L'introduction du phénomène de glissement pour des écoulements fortement raréfiés conduit, pour les milieux poreux, à une modification du débit en fonction de la perte de charge. Cette modification, introduite par Klinkenberg, aboutit, pour un milieu saturé,  à une loi de Darcy dont le coefficient de conductivité dépend du nombre de Knudsen Kn. Cette dépendance avec le nombre de Knudsen, pour un écoulement de Poiseuille, peut être déduite de la vitesse de glissement proposée par Cercignani. Il n'en est pas nécessairement de même pour un réseau de canaux. Pour mieux cerner le domaine de validité de la loi de Klinkenberg, nous analysons l'écoulement faiblement raréfié (de continu à transitionnel) dans un réseau élémentaire de micro-canaux pour lequel le nombre de Knudsen est multiplié par 2 ou 4 par division de la hauteur H d'un canal générateur. L'écoulement est simulé avec le modèle BGK-Hermite présenté, en particulier lors des journées CFM de 2009 et 2011 [1].  Ce modèle a été  développé pour les écoulements à grand spectre de Knudsen. Le fluide considéré est un gaz parfait et les conditions aux limites sont de type diffuses sur les parois et périodiques entre l'entrée et la sortie. Les simulations sont réalisées à débit constant. Les résultats  sont comparés à ceux obtenus à l'aide des équations de Navier-Stokes périodiques avec vitesse de glissement du second ordre en Kn aux parois. La transition entre zones à différents Knudsen a été modélisée pour imposer une vitesse continue.  L'écoulement est généré par une force volumique constante. La communication proposée discutera la dépendance de la conductivité hydraulique en fonction du nombre de Knudsen. [1]  L. de Izarra, J.L. Rouet, B. Izrar,2011, High orders lattice Boltzmann models for gas flows on a wide range of Knudsen number, Phys. Rev. E 84, 06670

IZRAR, Boujema

ROUET, Jean-Louis

National audienceOn analyse l'écoulement faiblement raréfié dans un réseau élémentaire de micro-canaux dans lequel le nombre de Knudsen est multiplié par 2 ou 4 par division des largeurs des canaux. Les résultats des équations de Navier-Stokes avec glissement sont comparés a ceux obtenus grâce au modele BGKHermite développé pour les écoulements à grand spectre de Knudsen

