El propósito de este taller es mostrar como con el uso del cabrí, y la construcción de algunos fractales (conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch) se pueden identicar patrones numéricos y/o geométricos. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje signicativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico para mejorar el proceso de transición de la Aritmética al Algebra

Puerto, Jose Francisco

Funes

REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 737EL USO DE LOS FRACTALES PARA POTENCIAR EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL A TRAVÉS DEL SOFTWARE CABRÍ “DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO AL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL”El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software cabrí “Del pensamiento numérico al pensamiento Algebraico-Variacional”1The use of fractals to enhance the development of algebraic thinking-variational through Cabri “From thought to thought Algebraic-numerical variational”O uso de fractais para melhorar o desenvolvimento do pensamento algébrico-variacional através Cabri “de pensamento a pensamento variacional Algébrica-numérico”Jose Francisco Puerto Monterroza2ResumenEl propósito de este taller es mostrar como con el uso del cabrí, y la construcción de algunos fractales (conjunto de Cantor,  el   triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch) se pueden identicar patrones numéricos y/o geométricos. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formula-ción verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los térmi-nos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje signicativo y compren-sivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico para mejorar el proceso de  transición de la Aritmética al Algebra.Palabras clave: Patrones numéricos; generalización; sistemas algebraicos; expresión algebraica; matemáticas escolares; geometría; fractales; aula; recursos didácticos; recursos informáticos; so!ware.Abstract"e purpose of this workshop is to show how to use Cabri, and the cons-truction of some fractals (Cantor set, the Sierpinski triangle and snow#ake Von Koch) number patterns can be identied and / or geometric. "ese activities prepare students for the construction of the algebraic expression through verbal formulation of recursive rule that shows how to build the following terms from the preceding and the nding of a pattern to guide more or less directly to the algebraic expression. "is is a very appropriate way to prepare meaningful learning and understanding algebraic systems and symbolic management to improve the transition from arithmetic to algebra.1 Artículo de Investigación. 2 Universidad De Sucre Sincelejo-Sucre, Colombia. Contacto: jopuermon@gmail.comRecibido: mayo de 2013Aceptado: agosto de 2013REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica738JOSE FRANCISCO PUERTO MONTERROZAKeywords: Number Patterns; generalization algebraic systems; algebraic expression; school mathematics, geometry, fractals, classroom teaching resources, computing resources, soware.ResumoO objetivo deste workshop é mostrar como usar o Cabri, ea construção de alguns fractais (Cantor set, o triângulo de Sierpinski e oco de neve Von Koch) padrões de número podem ser identicados e / ou geomé-trica. Essas atividades preparar os alunos para a construção da expressão algébrica através da formulação verbal de regra recursiva que mostra como construir os seguintes termos da anterior eo achado de um padrão para orientar mais ou menos diretamente à expressão algébrica. Esta é uma maneira muito apropriada para se preparar de aprendizagem e com-preensão signicativa de sistemas algébricos e gestão simbólica para mel-horar a transição da aritmética para a álgebra.Palavras-chave: padrões numéricos, sistemas de generalização algébricas; expressão algébrica, a matemática escolar, geometria, fractais, recursos de ensino em sala de aula, recursos de computação, de soware.Introducción“La exposición repetida de construcciones de for-mulas, como expresiones que explicitan un patrón de variación, ayuda a los estudiantes a comprender la sintaxis de las expresiones algebraicas que apa-recerán después en el estudio del algebra”. Demana (1990).Diferentes investigaciones realizadas en los últimos años (TIMSS, PISA, etc) develan las dicultades que presentan los estudiantes de los primeros nive-les de la educación secundaria cuando se enfrentan a problemas algebraico, manipulación de expresio-nes algebraicas y signicación de éstas, interpreta-ción de información dada en  distintos lenguajes (grácos, tabulares, algebraicos) y  solución de problemas de cambio y variación, entre