Notre étude a pour objectif de modéliser le dépôt de particules colloïdales transportées par des écoulements turbulents en géométrie complexe dans le cadre des méthodes Lagrangiennes stochastiques. Nous présentons l’amélioration d’un modèle de dépôt de particules développé par Minier & Guingo (2008) dans le cas de géométries simples (canal plan, tuyau). Il s’agit d’un modèle de dépôt de proche paroi (MDP) construit à partir d’une approche phénoménologique qui intègre deux principales structures turbulentes de l’écoulement en proche paroi (de type « sweep » et « ejection »), qui favorisent le transport d’une particule vers la paroi. Le reste de l’écoulement, dont les caractéristiques physiques varient peu (contrairement à la zone de proche paroi), est modélisé par un modèle de Langevin généralisé (MLG) (Minier & Peirano 2001). Le travail de généralisation aux géométries plus complexes (tuyau coudé, etc.) porte sur le couplage entre les deux modèles décrits précédemment. Le raccord entre le MDP et le MLG est assuré par l’équilibre du flux de particules qui traversent l’interface entre les deux modèles. La validation du couplage s’effectue par le passage en particules fluides (particules dont l’inertie tend vers zéro), il s’agit de vérifier que le raccord est valable dans le cas limite du fluide. En effet, des accumulations non physiques de particules fluides (« spurious drift ») peuvent se produire autour de l’interface. Le travail de couplage a donné lieu à des développements théoriques et numériques sur les statistiques conditionnées d’une particule traversant une interface. Des calculs de dépôt sont ensuite effectués et les résultats comparés à l’expérience de Liu & Agarwal (1974). En parallèle de cette étude numérique et afin de se rapprocher encore plus des conditions industrielles, nous présenterons une étude de l’influence d’un gradient de température de l’écoulement sur la vitesse de dépôt des particules (mécanisme de thermophorèse)

MARTINEAU, Clara

MINIER, Jean-Pierre

TANIERE, Anne

I-Revues

21ème Congrès Français de Mécanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
Modélisation stochastique du dépôt de particules
colloïdales transportées par des écoulements turbulents en
géométrie complexe
C. Martineaua,b, J.P. Miniera, A. Tanièreb
a. Département Mécanique des Fluides, Energies et Environnement, EDF R&D, Chatou, France
b. Université de Lorraine, LEMTA, UMR 7563, Vandoeuvre-lès-Nancy, F-54500, France
Résumé :
Nous présentons l'amélioration d'un modèle de dépôt de particules développé dans le cas de géométries
simples. Ce modèle lagrangien stochastique de proche paroi est couplé pour le reste de l'écoulement à
un modèle de Langevin généralisé. Le travail de généralisation aux géométries complexes porte sur le
couplage entre les deux modèles. Le raccord est assuré par l'équilibre du ﬂux de particules traversant
l'interface entre les deux modèles. La validation du couplage s'eﬀectue par le passage en particules
ﬂuides, il s'agit de vériﬁer que le raccord est valable dans le cas limite du ﬂuide. En eﬀet, des accu-
mulations non physiques de particules ﬂuides peuvent se produire autour de l'interface. Le travail de
couplage donne lieu à des développements théoriques et numériques sur les statistiques conditionnées
d'une particule traversant une interface. Des calculs de dépôt de particules montrent que le modèle
reproduit correctement les résultats expérimentaux.
Abstract :
We present here new results obtained with the generalisation to complex geometries of a near-wall par-
ticle deposition model. One important step to generalise this lagrangian stochastic model is its coupling
with the generalised Langevin model used to compute the particles statistics in the core of the ﬂow. In
order to achieve the coupling in a consistent way, we focus on the balance of ﬂuxes of ﬂuid particles
crossing the interface between the two models. This amounts to assessing if the coupling is valid in the
ﬂuid limit case, as non-physical accumulation of ﬂuid particles, can occur at the interface. This part of
the study has lead to theoretical and numerical developments on the conditional statistics of particles
crossing an interface. The particle deposition rate is then computed with inertial particles and the model
reproduces satisfactorily experimental studies.
