Nous décrivons le flambement hors du plan d'une couronne flexible  flottant sur un bain d'eau lorsque des molécules de tensioactif sont ajoutées à l'extérieur de la couronne. Le contraste en tension de surface induit une contrainte compressive dans la couronne. Les rides régulières d'extension finie sont ainsi observées au voisinage du bord intérieur au-delà d'une différence de tension de surface critique. L'amplitude et l'extension radiale des plis augmente progressivement avec l'addition de tensioactif . En revanche, le nombre de plis est constant et ne dépend que d'un équilibre entre la gravité et la rigidité en flexion dans la gamme de nos paramètres expérimentaux. Nous complétons la description théorique développée pour des systèmes similaires mais dans un régime différent par une description analytique

BICO, José

PINEIRUA, Miguel

ROMAN, Benoit

I-Revues

21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
Flambement capillaire d’une couronne
Miguel Pin˜eiruaa,b, Nana Tanakac, Benoˆıt Romana, Jose´ Bicoa
a. PMMH-ESPCI-ParisTech, 75231 Paris Cedex 05, France
b. ENSTA-ParisTech, UME, 91761 Palaiseau Cedex, France
c. Department of Physics, Ochanomizu University, Bunkyo, Tokyo 112-8610, Japan
Re´sume´ :
Nous de´crivons le flambement hors du plan d’un anneau flexible flottant sur un bain de liquide lorsque
du tensio-actif est ajoute´ a` l’exte´rieur de l’anneau. Le contraste en tension de surface induit une
contrainte compressive et conduit a` l’apparition de rides orthoradiales au-dela` d’un contraste seuil. Le
nombre d’onde demeure constant dans la gamme de nos parame`tres expe´rimentaux et ne de´pend que
d’un e´quilibre entre la gravite´ et la rigidite´ en flexion de la membrane. Nous proposons une description
analytique du phe´nome`ne qui comple`te les bases the´oriques de´veloppe´es dans d’autres re´gimes.
Abstract :
We describe the out-of-plane buckling of a flexible annulus floating on a bath of water as surfactant
molecules are added outside the annulus. The contrast in surface tension induces compressive stresses,
which results into regular orthoradial wrinkles beyond a critical difference in surface tension. Within the
range of our experimental parameters, the wave number remains constant and relies on a simple balance
between gravity and the bending stiffness of the membrane. We propose an approximate analytical
description that tends to complete the existing theoretical grounds for other regimes.
Mots clefs : Plaques minces ; instabilite´s ; capillarite´
1 Des gouttes et des plis
Des expe´riences e´le´gantes mises en œuvre inde´pendamment a` l’ESPCI Paris [1] et l’universite´ de UMass
a` Amherst [2] ont montre´ que des plis othoradiaux apparaissaient lorsque une minuscule goutte d’eau
e´tait pose´e au centre d’un film mince polyme`re flottant a` la surface d’un bain. Dans le re´gime e´tudie´,
le nombre de plis est dicte´ par un e´quilibre entre la tension capillaire applique´e sur la membrane et sa
rigidite´ en flexion. La longueur des plis donne cependant une information supple´mentaire sur l’e´quilibre
entre la rigidite´ en tension et la capillarite´. L’inte´reˆt de ces expe´riences est de donner inde´pendamment
acce`s a` l’e´paisseur de la membrane et a` son module e´lastique. Ne´anmoins les conditions aux limites
au voisinage de la goutte sont relativement complexes et mettent en jeu de de´licates questions de
lignes de contact. Afin de nous affranchir du proble`me de la ligne de contact, nous conside´rons ici
des membranes troue´es, c’est a` dire des anneaux, de rayons inte´rieurs et exte´rieurs Ri et Ro. La
