Bitjoka, Laurent

Donfack B., Omer

Gonza, Mohaman

Ngako B., Axel

Wayang, Senguel

French

IMHOTEP: African Journal of Pure and Applied Mathematics

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AFRICAN JOURNAL OF PURE AND APPLIED MATHEMATICS
Imhotep Mathematical Proceedings
Volume 2, Nume´ro 1, (2015),
pp. 76 – 87.
Synthe`se de la commande supervise´e d’un syste`me totalement
mode´lise´ par Grafcet base´e sur l’algorithme de Kumar
Wayang Senguel
Bitjoka Laurent
Gonza Mohaman
Donfack B. Omer
Ngako B. Axel
Equipe Automatique et
Traitement du Signal (ATS),
Laboratoire Energie, Signal Image
et Automatique (ESIA),
ENSAI-Universite´ de Ngaounde´re´,
BP 455, Ngaounde´re´.
senguel.wayang@univ-ndere.cm
lbitjoka@univ-ndere.cm
mohaman.gonza@univ-ndere.cm
omer.donfack@univ-ndere.cm
brice.ngako@univ-ndere.cm
Abstract
Ce papier traite de la synthe`se de supervision pour des syste`mes mode´lise´
par Grafcet. il donne une me´thode formelle de composition des Grafcets a`
l’ instar des automates a` e´tats finis qui sont des outils de base de la the´orie
de supervision. Nous avons obtenu le Grafcet superviseur mais la simula-
tion de sa dynamique a` re´ve´le´ certaines incohe´rences car plusieurs e´tapes de
ce Grafcet s’activaient en meˆme temps. Il fallait donc corriger ce dernier
en forc¸ant le Grafcet superviseur a` n’avoir qu’une seule e´tape active. Notre
me´thode a l’avantage de pouvoir exploiter certaines proprie´te´s comme les
divergences en ET divergence en ET qui n’apparait dans la the´orie des auto-
mates finis. une application de notre approche sur un syste`me manufacturier
comparativement a` la the´orie de supervision base´e sur les automates montre
que le re´sultat obtenu est plus permissif.
Proceedings of the 4th annual workshop on
CRyptography, Algebra and Geometry
(CRAG-4), 21- 25 July 2014, University of
Dschang, Dschang, Cameroon.
http://imhotep-journal.org/index.php/imhotep/
Imhotep Mathematical Proceedings
IMHOTEP - Math. Proc. 2, No.1 (2015), 76–87
1608-9324/020076–75, DOI 13.1007/s00009-003-0000
c© 2015 Imhotep-Journal.org/Cameroon
IMHOTEP Mathematical
Proceedings
Synthèse de la commande supervisée d’un système
totalement modélisé par Grafcet basée sur l’algorithme
de Kumar
Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer
and Ngako B. Axel
Résumé. Ce papier traite de la synthèse de supervision pour des systèmes modélisé par
Grafcet. il donne une méthode formelle de composition des Grafcets à l’ instar des automates
à états finis qui sont des outils de base de la théorie de supervision. Nous avons obtenu le
Grafcet superviseur mais la simulation de sa dynamique à révélé certaines incohérences
car plusieurs étapes de ce Grafcet s’activaient en même temps. Il fallait donc corriger ce
dernier en forçant le Grafcet superviseur à n’avoir qu’une seule étape active. Notre méthode a
l’avantage de pouvoir exploiter certaines propriétés comme les divergences en ET divergence
en ET qui n’apparait dans la théorie des automates finis. une application de notre approche
sur un système manufacturier comparativement à la théorie de supervision basée sur les
automates montre que le résultat obtenu est plus permissif.
Keywords. Théorie de supervision, Automates finis, Grafcet.
I. Introduction
Dans le concept de la théorie de supervision (Ramadge et Wonham, 1987) les modèles
automate du procédé et des spécifications sont donnés, le superviseur obtenu après le processus
de synthèse n’a pour seuls rôles d’autoriser ou d’empêcher les actions entreprises par la com-
mande. Les travaux trouvés dans la littérature (Ndjab, 1999) (Tajer, 2005) (Philippot et al.,
2003) (Marangé et al., 2008) font une synthèse hybride. Le système à commander modélisé par
Grafcet enfin de réduire le nombre d’états de manière structurel, puis transformer en automate
afin utiliser les algorithmes de synthèse applicable sur les automates finis. Il est par la suite re-
transformé en Grafcet pour les besoins d’implantation. Notre démarche est un rapprochement
à la supervision à base des automates finis. Ce rapprochement consiste à obtenir le langage
