Shape Optimisation with the Multimesh Formulation of the Stokes Equations

Abstract

Denne oppgåva utforsker moglegheitene av å kombinere den nyleg føreslått "multimesh finite element method" med gradientbasert formoptimering. Insentivet til dette er å redusere berekningskostnaden relatert til deformasjonar av berekningsdomenet, som typisk er assosiert med standardformuleringa av "The finite element method". Problemet som er studert er "The Stokes-drag problem", der funksjonen som beskriv friksjon i ei væske er optimert med tanke på den relative posisjonering av lekamar i eit mangepartikkel system. I problemformulasjonen er eit sett av partielle differensialligninger kjent som "The Stokes equations", brukt for å beskrive hastigheita til den omliggande væska. "Multimesh FEM" er ei metode som nyttar seg av mange uavhengige maskeringar av berekningsdomenet. Desse maskeringane kan då bli assosiert med ulike komponentar i mangepartikkel systemet og på denne måten kan metoden unngå berekningskostnaden relatert til endring i geometrien av berekningsdomenet. I kraft av dette er "multimesh FEM"-metoden spesielt godt eigna til å løyse den type optimeringsproblem som er studert i denne oppgåva. For å kunne kombinere denne metoden med gradientbasert formoptimering er det nødvendig å finne ein gradient representasjon som er kompatibel med ei oppdeling av berekningsdomenet. Det nye bidraget i denne oppgåva er den analytiske utrekning av ein gradient representasjon for "The Stokes-drag problem", som er kompatibel med "multimesh" formuleringa. Den deriverte av energi dissipasjons funksjonen er utrekna ved hjelp av «The adjoint approach» og ved å nytte Hadamard teoremet. I utrekninga er den sterke forma av alle partielle differensial ligningar brukt. Berekningsdomenet er oppdelt i mange deldomene og kontinuitetbetingelsa for hastigheit og trykk er innført over grensene mellom dei ulike domena. Hadamard formuleringa for eit oppdelt berekningsdomene er funnen å være lik Hadamard formuleringa frå eit enkelt berekningsdomene. Numeriske eksperiment i denne oppgåva har verifisert presisjonen til gradienten i mange ulike situasjonar. Det er vist at gradienten har akseptabel presisjon rundt ekstremalpunkt. Ved å bruke eit system med turbinar i ein tidevannstrøm som testproblem, har metoden vist seg å reprodusere resultat frå litteraturen. Det er funne ut at tidsbruken assosiert med gradientevalueringa og oppdatering av domene-maskeringane, er neglisjerbar samanlikna med tida det tek å løyse det lineære systemet assosiert med "The stokes equations". Mange ulike applikasjonar for den nye metoden er føreslått