε
)
≤
(
ε ε
ε n
)(
x1
x2
)
⊕
(
n
ε
)
.
3.1 Exemple
Soit le polye`dre P0 (cf. Fig 1) de´finit par les ine´galite´s qui suivent :
P0 =
{
x ∈ R2max : x2 + 4 ≥ x1, x1 ≥ x2 − 2, x1 ≤ 8, x1 ≥ 2, x2 ≤ 7, x2 ≥ 1
}
, (1)
1. Contrairement a` l’alge`bre ordinaire, en alge`bre (max,+) un syste`me d’ine´galite´s peut eˆtre repre´sente´ comme
un syste`me d’e´galite´ (et vice versa), en effet nous avons a ≥ b ⇐⇒ a = a⊕b. Par conse´quent, on peut repre´senter
un polye`dre tropical par un syste`me d’e´galite´.
2
Analyse d’atteignabilite´ (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
x2 + 4 ≥ x1
x1 ≥ x2 − 2
x1 ≤ 8
x1 ≥ 2
x2 ≤ 7
x2 ≥ 1
•
(
8
4
)
•
(
5
7
)
•
(
2
1
)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
x1
x
2
Figure 1 – Polye`dre P0
0 10 20 30 40 50
x1
0
10
20
30
40
50
x 2
Ensemble de conditions initiales X0 Etats Xk
Figure 2 – Le polye`dre tropical P0 qui
re´presente la re´gion X0 et l’ensemble Pk qui
repre´sente les re´gions Xk (Atteignabilite´ di-
recte).
ou de manie`re e´quivalente [2] par
P0 = co
({(
8
4
)
,
(
5
7
)
,
(
2
1
)})
⊕ cone
({(
ε
ε
)})
. (2)
Les vecteurs de l’ensemble co(. . .) correspondent aux points extreˆmes du polye`dre P0 [4].
4 Atteignabilite´
Soit le syste`me dynamique autonome (max,+)-line´aire
x(k) = F ⊗ x(k − 1), (3)
avec x(0) ∈ X0 ⊆ Rnmax et F ∈ Rn×nmax et ou` X0 est l’ensemble des conditions initiales des
e´tats du syste`me. Soit X0 l’ensemble des conditions initiales, l’ensemble atteignable Xk est
de´fini [1] de fac¸on re´cursive comme l’image de Xk−1 par rapport a` l’e´quation dynamique du
syste`me (max,+)-line´aire Xk = `(Xk−1) = {F ⊗ x | x ∈ Xk−1} = F ⊗ Xk−1 2. Le calcul de
l’ensemble Xk se base sur la repre´sentation interne d’un polye`dre tropical. En effet, soient
X0 ⊆ P0 = co(V ) ⊕ cone(W ) et f : Rnmax → Rnmax une application line´aire. On a P1 =
f(P0) = f(co(V )) ⊕ f(cone(W )) = co(f(V )) ⊕ cone(f(W )) ou` P1 est un polye`dre tropical.
Ceci peut eˆtre re´ite´re´ et finalement on obtient Xk ⊆ f(Pk−1). Soit le syste`me dynamique (3)
avec x(0) ∈ X0 ⊆ P0, on peut calculer P1 = f(P0) = F (λ1v1) ⊕ . . . ⊕ F (λpvp) ⊕ F (γ1w1) ⊕
. . . ⊕ F (γqwq) = λ1F (v1) ⊕ . . . ⊕ λpF (vp) ⊕ λ1F (w1) ⊕ . . . ⊕ λpF (wp). Finalement, on a
X1 = {F ⊗ x | x ∈ X0} ⊆ P1.
2. L’ope´rateur ` est parfois appele´ Post dans la litte´rature [3].
3
Analyse d’atteignabilite´ (max,+) E.Winck, Lhommeau et Hardouin
4.1 Exemple
Soit le syste`me (3) avec F =
(
2 5
8 e
)
et x(0) ∈ X0 =
{
x ∈ R2max : 0 ≤ x1 ≤ 2,−4 ≤ x2 ≤ 6
} ⊆
P0 l’ensemble des conditions initiales. La repre´sentation interne du polye`dre P0 est donne´e par
P0 = co
({(
2
−4
)
,
(
e
−4
)
,
(
e
6
)})
⊕ cone
({(
ε
ε
)})
.
Le calcul de l’ensemble X1 ⊆ P1 est obtenu par le calcul qui suit :
P1 = f(P0) = co
({(
2 5
8 e
)(
2
−4
)
,
(
2 5
8 e
)(
e
−4
)
,
(
2 5
8 e
)(
e
6
)})
⊕ cone
({(
2 5
8 e
)(
ε
ε
)})
.
(4)
En re´ite´rant le processus, on obtient les ensembles atteignables pour diffe´rentes valeurs de k
(cf. Figure 2).
5 Conclusion
Dans ce papier, nous avons montre´ que le proble`me de l’atteignabilite´ des syste`mes (max,+)-
line´aires peut eˆtre re´solu par une approche base´e sur les polye`dres tropicaux. Il reste a` comparer
la complexite´ de cette approche avec celle utilisant les DBM[1].
Re´fe´rences
[1] D. Adzkiya, B. De Schutter, and A. Abate. Computational techniques for reachability analysis of
max-plus-linear systems. Automatica, 53(3) :293–302, 2015.
[2] X. Allamigeon, S. Gaubert, and E´. Goubault. The tropical double description method. In
Proceedings of the 27th International Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science
(STACS’2010, March 4-6, Nancy, France). Leibniz Center in Informatics, 2010.
[3] Christel Baier and Joost-Pieter Katoen. Principles of Model Checking (Representation and Mind
Series). The MIT Press, 2008.
[4] Ste´phane Gaubert and Ricardo D. Katz. The minkowski theorem for max-plus convex sets. Linear
Algebra and its Applications, 421(2-3) :356–369, 2007. Special Issue in honor of Miroslav Fiedler.
[5] Qi Lu, Michael Madsen, Martin Milata, Søren Ravn, Uli Fahrenberg, and Kim G. Larsen. Rea-
chability analysis for timed automata using max-plus algebra. The Journal of Logic and Algebraic
Programming, 81(3) :298 – 313, 2012.
4


Analyse d'atteignabilité des systèmes (max,+)-linéaires à l'aide des polyèdres tropicaux

Espindola Winck, Guilherme

Hal-Diderot

HAL Descartes

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02373597/file/MSR19_paper_25.pdf

Analyse d'atteignabilité des systèmes (max,+)-linéaires à l'aide des polyèdres tropicaux

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