Rouet, Jean-Louis

Izrar, Boujema

HAL-INSU

Exploration de l'effet Klinkenberg à différentes échelles

I-Revues

21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
Exploration de l’effet Klinkenberg a` diffe´rentes e´chelles
J-L. Roueta, B. Izrarb
a. Institut des Sciences de la Terre d’Orle´ans (ISTO), UMR 7327 - CNRS/Universite´ d’Orle´ans, 1A
avenue de la Recherche Scientifique, F45071 Orle´ans Cedex 2
b. Institut de Combustion, d’Ae´rothermique, de Re´activite´ et d’Environnement (ICARE) - CNRS-
UPR3021, 1C avenue de la Recherche Scientifique F45071 Orle´ans Cedex 2, France
Re´sume´ :
On analyse l’e´coulement faiblement rare´fie´ dans un re´seau e´le´mentaire de micro-canaux dans lequel
le nombre de Knudsen est multiplie´ par 2 ou 4 par division des largeurs des canaux. Les re´sultats
des e´quations de Navier-Stokes avec glissement sont compare´s a` ceux obtenus graˆce au mode`le BGK-
Hermite de´veloppe´ pour les e´coulements a` grand spectre de Knudsen.
Abstract :
A weakly rarefied flow in an elementary network of microchannels is studied. Its Knudsen number is
increased by dividing the channel by 2 or 4. The results of the Navier-Stokes equations with wall slip
velocity are compared with those obtained using the BGK model-Hermite developed for flows with high
Knudsen spectrum.
Mots clefs : Boltzmann-BGK, re´gime transitionnel, milieux poreux
1 Introduction
L’introduction du phe´nome`ne de glissement pour des e´coulements fortement rare´fie´s conduit, pour les
milieux poreux, a` une modification du de´bit en fonction de la perte de charge. Cette modification,
introduite par Klinkenberg, aboutit a` une loi de Darcy de la forme ~Q = −K(Kn)µ (~∇p − ρ~g) pour un
milieu sature´. La de´pendance de la conductivite´ hydraulique K en fonction du nombre de Knudsen
Kn (rapport entre le libre parcours moyen et une longueur caracte´ristique) , pour un e´coulement
de Poiseuille, peut eˆtre de´duite de la vitesse de glissement propose´e par Cercignani. Il n’en est pas
ne´cessairement de meˆme pour un re´seau de canaux.
Pour mieux cerner le domaine de validite´ de la loi de Klinkenberg, nous analysons l’e´coulement fai-
blement rare´fie´ (de continu a` transitionnel) dans un re´seau e´le´mentaire de micro-canaux pour lequel
le nombre de Knudsen est multiplie´ par 2 ou 4 par division de la hauteur H d’un canal ge´ne´rateur.
L’e´coulement est simule´ avec le mode`le BGK-Hermite pre´sente´, en particulier dans [1], [2], [3],[4]. Ce
mode`le a e´te´ de´veloppe´ pour les e´coulements a` grand spectre de Knudsen.
Les simulations sont re´alise´es a` de´bit constant. Les re´sultats sont compare´s a` ceux obtenus a` l’aide
des e´quations de Navier-Stokes pe´riodiques, dans la direction principale, avec vitesse de glissement du
second ordre en Kn aux parois. La transition entre zones a` diffe´rents Knudsen a e´te´ mode´lise´e pour
imposer une vitesse parie´tale continue. L’e´coulement est ge´ne´re´ par une force volumique constante.
La communication propose´e discutera la de´pendance de la conductivite´ hydraulique en fonction du
nombre de Knudsen.
2 Re´seau
Le re´seau conside´re´ ici est suffisamment simple pour autoriser une re´solution analytique dans la limite
hydrodynamique. Il proce`de de la division d’un canal plan, de longueur L et de hauteur H, par une
1
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
paroi de longueur β1L, (0 ≤ β1 ≤ 1) centre´e a` la fois dans la longueur du canal et sur sa largeur.
Son e´paisseur est nulle (nume´riquement, limite´e a` une maille). Les deux canaux ainsi forme´s peuvent
a` leur tour eˆtre se´pare´s en deux par deux nouvelles parois, une pour chaque canal (cf. Fig. 1). Les
se´parations ne modifient que tre`s marginalement la largeur du conduit et ne jouent que sur la valeur
locale du nombre de Knudsen Kni = KnH/Hi, Kn = λ/H, ou` Hi est la hauteur du canal i et λ le
libre parcours moyen. Ainsi, a` chaque division par 2 du canal principal, le nombre de Knudsen est
multiplie´ par 2. L’e´coulement est donc diffe´rent d’un point a` un autre du conduit. Dans les simulations
pre´sente´es ici, le nombre de Knudsen pourra varier jusqu’a` un facteur 4. Aucune raison n’empeˆcherait
de conside´rer une plage de variation plus importante en ite´rant la division du canal le plus petit. Le
cas envisage´ dans ce travail est repre´sente´ figure 1. En ce qui concerne le choix du mode`le, il convient
d’adopter une description compatible avec une plage de variation importante du nombre de Knudsen.
Pour ne pas faire d’approximation, la description cine´tique est utilise´e et plus pre´cise´ment le mode`le
BGK.
0
y
H/2
−H/2
L
2β L
Lβ1
x
zone 2
zone 1zone 0 zone 1 zone 0
z 
 
 



