Dans la grande thématique des milieux granulaires, nous avons choisi d'étudier la réponse de ce type milieu à
        un choc ponctuel important : une explosion granulaire. Plus précisément, nous nous intéressons à la dynamique
        de croissance du rayon de l'explosion dans un milieu granulaire. Cette explosion générant une onde de choc,
        nous avons utilisé une expérience modèle pour comprendre la structure d'une onde de choc granulaire. Dans
        notre expérience modèle, l'onde de choc est générée par l'écoulement d'un milieu granulaire peu dense sur un
        obstacle xe. Dans les gaz, il existe des équations raccordant l'état du milieu avant et après une onde de choc :
        les équations de Rankine-Hugoniot, indispensables pour décrire une explosion gazeuse. Nous avons montré à
        partir d'un modèle et des expériences qu'il était possible d'appliquer ces équations à un milieu granulaire malgré
        son caractère hautement dissipatif. Cette connaissance des conditions de raccord dans une onde de choc est
        essentielle à la compréhension de la dynamique de croissance du rayon de l'explosion dans un milieu granulaire.
        Nous présentons ici les premiers résultats obtenus sur l'étude d'une onde de choc granulair

BOUDET, Jean-François

KELLAY, Hamid

VILQUIN, Alexandre

I-Revues

Étude d'une onde de choc granulaire
A. Vilquin and J.F. Boudet
Laboratoire Ondes et Matière d'Aquitaine, Université Bordeaux 1
Résumé
Dans la grande thématique des milieux granulaires, nous avons choisi d'étudier la réponse de ce type milieu à
un choc ponctuel important : une explosion granulaire. Plus précisément, nous nous intéressons à la dynamique
de croissance du rayon de l'explosion dans un milieu granulaire. Cette explosion générant une onde de choc,
nous avons utilisé une expérience modèle pour comprendre la structure d'une  onde de choc granulaire . Dans
notre expérience modèle, l'onde de choc est générée par l'écoulement d'un milieu granulaire peu dense sur un
obstacle ﬁxe. Dans les gaz, il existe des équations raccordant l'état du milieu avant et après une onde de choc :
les équations de Rankine-Hugoniot, indispensables pour décrire une explosion gazeuse. Nous avons montré à
partir d'un modèle et des expériences qu'il était possible d'appliquer ces équations à un milieu granulaire malgré
son caractère hautement dissipatif. Cette connaissance des conditions de raccord dans une onde de choc est
essentielle à la compréhension de la dynamique de croissance du rayon de l'explosion dans un milieu granulaire.
Nous présentons ici les premiers résultats obtenus sur l'étude d'une onde de choc granulaire.
Dans les gaz, une onde de choc est un phénomène hors-équilibre qui ne peut pas être décrit par la théorie cinétique,
il est nécessaire d'utiliser l'équation de Boltzmann dont la résolution est très complexe. Les équations de Rankine-
Hugoniot, qui proviennent des équations de conservation, permettent cependant de relier la densité, la vitesse
moyenne et la température du gaz avant et après l'onde de choc [1], cela n'est pas applicable dans les granulaire à
cause de la dissipation. Les travaux de Mott-Smith proposent une description bimodale de l'onde de choc. L'état
du système est interprété comme une superposition de deux états : l'état du milieu avant l'onde de choc et l'état du
milieu après. La proportion de chaque état dépend de la position dans l'onde de choc. Dans les gaz, les distributions
de vitesses observées peuvent en eﬀet être interprétées comme la somme de deux distributions gaussiennes dans
des proportions dépendant de la position dans l'onde de choc. L'une concerne les particules avant l'onde de choc
et l'autre après l'onde de choc. Ces résultats ont été aﬃnés et conﬁrmés par plusieurs études théoriques [2] et
expérimentales dans les gaz [3], les plasmas [4] et les granulaires [5]. Dans un milieu granulaire, les faibles vitesses
du son permettent de générer et d'étudier plus facilement des ondes de choc supersoniques que dans le cas des
gaz [6]. Cependant la dissipation provoquée par les chocs inélastiques entre particules ne permettent d'écrire les
mêmes lois de conservation. Notre étude montre que dans le cadre d'un modèle bimodale et en introduisant les
