PPSM, Pusat Pengajian Sains Matematik

Repository@USM

UNIVERSITI SAINS MALAYSIAPeperiksaan Semester PertamaSidang Akademik 2004/2005Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi LAPAN [8] mukasurat yang bercetak sebelum anda memulakan peperiksaan ini .Jawab semua tiga soalan.Oktober 2004MAT 251 - PENGANTAR PENYELIDIKAN OPERASIMasa : 3 jam1 . (a)	Piawaikan model PL yang berikut :x4 tak tersekatDiberikan senarai tugas dan tugas pendahulu bagi suatu projek bersertajangkamasa optimis (a), paling bolehjadi (m) dan pesimisnya (b) di dalam hari .(i) Lukiskan gambarajah anak panah keseluruhan projek ini .(ii) Dapatkan min dan varians bagi semua kegiatan .(iii) Tunjukkan masa permulaan terawal dan masa siap terlewat bagi semuaperistiwa.(iv) Hitung dan tunjukkan jumlah apungan dan apungan bebas bagi semuakegiatan .(v) Senaraikan tugas-tugas genting .(vi) Apakah kebarangkalian bahawa kegiatan D siap dalam 22 hari?(vii) Apakah kebarangkalian projek ini siap di dalam tempoh tidak melebihi45 hari?(c) Diberikan rumus PL berikut :2 [MAT 2511MaksimumkanTerhadap[20 markah][50 markah]Jan amasa ari)Tugas Tugas Pendahulu a m bA - 5 8 10B - 12 15 18C A 4 7 12D B 4 5 7E A,D 2 3 6F B 3 8 10G C,E,F 12 15 20H G 15 18 20z = 2x1 - 3x2 + x3 - 4x42x] - x2 + 3x3 - 5x4 <_ 20xl + 2x2 - x3 + x4 >- 2x4 <_ 20Maksimumkan z =15x, +10X2 - 7x3 + 8x45x, +2x2 -3x3 -2x4 >- 30terhadap 4x, -3x2 +5x3 -6x4 5-20x, -2x2 -3x3 -4x4= 50Dengan xl >- 0, x2 >- 0, -2 _ x3 <_ 6 ,Gunakan teknik dua-fasa bagi menyelesaikan masalah ini .(i)	Tunjukkan sehingga tablo permulaan fasa dua .(ii) Kemaskinikan tablo fasa dua ini .2 . (a) Pertimbangkan rumus PL berikut :MaksimumkanTerhadapXI, x2 >_ 0(i) Lakarkan graf dan lorekkan ruang tersaur masalah PL ini .(ii) Dapatkan penyelesaian dan nilai optimumnya.(iii) Berikan status setiap sumber yang ada.(iv) Nyatakan kekangan yang terikat .(v) Berikan julat sumber 2 supaya penyelesaian asas kekal.(vi) Berikan julat pekali fungsi matlamat pembolehubah x2 supayapenyelesaian asas yang sedia ada kekal .[MAT 251][30 markah][30 markah]Sebuah kilang pengitaran semula memproses kertas kotak, kertas tisu, akhbar dankertas buku untuk menghasilkan tiga gred (Gred 1,2 dan 3) kertas kitar semula .Harga semetrik tan dan kandungan palpa bagi keempat-empat bahan mentahtersebut dinyatakan di dalam jadual berikut :Dua kaedah iaitu menyah-dakwat dan pembersihan asfalt digunakan bagimemproses keempat-empat input tersebut menjadi palpa.Kos kaedah menyah-dakwat adalah RM20 bagi setiap tan bahan . Proses menyah-dakwat menghapuskan 10% kandungan palpa daripada bahan mentah,meninggalkan 90% palpa asal . Kos bagi