Mots clefs : méthode lagrangienne stochastique ; particule colloïdale ; structure tur-
bulente
1 Introduction
Le phénomène de dépôt de particule s'observe dans de nombreux domaines, sanitaires, industriels
etc. La compréhension du mécanisme à l'origine du dépôt de particules au travers d'études théoriques,
numériques et expérimentales est d'un grand intérêt pour ces questions. Nous étudierons spéciﬁquement
le dépôt de particules colloïdales qui sont des particules de taille suﬃsamment petite pour que les eﬀets
browniens ne soient plus négligeables devant les forces gravitationnelles. Le diamètre des particules
colloïdales se situe entre la centaine de nanomètres et quelques micromètres. Aﬁn d'étudier le dépôt
de particules, il est important de savoir décrire avec précision l'état de l'écoulement au voisinage de la
paroi. En eﬀet, les structures hydrodynamiques du ﬂuide dans cette zone (comme nous l'expliquerons
dans cette communication) jouent un role important dans le dépôt de particules. Pour ces raisons,
nous avons adopté une approche lagrangienne aﬁn de décrire le comportement d'une particule car
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elle permet de traiter la polydispersion (distribution des tailles de particules) sans approximation et
également de simuler avec précision le déplacement d'une particule dans la couche limite. Notre travail
porte uniquement sur le transport hydrodynamique des particules vers la paroi. Nous n'étudierons pas
les forces électrocinétiques qui peuvent aussi inﬂuencer le phénomène de dépôt [5]. D'autre part, la
surface de dépôt sera considérée parfaitement lisse (dépourvue de rugosités). Enﬁn toute déposition
sera irréversible et nous ne traiterons pas de la remise en suspension d'une particule [4, 6]. Cette
communication est organisée de la manière suivante. Dans une première partie, nous présenterons les
deux modèles permettant de calculer le dépôt de particules. Puis nous étudierons spéciﬁquement le
couplage de ces deux modèles. Enﬁn, nous présenterons une simulation de dépôt de particules.
2 Deux modèles stochastiques de nature diﬀérente
Cette section présente les deux modèles Lagrangien stochastiques utilisés pour simuler le comporte-
ment d'un particule dans un écoulement turbulent. Nous exposons tout d'abord les grandes lignes du
modèle de Langevin généralisé (GLM) [11] qui calcule le déplacement d'un particule dans le coeur de
l'écoulement. Puis nous présenterons le modèle de dépôt de proche paroi (NWM) [3] qui simule le com-
portement d'une particule dans la couche limite turbulente et comment les structures hydrodynamiques
turbulentes transportent la particule dans la direction normale à la paroi.
2.1 Un modèle de Langevin généralisé
Chaque particule est représentée par son vecteur d'état (Xp, Up, Us) où Xp représente la position d'une
particule, Up sa vitesse et Us la vitesse de ﬂuide vu qui correspond à la vitesse du ﬂuide à la position
de la particule Uf (Xp, t). Le déplacement d'une particule est modélisé par le système suivant :
dxp = Updt
dUp =
Us − Up
τp
dt
dUs = A (Us, t) dt+B (Us, t) dW
L'équation sur la vitesse de la particule Up est donnée par la deuxième loi de Newton car dans le
cas de particules beaucoup plus lourdes que le ﬂuide porteur (ρp  ρf ) seule la force de traînée est
signiﬁcative (l'inertie τp est une échelle de temps qui représente le temps nécessaire à une particule
pour s'ajuster à la vitesse locale du ﬂuide). La vitesse de ﬂuide vu Us est modelisée par une équation
diﬀérentielle stochastique. C'est une équation de Langevin où A (Us, t) et B (Us, t) sont respectivement
les coeﬃcients de dérive et de diﬀusion du processus Us and dW l'incrément de Wiener. Les travaux de
Minier et Peirano (2001) [11] fournissent les détails sur le GLM. L'équation diﬀérentielle stochastique
sur la vitesse de ﬂuide vu Us a pour objectif de reconstruire la turbulence du ﬂuide porteur à partir
des statistiques moyennes de l'écoulement (pression, énergie cinétique, etc.). Ce modèle sert de base
au modèle hydrodynamique de dépôt de proche paroi (NWM) décrit dans la section suivante.