compression de la membrane est ici assure´e par l’ajout de mole´cules tensio-actives a` l’exte´rieur de
l’anneau. Le tensio-actif diminue en effet la tension externe γo par rapport a` la tension interne γi.
Nous observons expe´rimentalement la formation de rides re´gulie`res au-dela` d’un seuil en diffe´rence
de tension de surface. Dans le cas d’un anneau e´troit (Ri et Ro du meˆme ordre de grandeur), les
rides s’e´tendent sur toute la largeur de l’anneau de`s leur apparition. Leur amplitude augmente avec la
concentration en tensio-actif alors que leur longueur d’onde demeure constante (figure 1). Cependant
une trop grande concentration en tensio-actif peut engendrer l’effondrement brusque de l’anneau.
La situation est diffe´rente dans le cas d’une couronne large (Ri  Ro). En effet, la longueur des rides
croˆıt progressivement avec l’ajout de tensio-actif. Dans un premier temps, le nombre de rides demeure
constant, mais des rides supple´mentaires apparaissent lorsque la longueur d’onde locale des rides est
trop distendue par rapport a` la longueur d’onde initiale (figure 2).
1
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Figure 1 – Apparition de rides orthoradiales sur un anneau e´troit flottant a` la surface de l’eau lorsque
des mole´cules tensio-actives sont ajoute´es a` l’exte´rieur de l’anneau. Au dela` d’une concentration de
tensio-actif trop importante, l’anneau peut s’effondrer brutalement.
Figure 2 – Rides sur un anneau large (Ri  Ro). La longueur des rides croˆıt avec la concentration de
tensio-actif. Initialement constant, le nombre de rides finit par augmenter si la longueur d’onde locale
des rides devient trop grande par rapport a` sa longueur d’onde initiale.
2 Anneaux minces
2.1 Bande flottante
En premie`re approximation, conside´rons un anneau e´troit comme une bande quasi-rectiligne dont les
extre´mite´s se rejoignent. Des expe´riences re´centes montrent que la compression d’une bande flottant
a` la surface de l’eau entraˆıne la formation de rides. Au dela` du seuil de leur apparition, ces rides
e´voluent rapidement en un pli unique [3]. Deux ingre´dients physiques entrent en jeu dans cette forme
de flambement sur une base de´formable : la rigidite´ en flexion de la bande et l’e´nergie de gravite´ de
l’eau souleve´e au-dessus de la surface du bain (ou enfonce´e). La minimisation de ces deux e´nergies
conduit a` la longueur d’onde :
λ = 2pi (B/ρg)1/4 , (1)
ou` ρ est la densite´ du liquide, g la constante de gravite´ et B le module de flexion de la bande. La force
critique ne´cessaire au flambement est donne´e par :
fc = 2(ρgB)
1/2w, (2)
ou` w est la largeur de la membrane.
2.2 Seuil de flambement
L’inte´gration des forces de capillaires sur un demi-anneau conduit a` une expression simple de la force
de compression :
fγ = γiRi − γoRo. (3)
Cette force atteint donc la force critique de flambement pour :
γoc = γiRi/Ro − 2 (ρgB)1/2 (1−Ri/Ro) , (4)
en bon accord avec nos donne´es expe´rimentales.
2
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3 Anneaux larges
3.1 Avant flambement
Dans le cas d’un anneau large, la distribution des contraintes avant flambement est traditionnellement
donne´e par l’expression de Lame´ [4] :
hσr = γ∞ + (γi − γ∞)a
2
r2
, (5)
hσθ = γ∞ − (γi − γ∞)a
2
r2
, (6)
avec
γ∞ =
γob
2 − γia2
b2 − a2 , (7)
ou` σr et σθ sont respectivement les contraintes radiales et orthoradiales.
Alors que la contrainte radiale est toujours positive, la contrainte orthoradiale peut devenir ne´gative
si γi/γ∞ > 2. La re´gion sous compression est alors de´limite´e par Ri < r < R∗ avec :
R∗ = Ri(γi/γ∞ − 1)1/2. (8)
La de´formation bidimensionnelle d’une plaque mince est bien plus complexe que celle d’une ligne (ou