termes de dissipation à posteriori, il est possible de comprendre la structure de l'onde l'onde de choc mesurée
expérimentalement.
Figure 1  a. Photographie de l'écoulement autour du cylindre prise en transmission, épaisseur entre les plaques
de 2 mm. b. Photographie de l'écoulement prise en réﬂexion dans les conditions de l'expérience, épaisseur entre les
plaques de 1,5 mm, hauteur de chute des billes d'environ 6 cm.
L'étude de l'onde de choc granulaire est réalisée en générant un écoulement de billes d'acier d'1 mm de diamètre
sur un obstacle cylindrique d'un rayon de courbure de plusieurs centimètres (Fig 1), le tout conﬁné entre deux
plaques de verres. Pour de fortes densités, un tel écoulement arrivant à des vitesses de l'ordre de 1 m.s−1 induit
une onde de choc supersonique au niveau de l'obstacle. L'obstacle cylindrique permet un écoulement par le côté
et l'établissement d'un régime stationnaire dans le milieu sans accumulation continue de matière au sommet de
1
l'obstacle (Fig 1 a.). L'écoulement est réalisé avec une épaisseur de 1,5 mm entre les plaques et l'obstacle est placé
successivement à diﬀérentes distances de l'alimentation des billes, ce qui permet de faire varier la vitesse du jet
initial. Ce cas quasi-bidimensionnel permet un meilleur suivi des particules en évitant que certaines puissent être
dissimulées derrière les autres. Le dispositif est uniformément éclairé de façon à collecter la lumière réﬂéchie. La
réﬂexion métallique sur les billes d'acier génère un centre lumineux plus simple à utiliser pour suivre les particules
(Fig 1 b.). L'acquisition des images est réalisée à l'aide d'une caméra ultrarapide à une fréquence allant de 3000 à
4000 Hz et à une calibration d'environ 45 pixels/mm. Le système est étudié le long de l'axe y regardant localement
des  boites  centrées sur cet axe de quelques millimètres à un centimètre de largeur suivant x et de hauteur
d'environ une taille de bille suivant y. Le suivi des particules est obtenu avec le logiciel ImageJ et les données sont
traitées par un programme Matlab adapté créé spéciﬁquement pour cette étude. Par ce traitement, les particules
suivies sont séparées par un seuillage sur l'accélération et la vitesse en deux populations : Les particules dites 
rapides  et dites  lentes  étant respectivement les particules n'ayant pas encore subi de choc signiﬁcatif au niveau
de la zone dense et celles en ayant subi au moins un. Choc signiﬁcatif signiﬁe ici un choc modiﬁant la vitesse de
manière signiﬁcative, ce qui exclu les chocs rasants entre particules et avec les parois. Cela revient ﬁnalement à
considérer les particules avant et après l'onde de choc. Le choix d'un modèle bimodal, par analogie aux gaz, est
guidé par l'allure des distributions de vitesses des particules (Fig 2 a.).
Figure 2  Distributions de vitesses pour diﬀérentes distances de l'obstacle pour une épaisseur de 1,5 mm entre les
plaques, hauteur de chute de 6 cm, à φ∞1 = 0, 007, ﬁlmé par réﬂexion à une fréquence de 3000 Hz. a. Distributions
des vitesses des particules lentes suivant x et des particules totales suivant y. b. Distributions normalisées des
vitesses des particules lentes suivant x.
Comme dans le cas des gaz, les distributions de vitesses sont bimodales comme déjà observé dans une précédente
étude [5]. Cela est d'autant plus visible que les particules rapides ont une vitesse moyenne très diﬀérente de celle
des particules lentes. Le pic le plus important est centré autour de zéro et représente les particules dites lentes,
on remarque d'ailleurs qu'il est de largeur semblable au pic des vitesses suivant x ce qui signiﬁerait une certaine
isotropie du milieu au niveau de l'obstacle dans l'onde de choc. Le second pic situé entre 1 et 1,5 m.s−1 correspond
aux particules initialement en chute libre : ce pic diminue à proportion que celui des particules lentes augmentes
quand on se rapproche de l'obstacle et la vitesse augmente sous l'eﬀet de la pesanteur. Les distributions dans la
zone de l'onde de choc sont une somme des deux distributions de particules rapides et lentes : l'état dans l'onde de
choc peut bien être interprété comme la superposition de deux états. Entre les deux pics, il semble tout de même