suprême contrôlable. Plusieurs travaux ont développé des algorithmes à cet effet (Ramadge
et Wonham, 1989 ;Brandin ,1989 ;Kumar ,1991). Nous avons choisi l’usage de l’algorithme de
Kumar que le lecteur trouvera dans (Kumar, 1991).
Communication presentée au 4e`me atelier annuel sur la CRyptographie, Algèbre et Géométrie
(CRAG-4), 21 - 25 Juillet 2014, Université de Dschang, Dschang, Cameroun / Paper presented at the 4th an-
nual workshop on CRyptography, Algebra and Geometry (CRAG-4), 21- 25 July 2014, University of Dschang,
Dschang, Cameroon.
Vol. 2, No.1 (2015) Synthèse de la Commande supervisée par Grafcet 77
Ainsi, il est question pour nous de modéliser le système et son cahier de charges (ex-
pression propre au Grafcet) et d’appliquer directement l’algorithme de kumar . Cependant la
composition des Grafcets s’effectue selon la technique que nous développons et qui a l’avantage
d’exploiter les points forts des règles d’évolution des Grafcet sans perte d’information ou de
structure de départ des modèles. Dans ce papier, un état est un ensemble d’étapes actives des
modèles de départ tandis que la spécification représentent le cahier de charges. Le respect des
spécifications revient donc à déterminer des états interdits qui doivent devenir inaccessibles
par une action du superviseur en suppriment les états indésirables du Grafcet superviseur.
L’algorithme de Kumar (Kumar, 1991) permet d’avoir un comportement commun à travers la
composition des modèles de départ. Le graphe de comportement commun ressort tous les états
atteignables par le procédé. Les états interdits sont alors supprimé. Notre objectif est de faire
la synthèse d’un contrôleur basé uniquement sur le Grafcet.
II. Etapes de synthèse d’une supervision d’un système modélisé par Grafcet
Considérons un système manufacturier qui est un exemple classique de la théorie de
supervision, composé de deux machines identiques : M1 et M2, et un stock entre les deux
machines. Conformément à la figure 2, les deux machines travaillent de façon indépendante,
puisent des pièces brutes en amont et rejettent des pièces usinées en aval.
Figure 1. Système manufacturier
Spécification :
Le fonctionnement de notre système manufacturier doit respecter la présence d’un stock
de capacité limitée à 1, situé entre les deux machines. Nous supposons donc à présent que les
machines travaillent en série.
Figure 2. Système manufacturier sous la contrainte de stock
Sagissant de notre méthode, la figure 1 représente les étapes nécessaires pour synthétiser
le superviseur.
Imhotep Proc.
78 Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer and Ngako B. Axel
Figure 3. Les étapes nécessaires pour synthétiser le Grafcet superviseur.
Le point de départ consiste à modéliser le procédé et les spécifications par des Grafcets.
Le comportement désiré en boucle fermée est obtenu par la composition des deux Grafcets
(étape 1 dans la figure 1). La construction du Grafcet de comportement commun (étape 2) à
partir du Grafcet synchronisé permettra de repérer les états dangereux (étape 3) la suppression
de ces derniers (étape 4) génère quelque fois des états inaccessibles. Si les états inaccessibles
existent, l’on les supprime (étape 5). On obtient alors un Grafcet superviseur contrôlable.
III. Méthode de composition synchrone des modèles Grafcets
Afin de faire la composée des modèles du procédé et celui des spécifications, il est
nécessaire de formaliser la composition de ces derniers.
En se basant sur le comportement d’un Grafcet et en s’inspirant des règles de compo-
sition des automates finis. Le comportement d’un Grafcet à travers ses règles d’évolution et le
formalisme de composition synchrone lorsqu’ils sont exploités permettent de dépasser la limite
de non simultanéité d’apparition des évènements relevée dans le cas des automates finis. En
effet, deux évènements peuvent apparaître en même temps. Nous avons d’abord fait certaines
équivalences des deux langages.
III.1. Equivalences entre le Grafcet et l’automate fini
Equivalence 1 :
L’état initial d’un automate est identifié par une flèche-source, tandis que celui du
Grafcet est identifié par un double rectangle. L’évolution d’un état à un autre par une transition