2.2 Un modèle de proche paroi basé sur des structures turbulentes
Le NWM simule le comportement d'une particule dans la couche limite turbulente. C'est un modèle 1D
qui s'applique dans la direction normale à la paroi. Il découpe la zone de proche paroi en deux, une zone
externe qui représente la région logarithmique de la couche limite et une zone interne qui réprésente
la couche limite visqueuse. Dans chaque zone, le déplacement d'une particule est décrit par le même
vecteur d'état que celui du GLM (Xp, Up, Us) mais la vitesse de ﬂuide vu est modélisée diﬀérement [3].
La construction de la zone externe vient d'une approche phénoménologique. Des études expérimentales
[7] et numériques [9] ont montré que le transport de particules dans la direction normale à la paroi est
principalement causé par des évènements cohérents de type sweep (structure de ﬂuide qui amène la
particule vers la paroi) et de type ejection (structure de ﬂuide qui renvoie la particule vers le coeur de
l'écoulement). Entre les évènements turbulents cohérents, la particule est dans une phase de diﬀusion.
La description du comportement d'une particule apportée par le GLM est très diﬀérente de celle
apportée par le NWM. Elle provient de l'approche de modélisation adoptée pour la constrution du
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21ème Congrès Français de Mécanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
NWM à travers l'utilisation de structures turbulentes cohérentes. La ﬁgure 1 illustre cette diﬀérence
entre les deux modèles. Nous avons tracé la fonction densité de probabilité (PDF) de la vitesse de
ﬂuide vu Us obtenue par simulation de Monte Carlo dans chaque modèle.
Figure 1  Distribution des vitesses de ﬂuide vu. A gauche, le NWM avec l'alternance structure
cohérente de type sweep ou ejection (les deux distributions de Dirac) et phase de diﬀusion (distribution
gaussienne). A droite la description gaussienne du GLM
3 Couplage entre le modèle de proche paroi et le modèle de Langevin
généralisé
Aﬁn de réaliser le couplage entre les deux modèles, l'interface entre les deux modèles doit être invisible.
Les travaux de couplage sont validés par le passage en particules ﬂuides. C'est une étape de validation
essentielle qui permet de vériﬁer que les statistiques du ﬂuide sont bien retrouvées en eﬀectuant les
calculs numériques avec des particules ﬂuides qui sont des particules de très faible inertie (τp → 0)
censées se comporter comme du ﬂuide. Dans cette partie nous exposons le travail de couplage qui s'est
découpé en deux étapes.
3.1 Première étape
L'écoulement étant incompressible, nous cherchons à respecter l'équation de conservation de la masse
et donc une répartition uniforme de ces particules ﬂuides dans tout le domaine, notamment autour de
l'interface. Sachant que les particules qui traversent l'interface ont toutes la même masse (particules
ﬂuides), la conservation de la masse autour de l'interface est assurée par l'égalité du ﬂux de particules
ﬂuides issues du GLM (F1→2 dans la ﬁgure 2) avec le ﬂux de particules ﬂuides issues du NWM (F2→1
dans la ﬁgure 2) qui traversent l'interface dans la direction opposée. L'équilibre entre ces deux ﬂux
a pour objectif d'assurer l'uniformité de la concentration en particules ﬂuides autour de l'interface
et d'éviter l'apparition d'accumulation non physiques dans cette zone. L'égalité des ﬂux a fourni une
expression pour une des paramètres du NWM.
Figure 2  Déﬁnition des zones 1 et 2 autour de l'interface
Nous avons tracé dans la ﬁgure 3 la concentration en particules ﬂuides, Cp en fonction de la distance
à la paroi y+, C0 représente la concentration globale en particules ﬂuides. Le NWM s'applique entre
y+ = 0 (paroi) et y+ = 100 (interface) (zone 2 de la ﬁgure 2) au delà (y+ > 100) c'est le GLM qui
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s'applique (zone 1 de la ﬁgure 2). Nous obervons une accumulation non physique de particules ﬂuides
de l'ordre de 40% à l'interface du côté de la zone 1.
Figure 3  Concentration en particules ﬂuides dans la zone de proche paroi
Une mauvaise évaluation du ﬂux de particules F1→2 est à l'origine de l'accumlation non physique. En
eﬀet, l'estimation de ce ﬂux était basée sur l'hypothèse que la distribution de vitesse dans la zone 1 est
tout le temps gaussienne, ce qui n'est pas le cas. Autour de l'interface, la PDF des vitesse est perturbée
par les particules issues d'une phase d'ejection. La ﬁgure 4 illustre la diﬀérence entre la PDF supposée
gaussienne et la PDF eﬀective.