pembersihan asfalt adalah RM15 bagisetiap tan bahan . Kaedah ini akan menghapuskan 20% palpa . Paling banyak,3,000 tan bahan mentah dapat diproses menggunakan kaedah pembersihan asfaltatau menyah-dakwat.Kertas gred 1 hanya dapat dihasilkan daripada akhbar atau kertas buku. Kertasgred 2 hanya dapat dihasilkan daripada kertas buku, kertas tisu atau kertas kotak .z = 6x1 + 3x2xl + 2x2 >_ 10 (Sumber 1)2x1 + x2 < 20 (Sumber 2)XI - 2x2 <_ 10 (Sumber 3)-XI + x2 < 3 (Sumber 4)Bahan MentahKertas KotakHarga (RM)5Kandungan Palpa (%)15Kertas Tisu 6 20Akhbar 8 30Kertas Buku 10 404	[MAT 251]Kertas gred 3 dapat dihasilkan daripada akhbar, kertas tisu atau kertas kotak.Bagi memenuhi permintaan, pihak syarikat perlu mengeluarkan sekurang-kurangnya 500 tan palpa untuk kertas gred 1, 500 tan palpa untuk kertas gred 2dan 600 tan palpa untuk kertas gred 3 .Rumuskan masalah ini sebagai suatu model PL yang akan meminimumkan kospengeluaran.(c) Sejenis produk dihasilkan oleh duabush kilang (A dan B) dan dijual di tiga pusatjualan ( I, II dan III ). Kos pengangkutan ( RM / unit) dari kilang ke pusat jualanadalah seperti berikut:(ii)(iv)(v)(vi)[30 markah]Syarikat ini ingin merancangpengeluaran penghantaran danjualannya.Kos, kuantiti kapasiti pengeluaran dan kuantiti permintaan adalah seperti berikut:Rumuskan masalah ini sebagai suatu rumus PL biasa.( Definisikanpembolehubah keputusan dan tuliskan fungsimatlamat,kekangan dan syarat pembolehubah).Tedemahkan rumus PL di (i) kepada tablo pengangkutan .Selesaikan (ii) dan perincikankanjawapan anda . Berapakahjumlahkeuntungan (atau kos) yang optimum?Beritahu pusat jualan mana yang tidak dapat kuantiti yang diminta. Berapaunit kekurangannya?Dapatkan julat bagi pekali kos Ci 1 supaya penyelesaian kekal optimum.Tunjukkan kesan di dalam tablo pengangkutan jika pengeluaran kilang Aditingkatkan sebanyak 75 unit lagi dan permintaan di pusat jualan IIIditingkatkan kepada 225 unit .[40 markah]Kilang Pusat JualanI II IIIAB4 6 87 4 3Pen eluaranKilan A Kilan BKos (RM /unit) Ka asiti Kos (RNV unit) Ka asiti$ - ~ - -175I -7 f 200PermintaanPusat Jualan Har a Jualan (RM / unit) Amaun PermmtaanI 15 100II 20 200III 14 1503. (a)	Limapekerja boleh melaksanakan empat tugas, jika tidak, is ditandakan dengan(-). Masa diambil bagi setiap pekerja melaksanakan setiap tugas adalah sepertiberikut :5 [MAT 251]Tentukan pemberian tugas kepada pekerja supaya jumlah masa dapatdiminimumkanApakah jumlah masa keseluruhan yang minimum?Pekerja mana yang_tidak diberi tugas?Pertimbangkan masalah PL yang berikut:Maksimumkan z = 2x1 + 5x2 + x3 + 4x4Terhadap 3x2 + 2x3 -x4 <- 5 (Sumber1)- x, + 2x2 + 2x3	< 6 (Somber 2)x, +x2 +x +x4S 8 (Sumber3)xZ >_ 0 , i = 1,2,3,4 .