simple dans un automate, est semblable à celui du Grafcet.
Equivalence 2 :
Imhotep Proc.
Vol. 2, No.1 (2015) Synthèse de la Commande supervisée par Grafcet 79
Une évolution donnant un choix dans un automate est une divergence en OU dans un
Grafcet.
Equivalence 3 :
Il n’existe pas de divergence en ET dans un automate à états finis, pourtant cette
situation est très présente en industrie.
III.2. Lois de composition des Grafcets
A présent nous allons voir comment l’on peut composer les Grafcet afin d’avoir un
comportement commun. Nous montrons d’abord comment c’est fait avec les automates afin de
bien voir notre apport. Les chiffres apparaissant dans les rectangles désignent les étapes actives
à cet état.
Proposition 1 : Composition de deux évènements (réceptivités) distincts
• Avec les automates
La composition (ou produit synchrone) parallèle est noté par deux barres parallèles
verticales. Dans la composition parallèle, on ne synchronise que les évènements présents dans
les deux automates, commun aux deux alphabets, l’état initial est la composition de deux états
initiaux. (Matilde et al., 2013).
• Avec le Grafcet
On constate alors qu’il y a apparition d’un troisième état (2.12) : conséquence de la
prise en compte de la possibilité de simultanéité d’apparition de deux évènements.
Proposition 2 : Composition de deux évènements présents de part et d’autre
Le produit est une intersection (Matilde etal., 2013).
• Avec les automates
Imhotep Proc.
80 Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer and Ngako B. Axel
• Avec le Grafcet
Le résultat est pareil à celui des automates finis.
Proposition 3 : Extension de la composition des évènements distincts.
• Avec automates
• Avec le Grafcet
On remarque qu’il y a dix états en plus, à cause de la simultanéité des évènements.
Proposition 4 : Composition des divergences en ET.
Etant donné qu’il n’existe pas de divergence en ET dans un automate, nous ne saurons
faire une comparaison. Tout de même en s’inspirant de la logique du comportement Grafcet,
nous avons établi ce formalisme :
Imhotep Proc.
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L’état en rouge est celui qui n’existerait pas pour le cas les automates finis.
Proposition 5 : Composition des divergences en textbfET et en OU.
Proposition 6 : Règles d’évolution
Lors de la construction de l’automate de comportement commun, lorsque l’on trouve
un état qui existe déjà dans le réseau, l’arc est orienté vers ce dernier afin de ne pas avoir deux
situations identiques dans un même réseau. Nous adopterons ce principe dans la construction
du Grafcet du comportement commun.
• Pour les automates finis
• Pour le Grafcet
IV. Application
Nous ferons une synthèse de superviseur par une modélisation du système par les auto-
mates que nous allons comparer à notre méthode de synthèse basée sur Grafcet . L’algorithme
de Kumar sera adapté pour celle à base du Grafcet.
IV.1. Synthèse de superviseur à base des automates finis
Après avoir modélisé la commande et les spécification sous forme d’automate, nous avons
obtenu l’automate de fonctionnement en boucle fermée. A l’aide du logiciel TCT développé par
Wonham et téléchargeable sur sa page personnelle (Wonham, 2013), nous avons ressortie le
fonctionnement en boucle fermé. Dans ce logiciel, les évènements incontrôlables doivent être
des chiffres pairs, alors que les évènements contrôlables sont des chiffres impairs. Le codage est
donné comme suit :
1 -> c1 , 0 -> f1 , 3 -> c2 , 2 -> f2.
Imhotep Proc.
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• Commande
Machine 1 Machine 2
• Spécification
• Fonctionnement en boucle fermée
La figure 4 représente le fonctionnement en boucle fermé.
Figure 4. Automate du fonctionnement en boucle fermé
• Superviseur optimal
Après le processus de synthèse à l’aide de l’algorithme de Kumar, on a le superviseur
optimal suivant :
Figure 5. Automate superviseur
On a alors 6 états et 8 transitions.
Imhotep Proc.
Vol. 2, No.1 (2015) Synthèse de la Commande supervisée par Grafcet 83
IV.2. Synthèse de superviseur à base du Grafcet
• Commande
Figure 6. Grafcets de commande