otros. Esto se debe quizás a que el  currículo durante los pri-meros grados está basado solamente en el estudio de la aritmética, y que tópicos como el Algebra, que podrían ayudar a los estudiantes a desarro-llar destrezas de pensamiento como: observar, analizar, conjeturar, generalizar, etc., son reserva-dos para ser estudiados en los grados superiores. Además,  la aritmética  frecuentemente se enfoca en los resultados de los procesos de cálculo más que en los aspectos relacionales y estructurales, oponiéndose así al reconocimiento de las reglas del álgebra, que constituyen expresiones que expresan generalidades, donde los patrones que se observan aparecen en las mismas colecciones de números, y en las operaciones comunes que se hacen con estos números o como modelos que describen situaciones.  El hecho de que el álgebra pueda ser vista como la formulación y manipulación de proposiciones generales sobre los números, hace que la experien-cia previa que el estudiante ha tenido  con la estruc-tura de expresiones numéricas en la escuela, tenga efecto sobre la habilidad para asignarle sentido a esta. Por esto el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de Estados Unidos (NCTM), esta-blece que se deben propiciarse actividades que involucren la generalización  de patrones  numé-ricos para modelar, representar o describir patro-nes físicos, regularidades y patrones que se hayan observado. Estas exploraciones informales de con-ceptos algebraicos deben contribuir a que el estu-diante adquiera conanza en su propia capacidad de abstraer relaciones a partir de información con-textual y de utilizar toda una gama de representa-ciones para describir dichas relaciones.  Cuando los estudiantes elaboran grácas, tablas de datos, expresiones,  ecuaciones o descripciones verbales REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 739EL USO DE LOS FRACTALES PARA POTENCIAR EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL A TRAVÉS DEL SOFTWARE CABRÍ “DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO AL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL”para representar una relación simple, descubren que representaciones diferentes dan lugar a dife-rentes interpretaciones de una situación.Esta propuesta se fundamenta en lo descritos anteriormente y se plantean actividades de gene-ralización de patrones numéricos, geométricos y de leyes y reglas de tipo natural o social que rigen los números y las guras; se involucra la visuali-zación, exploración y manipulación de los núme-ros y las guras en los cuales se basa el proceso de generalización como lo propone Mason (1992). Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expre-sión algebraica. De esta manera, el pensamiento algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación.  Marco teóricoLa  generalidad es un aspecto central en la activi-dad matemática, a todo nivel, y, a la cual se puede retornar una y otra vez, cualquiera que sea el tema particular de discusión. Las matemáticas compren-den muchas generalizaciones, ya sea que tomen forma de métodos, procedimientos, o de fórmulas, y estas pueden ser vistas como originándose de la misma manera que las propias generalizaciones de los patrones, hechas por los alumnos. La generalización es uno de los procesos que ocu-rren en cualquier nivel del pensamiento mate-mático y que está incluido en uno más global, el proceso de abstraer, “To generalize is to derive or induce from particulars, to identify commonalities, to expand domains of validity” (Dreyfus, 1991, p. 35). La generalización es fundamental para el desa-rrollo del pensamiento matemático y algebraico, es base de la abstracción (Mason, 1985), es indu-dable entonces la importancia de su tratamiento. Está relacionada con otros procesos propios de la actividad matemática, que podrían denomi-narse más particulares como: inducir, observar, descomponer, hacer analogías e identicar caracte-rísticas comunes. Y debe pasar por varias etapas; a saber: La percepción de un patrón, la expresión del patrón, el registro del patrón y la prueba de validez del patrón (Mason, Socas, Sessa, Butto y Rojano).Por otra parte las reglas del álgebra constituyen expresiones que expresan generalidades, pero los patrones que se observan aparecen en las mis-mas colecciones de números, y en las operaciones comunes que se hacen con estos números o como modelos que describen situaciones. El álgebra es el lenguaje con que se expresa dicha generalidad. Para aprender el lenguaje del álgebra es necesario tener algo que decir, se debe percibir algún patrón o regularidad y luego tratar de expresarlo en forma sucinta, para poder comunicarlo a alguien.  (Rutas hacia el álgebra. John Mason y otros, 1999). Es así como el mayor reto en la enseñanza del álgebra es promover la percepción de la “generalidad” que esta detrás de los símbolos, para lo cual es nece-sario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sis-temas numéricos. De esta manera, el pensamiento algebraico surge como generalización del trabajo aritmético con modelos numéricos en situaciones de variación.Una manera propicia de experimentar con pro-cesos de generalización y búsqueda de patrones, entre otros, es aprovechar las posibilidades que brindan la incorporación de las TICs en el aula y muy especialmente el so"ware de geometría diná-mica CABRI, por que permite: el descubrimiento, la experimentación, la exploración, la construc-ción de modelos, la formulación de hipótesis, la demostración, la responsabilidad, la creatividad, el análisis, el trabajo colaborativo, en n la actividad del estudiante sobre el objeto-conocimiento desde diferentes aristas (Cervantes &   Viquez, 1994, 144), es decir, ver la matemática de una manera mas activa y dinámica: la matemática experimental.Este taller se fundamenta en este so"ware y en la hoy naciente GEOMETRÍA FRACTAL,  que es una poderosa herramienta que permite modelar fenó-menos impredecibles y fascinantes de la naturaleza y que fue dada a conocer al mundo en los años setenta por Benoît Mandelbrot. El término fractal REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica740JOSE FRANCISCO PUERTO MONTERROZAfue acuñado por el y hace referencia a la idea de “partido” o “fracturado”. Como característica fun-damental se considera la autosemejanza o autosi-milaridad de su forma, la reiteración o iteración en la formación de su modelo, la dimensión que intenta describir su tamaño o densidad y el con-cepto de atractor para caracterizar la gura cuando el proceso de iteración tiende al innito. Esta idea es suciente para pensar en guras que, por ejem-plo, tienen área nita y perímetro innito. Quizás algunos conjuntos ya clásicos puedan resultar familiares, y que podrían servir de ejemplos bas-tante sencillos para estas características (como el conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski, o la curva de Koch). Cabe indicar que este trabajo se centra mas en las regularidades numéricas que se presentan entre los elementos constitutivos del fractal, que en la construcción formal de los con-ceptos fractales. El trabajo con  actividades sobre  reconocimiento de patrones y su generalización, proporciona la oportunidad de acordar nuevas formas de comu-nicación en las que prevalece y se le da sentido al lenguaje algebraico como una forma sucinta para expresar conjeturas, y someterlas a vericación y refutación. Las actividades planteadas sobre gene-ralización, posibilitan el desarrollo de habilidades como la predicción y la sistematización, las cua-les se deben explicitar, para propiciar la discusión sobre su  importancia no solo en las matemáticas sino en situaciones cotidianas.El propósito de este proyecto de aula es mostrar como con el uso del Cabrí, y a través de la mani-pulación de objetos geométricos y la identicación de regularidades numéricas, se puede mejorar el tratamiento del proceso de  transición de la Aritmética al Algebra, trabajando dos aspectos centrales: el desarrollo del Pensamiento Numérico y el Pensamiento Algebraico. Metodologia La metodología a utilizar en este taller esta funda-mentada en el uso del so!ware de geometría diná-mica Cabrí, y la inmersión en el fascinante mundo de los fractales que permite a través   de construc-ciones geométricas modelar y explorar problemas que conllevan a desarrollar en los alumnos los pen-samientos matemáticos. Se hace la construcción de algunos fractales como el conjunto de Cantor,  el triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch y se identican las regularidades numéricas que se presentan entre los elementos constitutivos del fractal, se registran estos resultados para así poder determinar su expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el apren-dizaje signicativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico. Objetivo general?? Favorecer un acercamiento signicativo a conceptos fundamentales del álgebra como expresiones algebraicas y ecuaciones, desde actividades funcionales y de generalización.Objetivos especí"cos?? Fomentar el uso de las TICs en el desarrollo de los procesos de aula.?? Propiciar en los estudiantes el desarrollo de competencias para: observar, medir, valorar, analizar e interpretar situaciones  numéricas.?? Desarrollar en los estudiantes competencias para: ver relaciones y establecer conexiones, hacer predicciones y  generalizaciones, hasta llegar a la modelización y la formalización