[30 markah]Andaikan SI, S2 dan S3 masing-masing adalah pembolehubah lalai bagi kekangan1, 2 dan 3. Tablo optimumnya adalah seperti berikut :(i) Tuliskan penyelesaian dan nilai optimum PL ini .(ii) Nyatakan status setiap sumber yang berkurangan dan yang berlebihan .(iii) Jika had sumber 2 berubah kepada 10, apakah penyelesaian optimum yangbaru?(iv) Dapatkan julat bagi somber 2 supaya penyelesaian optimum yang sediaada tidak berubah .(v) Jika had sumber 3 meningkat kepada 15, berikan penyelesaian dan nilai zyang baru.(vi) Berikan penyelesaian yang baru jika pekali fungsi matlamat bagipembolehubah x4 ialah 8 .[30 markah]. . .61-Masa (Jam )Peke 'a Tu as 1 Tu as 2 Tu as 3 Tu as 41 22 18 30 182 18 - 27 223 26 20 28 284 16 22 - 145 21 - 25 28Asas XI x2 x3 x4 sl s2 s3 Penyelesaianz 1 .5 0 4 0 0 0.5 4 35XI -0.5 1 1 0 0 0.5 0 3x2 1 .5 0 0 1 0 -0.5 1 5x3 3 0 -1 0 1 -2 1 1(c)	Rangkaian berikut mewakili suatu projek:6 [MAT 261]Jangkamasa biasa dan nahas, serta kos langsung bagi setiap kegiatan diberikanseperti berikut :Kos tak langsung dianggap berkadaran dengan jangkamasa projek dengan kadarRM50 sehari . Kontrak mengenakan denda sebanyak RM100 jika projek lewatdaripada 18 hari dan menawarkan bonus sebanyak RM120 jika awal daripada 18hari .(i) Dapatkan skedul kos minimum projek ini .(ii) Senaraikan kegiatan genting .(iii) Lakukan dua lelaran pemampatan bagi projek ini . Berikan jumlah kosprojek bagi setiap lelaran .[40 markah]Jangkamasa (hari) Kos Langsung (RM)Kegiatan Biasa Nahas Biasa NahasA 5 3 20 80B 4 3 70 1`00C 3 3 150 150D 5 3 180 300E 4 2 200 400F 4 3 180 220G 3 2 120 200H 2 1 100 2001 5 2 300 450J 6 4 400 600Lampiran 1TABLE 4. THE NORMAL DISTRIBUTION FUNCTIONThe function tabulated is 4)(x) = sJm	e - +" dt . Q1 (x) is-®the probability that a random variable, normally distributedwith zero mean and,unit variance, will be less than or equalto x. When x c o use m(2.) = 1- 0(-x), as the normaldistribution with zero mean and unit variance is symmetricabout zero.[MAT 2511. . .Lampiran 2/x o(2.) x 4Z(X) x <0(x) x O(z) x 4(2.) x O(x)0-00 0"Sooo 0-411 0-6554 0-80 0"7881 1'20 0'8849 1-60 0'9452 2 "00 0-97725'111 '5040 "41 -6591 '81 '7910 '21 '8869 -61 '9463 '01 '97778"02 '5080 "42 -6628 "82 7939 '22 '8888 -62 - 9474 -02 -97831'03 "Srzo -43 -6664 '83 '7967 -23 - '8907 -63 '9484 '03 '97882'04 '5160 '44 '6700 '84 '7995 -24 '8925 -64 '9495 '04 '979320105 0'5199 0-45 0- 6736 0'85 0'8023 1-25 0-8944 1 "65 0'95os 2.05 0- 9798206 '5239 '46 -6772 '86 '8051 -26 -8962 -66 .'9515 "06 -98o3o'07 '5279 '47 "6808 -87 '8078 '27 -8980 -67 '9525 '07 - 98077'08 '5319 '48 "6844 -88 -8to6 -28 '8997 '68 '9535 -08 -9812.1'09 '5359 '49 -6879 '89 -8133 '29 '9015 -69 '9545 '09 -981690-10 0'5398 V "So 0-6915 0-90 0-8159 1-30 0-9032 170 0'9554 2-10 0-98214'11 '5438 '51 '6950 '91 '8186 '31 '9049 '71 '9564 "11 '98257112 '5478 '52 '.6985 -92 -8212 '32 " -9066 '72 '9573 -12 -98300'13 '5517 '53 '7019 -93 -8238 '33 '9082 '73 '9582 '13 -98341'14 '5557 '54 7054 -94 '8264 '34 '9099 '74 '9501 '14 -98382a'xS 0'5596 0'55 07088 0'95 0'8289 1'35 0-9115 Z'75 0'9599 2'15 0'9x422-16 "5636 "56 "7123 -96 '8315 -36 -9131 :76 -9608 -2.6 -984111'17 '5675 'S7 '7157 -97 '8340 .'.: '1)147 '77 '!1G16 '17 -99Soo"18 '5714 'S8 7190 -98 '8365 '38 -9162. -78 -9625 -18 - 0x537'19 '5753 '59 7224 -99 '8389 '39 '9177 '79 ''1633 '19 '9x5740"20 0'5793 0-60 0-7357 1-00 0-8413 1'40 0-9192 1-80 0'964 t 2'20 0-9x610"21 -5832 -61 "72.91 -0r '84313 '42. -9207 ' -81 -1)64 1) -99(1 .15'22 '5871 .62. '7324 -02 -8461 -4= -9222 -x2. 'n6s() 'u -9x679'23 -5910 -63 '7357 '03 '495 '43 '9236 '83 -9664 '23 '0711'24 '5948 '64 '7389 '04 -8508 '44 .9251 '84 -9671 '24 '4x745a'ZS 0-5987 0'65 074=2 1-05 0'8531 1'45 0'9265 1'85 0-1)(178 2-25 0-9x778"2.6 "6026 '66 -7454 -06 '8554 -46 '9279 -86 '11(l3(1 '26 -9980)'27 "6064 -67 -7486 '07 '8577 '47 -9292 -87 -9693 '27 -g8840'28 '6103 "68 '7517 "08 '8599. '48 -9306 '88 ' 1)(x)9 -28 '98870"29 "6141 '69 '7549 -09 -8621 '49 ' 1)319 '89 -9706 .29 -988990-30 o-6t79 0-70 0-7580 2."u 0-8643 1-50 0'9332 1'90 0'9713 2'30 0'98928'31 '6217 -71 '7611 -1r '8665 'S1 '9345 .91 '9719 .31 '98TYS&'32 '6255 '72 7642 112. '8686 .52 '4357 '92 '9726 "32 -98983'33 "6293 '73 '7673 '13 '8708 '53 '9370 '93 '0732 '33 -99010'34 '6331 '74 7704 '14 '8729 '54 '9382 '94 '0738 '34 '990360'35 0 -6368 0'75 0'7734 1'15 0'8749 1'55 0'9394 1'95 01)744 2-35 o-09061-36 '6406 '7.6 -7764 '2.6 '8770 'S6 99406 .96"11750 '36 -990x6'37 '6443 '77 '7794 '17 '8790 'S7 '9412 '97 - '1756 '37 '91)111"38 '6480 "78 -7823 -:8 '8810 'S8 '9429 . 98 '0741 -38 -99134'39 "6517 '79 '7852 '19 '8830 'S9 ''1441 '1r) '9767 '39 - 1)91580-40 0'6554 0'80 0-7881 1'20 0'8849 1 -u ^ -9452 2*00 0 1772 2'40 0'99180When x > 3'3 the formulaless than 945/x11 .This table gives percentage points x(P) defined by theequationP	__ 1 T c-t1' dt .100 7 n)IfX is a variable, normally distributed with zero mean andunit variance, P/too is the probability that .Y > x(P) . Thelower P per cent points are given by symmetry as -x(P).and the probability that J,Yj > x(P) is 2P/too .Lampiran 2TABLE 4. THE NORMAL DISTRIBUTION FUNCTION1-~(x) xtX2 X4 x"+x"J2t1.The critical table below gives on the left the rank of values ofx for which O(x) takes the