d’une bande). A` la lumie`re des re´sultats pre´ce´dents, il semble cependant naturel de proposer comme
crite`re de flambement, hσθ = −2
√
ρgB, au voisinage de Ri. En termes de tensions de surface, cette
condition s’e´crit : (
γ∞
γi
)
critic
=
1
2
− `ec
`c
, (9)
ou` la longueur elastocapillaire [5] et la longueur capillaire sont de´finies par rapport a` γi, `ec =
√
B/γi
et `c =
√
γi/ρg. Ce crite`re apparaˆıt en bon accord avec nos re´sultats expe´rimentaux dans la gamme
des parame`tres e´tudie´s ainsi qu’avec une re´solution nume´rique de l’e´quation de Fo¨ppl von Karman
qui de´crit une plaque mince en faible de´flexion.
3.2 Au-dela` du flambement
Nous observons expe´rimentalement que dans un premier temps le nombre de rides est constant, ce qui
implique une le´ge`re augmentation de la longueur d’onde locale lorsque l’on s’e´loigne du bord inte´rieur.
Ne´anmoins, la longueur e´lastogravitaire qui de´crit les rides sur une bande flottante apparaˆıt pertinente
dans la situation axisymme´trique, dans la limite de nos parame`tres expe´rimentaux. En effet cette
longueur de´crit la longueur d’onde au voisinage du rayon inte´rieur. Une extension trop importante de
la longueur d’onde locale conduit en outre a` la ramification de rides (figure 2).
Pouvons nous enfin de´crire l’e´volution de la longueur des rides au voisinage du seuil de flambement ?
Un crite`re naturel consiste a` conside´rer qu’apre`s leur apparition, les rides s’e´tendent sur toute la re´gion
comprime´e de la feuille. Dans ces conditions, la longueur des plis est donne´e par :
Lwc = a
[(
1/2 + `ec/`c
1/2− `ec/`c
)1/2
− 1
]
, (10)
Malgre´ son caracte`re tre`s simplicateur, ce crite`re rend compte quantitativement des re´sultats expe´rimentaux
dans la gamme de nos parame`tres physiques.
4 Conclusions
Nos re´sultats pre´liminaires encouragent une e´tude the´orique et expe´rimentale plus profonde de la
compression de films minces pose´s sur un bain. En effet, le seuil de flambement, la longueur d’onde
des plis et la longueur de ces plis semblent bien de´crits par des arguments simples qui ne sont pas
rigoureusement justifie´s. La gamme des parame`tres physiques de nos expe´riences est relativement
3
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
limite´e. En particulier la gravite´ est pre´ponde´rante devant la tension de la membrane par capillarite´
(c’est-a`-dire `c  `ec) Nous attendons un comportement diffe´rent dans le cas oppose´ correspondant aux
expe´riences de gouttes pose´es sur des film minces qui a initialement motive´ notre e´tude. En particulier,
la longueur e´lastogravitaire `eg ne devrait plus jouer un roˆle pre´ponde´rant et dicter la longueur d’onde
des rides dans ce second re´gime. Nous attendons qu’une description far from threshold [6] soit plus
adapte´e pour de´crire se re´gime. La transition entre les deux situations reste ne´anmoins a` eˆtre explore´e
expe´rimentalement.
Re´fe´rences
[1] Bodiguel, H. 2006 PhD thesis, Universite´ Pierre & Marie Curie.
[2] Huang, J., Juszkiewicz, M., de Jeu, W., Cerda, E. , Emrick,T., Menon, N., Russell, T. 2007 Science,
317 650–653.
[3] Pocivavsek, L., Dellsy, R., Kern, A., Johnson, S., Lin, B., Lee, K.Y.C, Cerda, E. 2008 Science, 320
912–916.
[4] Timoshenko, S., Woinowsky-Krieger, S. 1959 Theory of Plates and Shells, McGraw-Hill, Singapore.
[5] Roman, B., Bico, J. 2010 J. Phys. Condens. Matter, 22 493101.
[6] B. Davidovitch, R. Schroll, M. Adda-Bedia and E. Cerda 2011 PNAS, 108 18227-18232.
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Flambement capillaire d'une couronne

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