• Spécification
Figure 7. Grafcet de spécification
• Grafcet de comportement commun
Après l’application de notre formalisme de composition de Grafcets, l’on obtient le
Grafcet de comportement commun de la figure 8.
Figure 8. Grafcet de comportement commun
On a alors 6 étapes et 15 transitions.
Imhotep Proc.
84 Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer and Ngako B. Axel
Figure 9. Tableau des Etats du Grafcet de comportement commun
Les situations (1.11.22) et (1.12.22) sont interdites car la machine 1 ne peut être en
marche lorsque le stock est encore plein.
Les arcs rouges sont ceux qui découlent des états interdits, tandis que ceux qui sont
oranges désignent les arcs qui vont vers les états interdits. D’après l’algorithme de Kumar, les
arcs rouges et oranges doivent être supprimés. Dans notre cas, il n’y a pas d’état faiblement
interdit car il n’existe pas une séquence d’évènement incontrôlable qui mène vers un état interdit.
• Grafcet superviseur
Après suppression des arcs rouges et orange, nous obtenons le Grafcet superviseur de
la figure 9.
Le superviseur est contrôlable.
IV.3. Simulation de la dynamique du Grafcet superviseur
Lors de la simulation par le logiciel GRAFCET2D, nous avons remarqué une situation
qui ne nous arrangeait pas : le cas où l’étape 1 est active et les réceptivités a et b vraies au
même moment.
Les étapes 1, 2 et 3 s’activent en même temps comme illustre la figure 10.
Figure 11. Simulation dans GRAFCET2D
Cette situation est normale d’après la 4e règle d’évolution du grafcet, ce qui valide même
le logiciel. En réalité, cette situation est indésirable dans notre contexte. Au départ, nous avons
choisi de faire une synthèse de superviseur par rapprochement à celle des automates finis. Nous
avons vu que dans l’automate superviseur, un seul état est actif à la fois. Pour répondre à cette
Imhotep Proc.
Vol. 2, No.1 (2015) Synthèse de la Commande supervisée par Grafcet 85
Figure 10. Grafcet superviseur
exigence, nous allons contraindre notre Grafcet à évoluer suivant ce principe. Ainsi, l’évolution
du Grafcet vers la branche de la transition (réceptivité a) ne sera possible que si la réceptivité
b n’est pas validée. Ce principe sera donc appliqué à toutes les autres transitions se trouvant
dans cette situation.
On a alors le Grafcet corrigé de la figure 11 :
Imhotep Proc.
86 Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer and Ngako B. Axel
Figure 12. Grafcet superviseur corrigé
Nous avons simulé une fois de plus et le résultat est satisfaisant cette fois-là.
V. Conclusion
Il était question de développer une méthode de synthèse de superviseur totalement à
base du Grafcet.Nous avons établi des règles pour la composition des Grafcets. Nous avons
considéré le cas d’une possible apparition simultanée d’évènements, cependant il faut corriger
le Grafcet final en le forçant de n’emprunter qu’une seule voie lors de l’évolution du système.
Nous avons appliqué la méthode sur un système manufacturier et nous avons obtenu un su-
perviseur plus permissif que le superviseur obtenu en utilisant les automates finis. Le problème
de l’explosion combinatoire persiste, c’est ce qui nous amène à penser à une autre méthode
structurelle par rapprochement aux Réseaux de Petri.
Imhotep Proc.
Vol. 2, No.1 (2015) Synthèse de la Commande supervisée par Grafcet 87
Bibliographie
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(Wonham, 2013) Page personnelle de W. M. Wonham www.control.toronto.edu /people
/profs/wonham/wonham.html, visité le 12/09/2013
Wayang Senguel, Bitjoka Laurent, Gonza Mohaman, Donfack B. Omer and Ngako B. Axel
Equipe Automatique et Traitement du Signal (ATS), Laboratoire Energie, Signal Image et Automatique
(ESIA), ENSAI-Université de Ngaoundéré, BP 455, Ngaoundéré
e-mail: senguel.wayang@univ-ndere.cm
e-mail: lbitjoka@univ-ndere.cm
e-mail: mohaman.gonza@univ-ndere.cm
e-mail: omer.donfack@univ-ndere.cm
e-mail: brice.ngako@univ-ndere.cm
Imhotep Proc.


Synthèse de la commande supervisée d'un système totalement modélisé par Grafcet basée sur l'algorithme de Kumar

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