Figure 4  Diﬀérence entre la PDF supposée (en noir) et la PDF eﬀective (en rouge)
3.2 2ème étape
Nous avons listé deux façons d'équilibrer correctement les ﬂux à l'interface aﬁn de rétablir une concen-
tration uniforme en particules ﬂuides dans cette zone :
1. Evaluer de nouveau le ﬂux F1→2 à partir de la PDF eﬀective (courbe rouge ﬁgure 4).
2. Conserver l'estimation actuelle du ﬂux F1→2 (basé sur l'hypthèse d'une PDF gaussienne à l'in-
terface) en re-initialisant la vitesse des particules ﬂuides Us2→1 aﬁn de rétablir une distribution
gaussienne à l'interface côté zone 1 (courbe noire ﬁgure 4).
Dans ce papier nous détaillerons la deuxième piste car elle aboutit à d'intéressants résultats théoriques
sur les statistiques conditionnées.
La distribution de le vitesse Us2→1 correspond à la vitesse d'une particule ﬂuide sachant qu'elle a
traversé un interface durant un intervalle de temps (ici il s'agira du pas de temps ∆t) et que sa vitesse
initiale est gaussienne. L'expression de cette probabilité p est la suivante :
p =
1
2piL
√
∆tK
exp
(
− u
2
2(∆tK2 + αt)
) √ 2∆tK2
∆tK2 + αt
L
√
pi
2
Erfc (−A)
− ∆t
2K2σ
∆tK2 + αt
(
exp
(
−A2
)
− exp
(
−B2
))
+
σu
√
αt∆t
3
2K
√
pi√
2 (∆tK2 + αt)
3
2
(Erf (B)− Erf (A))

4
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avec : A =
√
∆tK2 + αt
2∆tK2
(
− L
σ∆t
+
u
√
αt
∆tK2 + αt
)
B =
u
√
αt√
2∆tK2 (∆tK2 + αt)
αt =
(
1− 1
TL
∆t
)2
σ2
Où K et σ sont respectivement le coeﬃcient de diﬀusion et l'écart type du processus Vs (qui représente
la vitesse du ﬂuide vu par les particules ﬂuides) décrit par le système suivant :
 dYp = VsdtdVs = − Vs
TL
dt+KdWt
avec
Yp ∼ U [−L; 0]
Vs ∼ N(0, σ2)
L'expression théorique de la PDF conditionnée permet de rétablir un distribution gaussienne à l'in-
terface côté zone 1. Ainsi l'estimation du ﬂux F1→2 (qui est basée sur une hypothèse de gaussianité)
devient valide et l'équilibre des ﬂux de particules traversant l'interface est respecté. L'accumulation
non physique de particules à l'interface disparaît, la conservation de la masse est respectée comme le
montre l'uniformité de la concentation en particules ﬂuides en ﬁgure 5. Le couplage du NWM avec le
GLM est donc validé.
Figure 5  Concentration en particules ﬂuides dans la zone de proche paroi. Première étape de
couplage (ligne continue), deuxième étape de couplage (pointillés).
4 Simulation numérique de dépôt de particules
Les simulations numériques on été eﬀectuées avec le code de calcul de mécanique des ﬂuides numérique
Code_Saturne [1] développé à EDF R&D. Nous avons reproduit l'expérience de Liu & Agarwal (1974)
[8] qui ont étudié le dépôt de ﬁnes gouttes d'huiles dans une écoulement d'air en conduite verticale
(1, 02m de long et 1, 27cm de diamètre). Les gouttes d'huiles ont un diamètre compris entre 1, 4µm
et 21µm et une densité de 918kgm−3. L'expérience à été menée avec deux nombres de Reynolds :
10000 et 50000. L'écoulement de la phase continue (air) est calculé à l'aide d'un modèle RANS Rij− .