de leyes?? Fomentar el desarrollo del razonamiento inductivo-deductivo.?? Propiciar el desarrollo de la competencia comunicativa.?? Crear espacios para el trabajo cooperativo.?? Mejorar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.Resultados que se esperan obtenerAanzar la comprensión de las operaciones mate-máticas básicas. El desarrollo de valores como: la autoestima, la res-ponsabilidad, la autonomía, la solidaridad, la crea-tividad y el emprendimiento.REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 741EL USO DE LOS FRACTALES PARA POTENCIAR EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL A TRAVÉS DEL SOFTWARE CABRÍ “DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO AL PENSAMIENTO ALGEBRAICO-VARIACIONAL”La ceración de nuevas ideas a partir de lo concreto para interiorizar conceptos abstractos.El desarrollo de competencias para la identica-ción de regularidades numéricas para su generali-zación y modelación.Familiarizar al estudiante con el manejo del len-guaje gráco-tabular-algebraico.Desarrollar en los alumnos habilidades de orden superior como explorar, conjeturar, razonar, reexionar y comunicar matemáticamente, así como habilidad para usar efectivamente sus habi-lidades cognitivas y metacognitivas en la solución de problemas rutinarios.Minimizar las deciencias que se presentan en el proceso de transición de la aritmética al algebra.Fomentar el trabajo cooperativo.Estandares de calidad a  desarrollar1. Pensamiento numérico y sistemas numéricosReconocer signicados del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codi-cación, localización, etc).Identicar regularidades y patrones numéricos, las propiedades de los números, sus   relaciones y operaciones utilizando calculadoras o computador. 2. Pensamiento espacial y sistemas geométricosDiferenciar atributos y propiedades de objetos bidimensionales y tridimensionales.Hacer conjeturas y vericar los resultados de apli-car transformaciones a guras en el plano.3. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticosReconocer y describir regularidades y patrones en distintos contextos (numérico, geométrico, etc).Predecir patrones de variación en una secuencia numérica, geométrica o gráca.Describir y representar situaciones de varia-ción relacionando diferentes representaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).Reconocer el conjunto de valores de una variable en situaciones concretas de cambio (variación).Usar procesos inductivos y lenguaje algebraico para vericar conjeturas.Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas ReferenciasBriggs, J. (1994). Espejo y Re"ejo: Del Orden al Caos. Barcelona: Gedisa.Guzmán, M. (1993). Estructuras Fractales y sus Aplicaciones. Barcelona: Labor.García, A. (1995). Nuevas Tecnologías y Enseñanza de Las Matemáticas. Madrid: Síntesis. Ministerio de Educación Nacional (1999). Nuevas Tecnologías y Currículo de Matemáticas. Bogotá: Punto Exe editores.Mason J. (1999). Rutas hacia el álgebra .Traducción por Cecilia Agudelo Valderrama. Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia   Ministerio de Educación Nacional. (2003). Estándares Básicos de calidad - Matemáticas.Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares - Matemáticas.Rosillo, N. (1997). Fractales con el Miniordenador TI-92. Madrid: Faster Soca, M. M., (1997): “Dicultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en la Educación Secundaria, cap. 5, pp. 113-141” en L. Rico y otros: La educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Ed. Horsori (en prensa)Soca, M. M., y otros (1989). Iniciación al Algebra. Síntesis. Madrid.Soca, M. M., y Palarea, M. M. (1987). Las fuen-tes de signicado, los sistemas de represen-tación y errores en el algebra escolar. Uno, núm14, pp. 7-24. Barcelona

El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software Cabri “del pensamiento numérico al pensamiento algebraico-variacional”

El propósito de este taller es mostrar como con el uso del cabrí, y la construcción de algunos fractales (conjunto de Cantor, el triángulo de Sierpinski y el copo de nieve de Von Koch) se pueden identificar patrones numéricos y/o geométricos. Estas actividades preparan a los estudiantes para la construcción de la expresión algebraica a través de la formulación verbal de una regla recursiva que muestre cómo construir los términos siguientes a partir de los precedentes y el hallazgo de un patrón que los guíe más o menos directamente a la expresión algebraica. Esta es una forma muy apropiada de preparar el aprendizaje significativo y comprensivo de los sistemas algebraicos y su manejo simbólico para mejorar el proceso de transición de la aritmética al álgebra

Puerto, Jose F.

REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica732OSCAR MOLINAMediación y Geometría Dinámica: una alternativa para involucrar a los estudiantes en la actividad demostrativa en geometría 1Dynamic Measurement and Geometry: An Alternative to engage students in the activity demonstrative geometry Medição Dinâmica e Geometria: uma alternativa para envolver os alunos na atividade geometria demonstrativaCristina Mejía2Oscar Molina3ResumenEn este taller se presenta parte de una secuencia didáctica con la que se pretende favorecer la actividad demostrativa en una clase de geometría de grado octavo. Tal secuencia, fue diseñada con base en la aproximación NFUPEPMØHJDBQBSBMBFOTF×BO[BEFMHSVQPt($POFMUBMMFSTFQSFUFOEFejemplificar cómo podría ser el rol del profesor cunado  emplea artefactos bajo la Teoría la Mediación Semiótica propuesta por Mariotti (2009). En este caso el artefacto empleado es Geogebra, un software de geometría dinámica (SGD). La secuencia hace parte de mi trabajo de grado para optar por el título de maestría en Docencia de las Matemáticas y lo que se pretende abordar en el Taller es resultado parcial del mismo.Palabras clave: Matemáticas escolares; Geometría Dinámica; Metodología de trabajo en el aula; Secuencia Didáctica; Mediación Semiótica; Aprendizaje; Procesos cognitivos; procesos de justificación; Actividad demostrativa.AbstractThis workshop presents part of a teaching sequence with which the acti-vity is to encourage class demonstration in eighth grade geometry. This sequence was designed based on the methodological approach for tea-DIJOHtHSPVQ(8JUIUIFXPSLTIPQJTUPJMMVTUSBUFIPXDPVMECFUIFrole of teacher artifacts Cunado used under Semiotic Mediation Theory proposed by Mariotti (2009). In this case the device used is Geogebra, dynamic geometry software (SGD). The sequence is part of my grade to qualify for the master’s degree in Teaching of Mathematics and intended to be addressed in the workshop is the result in part.1 Artículo de Investiigación. 2 Estudiante de Maestría Universidad Pedagógica Nacional. The English School. Bogotá, Colombia. Contacto: mdma_cmejia758@pedagogica.edu.co 3 Universidad Pedagógica Nacional. Bogotá, Colombia. Contacto:  ojmolina@pedagogica.edu.coRecibido: mayo 2013Aceptado: agosto 2013REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 733MEDIACIÓN Y GEOMETRÍA DINÁMICA: UNA ALTERNATIVA PARA INVOLUCRAR A LOS ESTUDIANTES EN LA ACTIVIDAD DEMOSTRATIVA EN GEOMETRÍAKeywords: school mathematics; Dynamic Geometry; Methodology of work in the classroom didactic sequence; Semiotic Mediation, Learning, Cognitive processes, processes of justification; Activity demonstrative.ResumoEsta oficina apresenta parte de uma seqüência de ensino com as quais a atividade é incentivar a demonstração de classe na geometria oitava série. Esta seqüência foi projetado com base na abordagem metodológica QBSBPFOTJOPtHSVQP($PNBPĕDJOBÏQBSBJMVTUSBSDPNPQPEFSJBser o papel do professor artefatos Cunado usado sob Theory mediação semiótica proposto por Mariotti (2009). Neste caso, o dispositivo é utili-zado Geogebra, geometria dinâmica (BRL). A seqüência é parte da minha classe para se qualificar para o mestrado em Ensino de Matemática e des-tinados a serem abordados na oficina é o resultado, em parte.Palavras-chave: matemática escolar; geometria dinâmica, metodologia de trabalho na seqüência didática em sala de aula; mediação semiótica, aprender, processos cognitivos, os processos de justificação; atividade demonstrativa.IntroducciónEn mis clases de Geometría como estudiante, las experiencias que tuve en relación con el sentido de la demostración fueron muy pobres y nunca comprendí claramente que era lo que el profesor pretendía, más allá de memorizar definiciones y repetir demostraciones que ya estaban en los libros. Ahora como aspirante a Magister de la Universidad Pedagógica Nacional, considero que las experien-cias en torno a el sentido de la demostración que deben tener mis estudiantes pueden ser muy ricas y que mi rol como profesora realmente puede ayu-dar a que sus significados personales evolucionen, especialmente cuando en el