exister des particules de vitesses intermédiaires qui pourrait limiter l'utilisation de ce modèle à deux populations.
Les distributions normalisées (Fig 2 b.) de vitesse suivant x montrent que la largeur du pic augmente au fur
et à mesure que l'on s'éloigne de l'obstacle puis devient constante. Cette tendance signiﬁe une augmentation puis
un plateau de la température des particules lentes conﬁrmé en étudiant les grandeurs locales (Fig 4 a.). Enﬁn les
distributions ne sont pas gaussiennes, ce qui était déjà apparu dans d'autres études sur ce type de système hors
équilibre thermodynamique local du fait de la dissipation [1][5].
Le jet initial, de densité loin de l'obstacle φ∞1 , tombe avec une vitesse moyenne v1 sous l'eﬀet de la pesanteur.
Suﬃsamment loin de l'obstacle, ce jet est essentiellement constitué de particules dites  rapides . Par le suivi de
particules, nous avons pu mesurer expérimentalement l'évolution des densités de particules rapides et lentes φ1 et
φ2, leurs vitesses moyennes v1 et v2 ainsi que la température granulaire T2 des particules lentes déﬁni comme l'écart
quadratique moyen des vitesses des particules lentes T2 =
1
2
(〈
v22x
〉
+
〈
v22y
〉)
,
〈
v22i
〉
étant l'écart quadratique de la
vitesse suivant la coordonnée i.
Les grandeurs sont mesurées localement en considérant des  boites  sur toute la largeur mais de hauteur
2
Figure 3  a. Photographie d'un écoulement pour une épaisseur entre les plaques de 2 mm, hauteur de chute de 10
cm à φ∞1 = 0, 014. b. Mesure de la densité totale φ, de la densité des particules rapides φ1 et des particules lentes
φ2 pour une épaisseur de 1,5 mm entre les plaques, hauteur de chute de 6 cm, à φ
∞
1 = 0, 007, ﬁlmé par réﬂexion à
une fréquence de 3000 Hz.
environ égale à une taille de bille. Les particules s'accumulent au sommet de l'obstacle (Fig 3 a.) jusqu'à une
certaine densité Ainsi les particules rapides incidentes se  transforment  en particules lentes par collision avec les
particules présentes dans la zone dense et non avec l'obstacle lui-même. On observe la  taille  de la zone de l'onde
de choc par l'intermédiaire de la longueur de décroissance de la densité des particules rapides (Fig 3 b.). La vitesse
des particules lentes suivant y augmente au fur et à mesure que l'on s'éloigne de l'obstacle et semble tendre vers
une valeur plateau. La même tendance est observée pour la température des particules lentes.
Figure 4  Pour une épaisseur de 1,5 mm entre les plaques, hauteur de chute de 6 cm, à φ∞1 = 0, 007, ﬁlmé par
réﬂexion à une fréquence de 3000 Hz : a. Mesure de la température des particules lentes suivant x. b. Mesure de
la vitesse moyenne des particules suivant y. Les courbes tracées dans le cas du gaz sont des modèles dont la valeur
plateau a été choisie arbitrairement
Dans les gaz, le modèle de Mott-Smith prévoit une valeur ﬁxe après l'onde de choc pour la vitesse et la tem-
pérature du milieu. Dans notre cas, le caractère dissipatif du milieu est une cause probable de la diminution de
ces deux grandeurs près de l'obstacle. Dans notre modèle bimodale, nous considérons trois sortes de collisions dont
deux vont vraiment entraîner de la dissipation : Nous négligeons les éventuels chocs entre particules rapides lors
de la chute initiale et considérons les chocs transformant les particules rapides en particules lentes et les chocs
entre les particules lentes. La dissipation liée aux collisions entre particules rapides et lentes va diminuer le transfert
d'énergie entre avant et après l'onde de choc Cela fera ainsi diminuer la température par rapport au cas des gaz mais
cette diminution sera identique en tout point et ne peut pas expliquer à elle-seule la chute de température près de
l'obstacle. En revanche, les collisions entre particules lentes vont dissiper de plus en plus d'énergie au fur et à mesure
que leur densité va augmenter. Ce terme de dissipation complètement négligeable loin de l'obstacle va augmenter au
fur et à mesure que l'on s'en rapproche, il explique la diﬀérence avec la valeur constante de température dans le cas
d'une onde de choc gazeuse. Au plus près de l'obstacle, les particules deviennent quasiment immobiles et s'évacuent
lentement par les cotés. Au delà de plus de 7-8 mm de l'obstacle, les mesures de v2 et T2 deviennent moins précises