raluc 0n the right,correct to the last figure given ; in critical cases, take the upper o£ the two values of 4>(x) indicated .3'7310'490°4"916O'ooo0537590'999073'9760"o00~63'791 099992 4 O'OWM7826 0'40003 r O'4~MOR3"867 °0''9999509994 4.4i~ 0'000001 "00000TABLE 5. PERCENTAGE POINTS OF TTIFNORMAL DISTRIBUTION-0000000-is very acc+tratr, with relative error[MAT 251 ]x m(x) x ~D(x) x 0(x) x 47(x) x tD(x) x 4,(x)2-40 0'99180 2-S5 0-99461 2"70 0"99653 2"85 0-9078t 3'00 wogR6-9 3- 15 0'99918"4r '99202 -S6 '99477 "7r -99664 "86 -997RR 'or "99969 -t6 '99921*42 '9922-4 '57 '99492 '72 '99674 '87 '9979-9 "02 -9074 '77 '99924'43 '9924-9 '58 '99506 '73 -99683 "88 '09Ror '03 '9)OR7R '28 -99926'44 '99266 159 '99520 '74 '99693 '89 '99907 '04 '99882 .29 '999292'45 °'99286 2-60 0'99534 2-75 0'99702 2"90 0-99873 3"05 0"90RR6 3'20 0-99932'46 '99305 "61 '99547 -76 '99721 "9r '99919 "06 'g9RR9 '21 '99934'47 '99324 "62 -99S6o '77 '99720 "92 '9982-9 '07 '99993 "22 '99936'48 '99343 '63 -99573 '78 '99728 '93 -99931 "o8 -99996 '23 '99938'49 '99361 "64 '99585 '79 '99736 -94 '99836 '09 '99000 '24 '999402'50 0'99379 2'65 0-99598 2"80 0"90744 2"95 o'"R41 3"10 0"99003 3"2-5 0'99942'51 '99396 "66 .99609 "8r '99752 "96 '99846 '11 "990°6 "26 '99944'52- 199423 '67 '99622 "82 '99760 '97 '09R52 '2-2 '9ooto '27 '99946'S3 '99430 '68 -99632 -83 '99767 "98 '99856 '13 '00013 "28 '99948'54 '99446 '69 '99643 '44 '99774 '99 '99861 14 '99926 '29 '999502-55 0-99461 2"70 0"99653 2'85 0-99781 3'00 0""865 3'15 0'90918 3'30 0'99952P X(P) P X(P) P X(P) P 2-(1') P %I P) T' x(P)go 0-0000 .;I - 0 1 "6444 3'0 1 " 9909 2-'0 2-05 .17 2'0 2- .126 .1 0 :n 3'000245 0" 1257 4-R 1-0646 2-9 1 "8057 2 -9 2'0740 0'9 2-1656 "^09 3'121440 0'2533 4- 6 1 "6949 2"8 7(;t10 t "R z'oobo 0-8 2 -4080 0-08 3"75-9935 0'3953 4-4 1-7060 2-7 t-g26R 1"7 2 " 7201 01 2 "457.1 "7 3'194730 0-5244 4-2 1 "7279 2"6 1'9431 1"6 2 " 1444 o-6 2-5121 o-M 3-238925 0"6745 4-0 1 -7507 2- -9 7'061,0 1'5 2" 77-')t O'S 2" ;7 ;4 n' n-9 1-7-oos20 0-8476 3-9 7-7744 2'4 1'077"1 t-4 2 " 107 ; 0-4 7't,;21 0nt 3-710075 1 "0364 3-6 1 "7901 2'j 1 "00;4 1 ti 2.2202 0"3 7'7479 tf "nn5 3-800610 1-2Rr6 3-4 1-9250 2*2 2"0147 1-2 2-2571 0-2 xR-,R2 n nor 4-26405 1 -6449 3-2 1-8522 2-1 2-0335 1-1 2-2904 0-1 3" 0onz 0"00-9 4.41723'075 3.2630'99943-to5 09990 3'3200'99953138 3'3893.2:40" ~221"'0'90933'4800.9?076r 0'90493*0'99943. S019999

MAT 251 - Pengantar Penyelidikan Operasi - Oktober 2004

http://eprints.usm.my/27404/1/MAT_251_%2D_PENGANTAR_PENYELIDIKAN_OPERASI_OKT_2004.pdf

MAT 251 - Pengantar Penyelidikan Operasi - Oktober 2004

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Repository@USM