proceso de enseñanza se utilizan deliberadamente artefactos como un SGD. En los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas (2003) se pone de manifiesto que en la escuela se deben proponer situaciones ricas en las que los estudiantes comprendan el papel de la demostración en las matemáticas, y resaltan que se deben aprovechar los recursos didácticos como los software especializados; se reconocen estos recursos como mediadores en el proceso de ense-ñanza aprendizaje y como elementos integradores de distintos pensamientos que además motivarían 4   Actividad conformada por dos procesos, el de conjeturación (cuyo producto es una conjetura) y el de justificación (cuyo producto es la explicación, prueba o demostración del enunciado conjeturado)a los estudiantes por cuanto les presenta entornos dinámicos. Atendiendo a lo anterior, en este taller, presento parte de una secuencia didáctica con la que se pretende favorecer el involucramiento de los estudiantes en una actividad demostrativa4 y des-cribir cuál podría ser el rol del profesor cuando emplea artefactos como SGD con el propósito de que significados de los estudiantes evolucionen.. Específicamente, el diseño de secuencia didáctica está fundamentado  en la aproximación metodo-lógica para la enseñanza del grupo Aprendizaje y &OTF×BO[BEFMB(FPNFUSÓBt(EFMB6OJWFSTJEBEPedagógica Nacional, y el análisis del rol del pro-fesor se realiza teniendo como referente la Teoría de la Mediación Semiótica (TMS) propuesta por Mariotti (2009). Marco teórico La TMS basada en el enfoque Vigotskiano (Mariotti, 2009), proporciona el marco teórico para plan-tear cuál podría ser el rol del profesor. Según este enfoque, el conocimiento es una consecuencia de REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica734OSCAR MOLINAactividades instrumentadas que emergen y evolu-cionan dentro de la interacción social; en un con-texto educativo, el rol del profesor es vital en dicha interacción. Esta teoría reconoce que la enseñanza y el aprendizaje pueden ser vistos como la evolu-ción de signos de los estudiantes (e.g., sus gestos, su producción oral o escrita, o una construcción realizada empleando un software de geometría dinámica). Los signos de los estudiantes, que sur-gen mediante el uso intencionado de un artefacto, pueden ilustrar sus significados personales, y con la mediación del profesor, pueden evolucionar a sig-nos matemáticos asociados a significados matemá-ticos (una definición o un teorema por ejemplo). Mariotti (2009) sostiene que reconocer el potencial semiótico de un artefacto3 en términos de los sig-nificados personales y de significados matemáticos permite al profesor, quien es el experto, emplear los artefactos como herramientas de mediación semiótica, y posibilita que los estudiantes conecten sus significados personales, generados por el uso del artefacto, con significados matemáticos reco-nocidos por dicho experto. Los signos producidos por los estudiantes pueden estar muy pegados al artefacto, es decir, ser pro-ducto del uso del artefacto para el abordaje de una tarea específica, o ser producto de la reconstruc-ción de un contexto relacionado con la actividad desarrollada con el artefacto; estos signos para la TMS son los “signos del artefacto” que se espera evolucionen a “signos matemáticos” (i.e., aquellos que están asociados a la teoría matemática misma). Los “signos pivote” son los signos que evidencian conexión entre el contexto del artefacto y el con-texto matemático o los que facilitan la transición de un contexto al otro. La producción de signos está fuertemente ligada entonces, a las acciones que fueron propuestas para ser desarrolladas con el artefacto (Drijvers, Kieran & Mariotti, 2010).La TMS propone el diseño e implementación de un ciclo didáctico, constructo que se utiliza para refe-rirse a una secuencia de actividades que permite desarrollar los componentes del proceso semiótico (Mariotti, 2009). En términos generales el ciclo didáctico consta de una secuencia enmarcada en tres momentos: Se propone una tarea a los estu-diantes en la que se debe hacer uso del artefacto y se realiza