(Fig 4) car le nombre de particules lentes est très réduit. Cela se retrouve dans la forme des distributions de vitesse
et permet de donner un critère sur la cohérence d'un point de mesure local.
Le modèle bimodale permet d'appliquer les équations de conservation (masse, quantité de mouvement et énergie)
issues de l'équation de Boltzmann à deux populations. A ce niveau, elles ne dépendent de la forme de la distribution.
3
Ces trois équations ne permettent pas de résoudre complètement le système reliant φ1, φ2, v1, v2 et T2. Nous y
ajoutons une relation liant les densités de particules lentes et rapides déjà introduite dans une étude précédente
[5] :∂φ1∂y =
φ1
l(φ2)
où l (φi) =
6
√
2
dbille
φi est le libre parcours moyen d'une bille dans un milieu de densité φi. Cela revient
à dire qu'en moyenne, une particule rapide parcourt son libre parcours moyen dans un milieu de densité φ2 avant
de subir un choc qui la transforme en particule lente. Cette équation supplémentaire, inconnue encore dans les gaz,
permet de normaliser le système et de travailler avec les grandeurs adimensionnées T2
v21
, φ1φ∞1
et y
l(φ∞1 )
(Fig 5).
Figure 5  Densité des particules rapides et température des particules lentes suivant x en fonction de la distance
à l'obstacle en libre parcours moyen y/l (φ∞1 ) pour une épaisseur de 1,5 mm entre les plaques. L'origine est prise
sur le milieu de l'onde de choc où la densité des particules rapides a chuté de moitié.
φ∞1 est déterminé par conservation du débit et en considérant que les particules rapides tombent sous gravité,
y est la distance à l'obstacle. L'expérience a été réalisée pour diﬀérentes hauteurs de chute aﬁn de faire la varier
la vitesse initiale des billes. Par conservation du débit, une variation de la vitesse de l'écoulement entraîne ici une
variation de sa densité. Cette normalisation permet de comparer les densités et températures obtenues pour les
diﬀérentes hauteurs de chute (Fig 5). On observe la superposition des proﬁls tant en densité qu'en température.
Pour les densités, nous pouvons donc déduire une longueur de décroissance caractéristique à une épaisseur donnée
entre les plaques, taille caractéristique dans l'onde de choc. Pour la température, on observe une valeur plateau
entre 0 et 0,2 libre parcours moyen. Au delà, les observations sont plus délicates étant donné le faible nombre
de particules lentes en jeu. Grâce à la relation supplémentaire, qui n'a pas encore d'équivalent dans les gaz, nous
sommes capables de résoudre complètement le problème et de déterminer toutes les grandeurs mises à jeu dans
l'onde de choc. Il est pour cela nécessaire de tenir compte des spéciﬁcités de notre expérience : particules soumises à
la pesanteur, forces exercées par l'obstacle et les parois, écoulement par les côtés. Nous avons également pu tester les
équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie en les adaptant à notre milieu.
En eﬀet, les équations de conservation utilisées sont issues de l'équation de Boltzmann pour un milieu non dissipatif,
ce qui n'est pas notre cas ici. Pour surmonter ce problème, nous avons choisi d'introduire la dissipation en ajoutant
directement les termes de dissipation issus de la littérature [7] dans l'équation de conservation de l'énergie. Nous
ajoutons ainsi deux termes de dissipation pour les deux types de collisions décrits plus haut, l'un entre particules
rapides et particules, l'autre pour les particules lentes entre elles. Par ce modèle bimodale, il est possible de décrire
complètement la structure de l'onde de choc dans un milieu granulaire. L'accord entre la résolution numérique et
les courbes expérimentales obtenues sera présenté lors du séminaire.
Références
 [1] H. Mott-Smith, Phys. Rev. 82, 885 (1951).
 [2] M.A. Solovchuk and T.H.W. Sheu, Phys. Rev. E 81, 056314 (2010).
 [3] G. Pham-Van-Diep, D. Erwin, and E. P. Muntz, Science 245, 624 (1989).
 [4] S. Mazouﬀre, P. Vankan, R. Engeln, and D. C. Schram, Phys. Rev. E 64, 066405 (2001).
 [5] J.F. Boudet, Y. Amarouchene and H. Kellay, Phys. Rev. Lett. 110, 254503 (2008).
 [6] Y. Amarouchene and H. Kellay, Phys. Fluids 18, 031707 (2006).
 [7] E. L. Grossman, T. Zhou, and E. Ben-Naim, Phys. Rev. E 55, 4200 (1997).
4


Explosion granulaire

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