Puis, 100000 particules d'huiles sont injectées uniformément à l'entrée du tuyau. La vitesse de dépôt
des particules est calculée à l'aide de la formule de Matida et al. (2000) [10] basée sur un bilan de
matière entre deux sections de l'écoulement. La vitesse de dépôt est représentée en fonction de l'inertie
de la particule et toutes les grandeurs sont adimensionnées. Les résultats numériques (ﬁgure 6) sont
comparés aux résultats expérimentaux de Liu & Agarwal ainsi qu'à la synthèse expérimentale de
Papavergos & Hedley (1984) [12]. L'allure de la courbe de dépôt numérique est conforme aux résultats
expériementaux. La dépendence de la vitesse de dépôt à l'inertie de la particule est bien retrouvée. Les
trois régimes de dépôt (régime de diﬀusion pour τ+p < 1, régime diﬀusionnel-inertiel 1 < τ
+
p < 20 et
régime ballistique τ+p > 20) sont correctement reproduits par le modèle de dépôt.
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21ème Congrès Français de Mécanique Bordeaux, 26 au 30 août 2013
Figure 6  Vitesse de dépôt des particules
5 Conclusions
Un couplage entre le GLM et le NWM a été réalisé et validé par le passage en particules ﬂuides. Il
est dorénavant indépendant de la position de l'interface entre les deux modèles ce qui constitue un pas
vers la généralisation du modèle aux géométries complexes. D'autre part, des calculs de dépôts menés
avec l'expérience de Liu & Agarwal ont montré que les modèles GLM et NWM couplés reproduisent
de manière satisfaisante le taux de dépôt. Aﬁn de poursuivre l'amélioration du modèle de dépôt et
de se rapprocher davantage des condition industrielles, nous étudions actuellement l'inﬂuence de la
température sur la vitesse de dépôt des particules (mécanisme de thermophorère [2]).
Nous remercions Christophe Profeta (Université d'Evry Val d'Essonne) pour son aide précieuse dans
le domaine des mathématiques stochastiques.
Références
[1] Archambeau, F., Mechitoua, N., Sakiz, M. 2004 Code_Saturne : a ﬁnite volume code for the
computation of turbulent incompressible ﬂows - industrial application Int Journal on Finite Volumes
[2] Duhr, S., Braun, D. 2006 Thermophoretic depletion follows Boltzmann distribution Physical Review
Letters 96(16), 168301
[3] Guingo, M., Minier, J.P. 2008 A stochastic model of coherent structures for particle deposition in
turbulent ﬂows Physics of Fluids 20(5), 053303
[4] Guingo, M., Minier, J.P. 2008 A new model for the simulation of particle resuspension by turbulent
ﬂows based on a stochastic description of wall roughness and adhesion forces Journal of Aerosol
Science 39, pp. 957-973.
[5] Henry, C., Minier, J.P., Lefèvre, G., Hurisse, O. 2011 Numerical study on the deposition rate of
hematite particles on polypropylene walls : Role of surface roughness Langmuir 27, pp. 4603-4612.
[6] Henry, C., Minier, J.P., Lefèvre, G. 2012 Numerical study on the adhesion and reentrainment of
nondeformable particles on surface : the role of surface roughness and electrostatic forces Langmuir
28, pp.438-452.
[7] Kaftori, D., Hestroni, G., Banerjee, S. 1995 Particle behaviour in turbulent boundary layer. ii.
velocity and distribution proﬁles Physics of Fluids 7(5), pp. 1107-1121.
[8] Liu, B., Agarwal, J. 2974 Experimental observation of aerosol deposition in turbulent ﬂow Journal
of Aerosol Science 5, pp. 145-155.
[9] Marchioli, C., Soldati, A. 2002 Mechanisms for particle transfer and segregation in a turbulent
boundary layer Journal of Fluid Mechanics 468, pp. 283-315.
[10] Matida, E., Nishino, K., Torii, K. 2000 Statistical simulation of particle deposition on the wall
from turbulent dispersed pipe ﬂow International Journal of Heat and Fluid Flow 21, pp. 389-402.
[11] Minier, J.P., Peirano, E. 2001 The PDF approach to turbulent polydispersed two-phase ﬂows
Physics Reports 352, pp. 1-214.
[12] Papavergos, P., Hedley, A. 1984 Particle deposition behaviour from turbulent ﬂows Chemical
Engineering Research and Design 62, pp. 275-295.
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