el desarrollo de la tarea  empleando los artefactos, por parte de los estudiantes. Se rea-liza una etapa de producción individual de signos como solución a la tarea en la que el profesor, a partir de los signos producidos por los estudian-tes, se orienta la discusión hacia una discusión matemática. A partir de la producción colectiva de signos, la acción intencionada del profesor propi-cia la evolución de los signos producidos por los estudiantesPara el trabajo de grado (y claro, para el desarro-llo de este taller), como ciclo didáctico se utilizó una secuencia fundamentada en la aproximación metodológica para la enseñanza propuesta por el HSVQP EF JOWFTUJHBDJØO t( &TUB BQSPYJNBDJØOconsta de: 1. Resolver un problema  de conjetu-ració5 en grupos pequeños de estudiantes con el apoyo de un SGD. 2. Reportar dicho proceso de solución y como consecuencia de ello, construir conjeturas. 3. Retomar, por parte del profesor, el trabajo con el artefacto para permitir una puesta en común de los signos que emergieron al resol-ver la tarea. 4. Identificar, por parte del profesor, los signos que emergieron bien sea del artefacto, personales, pivote o matemáticos.  5. Emplear, por parte de todos los miembros de la clase, esos signos para favorecer la apropiación del discurso matemá-tico (lenguaje matemático, conjeturas adecuadas, estructura de los enunciados, etc.). 6. Emplear, por parte del profesor, los signos que considera mate-máticos, para hacer evolucionar los signos de los estudiantes y negociar los significados. El propósito de este ciclo es producir un teorema y explicitar el sistema teórico local asociado a este teorema.5   La relación semiótica doble en que por una parte, los significados personales están relacionados con el uso del artefacto, en parti-cular en relación con el propósito de cumplir la tarea, y por otra parte los significados matemáticos pueden estar relacionados con el artefacto y su uso se llamará el potencial semiótico de un artefacto (Bartolini-Bussi & Mariotti, 2008).4  Los problemas abiertos de conjeturación exigen formular una conjetura expresada como condicional; la parte de ésta que se debe buscar (antecedente o consecuente) depende de la información que aporta el problema y la pregunta que se propone.REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica 735MEDIACIÓN Y GEOMETRÍA DINÁMICA: UNA ALTERNATIVA PARA INVOLUCRAR A LOS ESTUDIANTES EN LA ACTIVIDAD DEMOSTRATIVA EN GEOMETRÍADescripción de las tareas que serán propuestasInicialmente se plantea el siguiente problema al que se llamará PROBLEMA CUMBRE.EN GEOGEBRA: Si A, B y C son tres puntos no colineales en el mismo plano y el punto A´ es la simetría axial de A con respecto a la recta BC, ¿qué puede decir del punto A´? 1. Represente la situación usando el SGD.2. Explore la construcción.3. Escriba su afirmación en forma de condicio-nal (no la justifique).Si (lo que se construyó o está dado) entonces (lo que se descubrió)4. Provea los elementos que emplearía al realizar una justificación de su afirmaciónEl propósito de proponer esta actividad en este momento es que los participantes identifiquen qué objetos geométricos deberían estar presentes en su solución. No se pretende que se exponga una solu-ción formal del problema aún.Se espera que los participantes lleguen a: Si A, B y C son tres puntos no colineales en el mismo plano y el punto A´ es la simetría axial de A con respecto a la recta BC, entonces A´ es un punto de la circun-ferencia con centro en B y radio AB. Tal como se ilustra en las figuras de la derecha que pueden ser unos de los signos producidos por los estudiantes.Se espera que los elementos suficientes para pro-veer la justificación dados por los asistentes al taller sean los siguientes: definición de circunfe-rencia, definición de simetría axial y definición de mediatriz (entre otros). Realizado lo anterior, se les presentará a los par-ticipantes una serie de problemas que se podría proponer a los estudiantes tendiente a construir de manera colectiva en la comunidad de clase, todos los elementos teóricos para resolver dicho problema. Con cada una de tales problemas se establecerá el rol del profesor como mediador, y se buscará que los significados de los participan-tes evolucionen, tal como podría hacerse en un aula de clase con estudiantes en edad escolar. Cada problema en su solución propicia la producción de signos por parte de los estudiantes, y son estos sig-nos con los que el profesor puede hacer mediación usándolos como pivote, matemáticos o como sig-nos del artefacto.Esas tareas son las que puede ver en el Anexo 1. ConclusionesEfectivamente este tipo de actividades intenciona-das en el aula, propicia la mediación del profesor, de manera tal que el andamiaje realizado por el profesor, permite potenciar el uso de los artefactos.El profesor como agente experto en una comu-nidad de clase, puede emplear los artefactos para lograr que los signos personales emergentes, evo-lucionen a signos matemáticos, y que esto se vea de manera latente en las sesiones de clase, tal como lo sostiene la TMS.La aproximación metodológica para la ense-ñanza del grupo Aprendizaje y Enseñanza de la (FPNFUSÓB t( EF MB 6OJWFSTJEBE 1FEBHØHJDBNacional, es una aproximación efectiva para favo-recer la actividad demostrativa en las aulas de clase, y los estudiantes de secundaria pueden desarrollar dicha actividad.Referencias Bartolini-Bussi, M., & Mariotti, M. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom: Artifacts and signs after a Vygotskian pers-pective. Handbook of international research in mathematics education.5   Archivo de Geogebra, con un punto A y su simetría axial respecto a una recta.REVISTA CIENTÍFICA / ISSN 0124 2253/ OCTUBRE DE 2013 / EDICIÓN ESPECIAL / BOGOTÁ, D.C.Educación científica y tecnológica736OSCAR MOLINADrijvers, P., Kieran, C., & Mariotti, M.-A. (2010). Integrating Technology into Mathematics Education: Theoretical Perspectives. En C. Hoyles, & J.-B. Lagrange, Mathematics Education and Technology-Rethinking the Terrain. The 17th ICMI Study (Vol. 13, págs. 89-132). London.Ministerio de Educación Nacional (2003). Estándares básicos de calidad.Mariotti, M. (2009). Artifacts and signs after a Vygotskian perspective: the role of the tea-cher. ZDM Mathematics Eduaction, 427-440.Samper, C., Perry, P., Camargo, L., & Molina, O. (2011). Capítulo 1: Innovación en un aula de geometría de nivel universitario. TAREA 1 HECHO GEOMÉTRICO:  1.	 Representen la situación usando el SGD. 2.	 Exploren la construcción. 3.	 Escriban su afirmación en forma de condicional  Si (lo que se construyó o está dado) entonces (lo que se descubrió) Provean los elementos que emplearían al realizar una justificación de su afirmación TAREA 2 DEFINICIÓN parte a: Copien en sus computadores el archivo GEOMETRÍA 11.  1.	 Exploren la construcción. 2.	 Activen la herramienta rastro, ¿Qué afirmaciones pueden realizar? 3.	 Escriba las afirmaciones que puede hacer a partir de su exploración TAREA 3 DEFINICIÓN parte b:  (Tarea para ser desarrollada con toda la clase, recogiendo, comparando y discutiendo la tarea anterior). En la Tarea 2 las afirmaciones que se hicieron, describen la simetría axial de un punto con respecto a una recta. Escriban entonces la definición de Simetría Axial del punto A, empleando las afirmaciones realizadas en la tarea 2. TAREA 4 HECHO GEOMÉTRICO:  Dados los puntos A y B, ¿qué condiciones cumplen los puntos que equidistan de A y de B? 1.	 Realicen la construcción en el SGD 2.	 Construyan un punto que equidiste de A y de B 3.	 Socialicen qué punto construyeron. 4.	 Escriban su conjetura en forma de condicional. 5.	 Provean los elementos que emplearían para realizar la justificación de su conjetura.                                                    ANEXO 1Fuente: Elaboración propia.

El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software cabrí “Del pensamiento numérico al pensamiento algebraico-variacional"

http://funes.uniandes.edu.co/6745/1/Molina2013Mediacion.pdf

El uso de los fractales para potenciar el desarrollo del pensamiento algebraico-variacional a través del software Cabri “del pensamiento numérico al pensamiento algebraico-variacional”

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