Fig. 1: Sche´ma du re´seau e´le´mentaire et de´finition de ses parois internes.
3 Mode`le BGK-Hermite
La version line´arise´e de l’ope´rateur de collision de Boltzmann alle`ge le couˆt nume´rique d’inte´gration
de l’e´quation :
∂f
∂t
+ ~v · ~∇xf +
~F
m
· ~∇vf = −f − f
e
τ
(1)
Aussi, il est souvent adopte´, par exemple dans la me´thode dite de Boltzmann sur re´seau (LBM).
En suivant les travaux de Shan et He [4], la fonction de distribution f et la fonction de distribution
d’e´quilibre feq sont de´compose´es suivant la base des polynoˆmes d’Hermite. Avec cette de´composition, il
est naturel d’utiliser la quadrature de Gauss-Hermite pour calculer les moments de f afin de de´terminer
feq. Le calcul des 3 premiers moments sera exact si la discre´tisation de f implique au minimum 4
points. Ce nombre de points correspond au nombre de faisceaux de vitesses qui discre´tisent la fonction
de distribution. Les valeurs de ces vitesses, impose´es par la quadrature de Gauss-Hermite, ne sont pas
rationnelles entre-elles, rendant ne´cessaire une interpolation sur la partie transport de la re´solution de
l’e´quation BGK. Cette approche ge´ne`re une famille de mode`les qui de´pend, a` la fois de la discre´tisation
de feq et du nombre de points choisi pour la quadrature. Une e´tude syste´matique de ces mode`les
([1, 2]) a montre´ une convergence alterne´e des re´sultats nume´riques vers des re´sultats analytiques ou
expe´rimentaux, suivant la parite´ du nombre de faisceaux. Des mode`les hybrides ont ainsi e´te´ e´tudie´s,
en particulier le mode`le H4|5 e´tabli a` partir des mode`les a` 4 et 5 faisceaux qui acce´le`re la convergence
sans trop accroˆıtre les temps de calcul. C’est ce mode`le qui sera utilise´ dans la suite.
En ce qui concerne les conditions aux limites, les parois, que ce soient celles qui de´limitent l’e´coulement
ou les parois se´paratrices internes, sont adiabatiques et a` accommodation totale. Les conditions d’entre´e
et sortie de l’e´coulement (selon la perpendiculaire aux parois), sont pe´riodiques. L’e´coulement est de
type gravitaire, mis en mouvement par une force volumique agissant en tout point par incre´mentation
de la quantite´ de mouvement avant chaque collision. Pour l’e´tude hydrodynamique avec glissement,
2
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
ce dernier est ajoute´ de fac¸on ad hoc selon une loi de type Cercignani. Il prend en compte la valeur
locale du Knudsen, fonction de la pre´sence des parois se´paratrices.
4 Effets du glissement aux parois
La mode´lisation, base´e uniquement sur un profil de Poiseuille avec glissement aux parois, permet de
ve´rifier dans quelle mesure les effets de rare´faction peuvent eˆtres rendus uniquement par les conditions
aux limites et dans quelle plage du nombre de Knudsen (Eq. 2).
4.1 Vitesses parie´tales
Lorsque le nombre de Knudsen diffe`re de 0, la vitesse du fluide a` la paroi n’est pas nulle. Cercignani [5]
a propose´, dans le cadre des e´coulements a` basse tempe´rature et faible vitesse (petits nombres de
Reynolds), de tenir compte de ce glissement en introduisant les conditions suivantes :
u(±H/2) = ±C1λ∂u
∂y
(±H/2)− C2λ2∂
2u
∂y2
(±H/2) (2)
ou` C1 est de l’ordre de l’unite´, C2 prend des valeurs qui de´pendent des auteurs [6] et λ est le libre
parcours moyen. Avec ces conditions, la vitesse de´bitante totale UdT pour un e´coulement de Poiseuille
s’e´crit :
UdT = UdP + Us = UdP + 6UdP (C1Kn + 2C2K2n) (3)
pour laquelle le second terme Us, fonction de Kn, est la vitesse de glissement et le premier terme de la
somme UdP est la vitesse moyenne ou de´bitante du profil interne (partie hydrodynamique, parabolique
a` faible Knudsen). En imposant la conservation du de´bit, l’e´quation (3) reste valable pour les zones
de l’e´coulement dans lesquelles on place une se´paratrice (paralle`le aux parois). En prenant l’exemple
de la figure 1 et en attribuant l’indice i pour les variables de la zone i, on peut e´crire les rapports
UdPi
UdP0
=
1 + 6C1Kn + 12C2K2n
1 + 6C1 (2iKn) + 12C2 (2iKn)
2 . (4)
Connaissant ces rapports, on peut en de´duire ceux des vitesses de glissement :
Usi
Us0
=
UdPi
UdP0
C1
(
2iKn
)
+ 2C2
(
2iKn
)2
C1Kn + 2C2K2n
=
1 + 6C1Kn + 12C2K2n
1 + 6C1 (2iKn) + 12C2 (2iKn)
2
C1
(
2iKn
)
+ 2C2
(
2iKn
)2
C1Kn + 2C2K2n
(5)
Ainsi dans la limite hydrodynamique, UdPi/UdP0 = 1 ce qui traduit la conservation du de´bit hydro-
dynamique et Usi/Us0 → 2i, alors que toutes les vitesses de glissement tendent vers 0. Dans la limite
ou` Kn → ∞, UdPi/UdP0 → 1/4i, et Usi/Us0 → 1, alors que les vitesses de glissement tendent toutes
vers l’infini, cependant leur diffe´rence reste finie (Usi −Us0 ∼ (4i− 1)/4iUdP0). Notons que ces calculs,
base´s sur une correction de l’approche hydrodynamique, conduisent a` des rapports inde´pendants de
la valeur de βi. On peut toutefois s’attendre a` ne pas retrouver ces rapports si la distance βiL n’est
pas suffisamment grande devant λ.
4.2 Perte de charge
Par contre la perte de charge de´pend fortement des βi. La perte de charge re´gulie`re totale est compose´e
de cinq termes correspondant aux 5 zones ; le 1er et le 5e terme sont identiques, idem pour les 2e et 4e :
∆Pr = 2∆P0 + 2∆P1 +∆P2
= (1− β1)12µL
H2
UdP0 + 4(β1 − β2)
12µL
H2
UdP1 + 16β2
12µL
H2
UdP2 (6)
Posons
Ei (Kn) = Usi/UdPi = 6(C1(2
iKn) + 2C2(2iKn)2).
3
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
Tant que la longueur d’e´tablissement est ne´gligeable devant celle de chaque zone i (βiL et (1− βi)L)
et que le frottement parie´tal est positif.
Ainsi les conservations de la perte de charge et du de´bit Q par unite´ de largeur fournissent le syste`me
d’e´quations suivant pour ce re´seau :{
UdPi(1 + Ei) = Q/H i = 0, 1, 2
H2
12µfv = (β0 − β1)UdP0 + 4(β1 − β2)UdP1 + 16(β2 − β3)UdP2
(7)
Dans la perspective d’une ge´ne´ralisation, nous avons introduit β0 = 1 et β3 = 0.
On obtient imme´diatement le de´bit en fonction du gradient de pression fv, autrement dit la conduc-
tivite´ hydraulique :
H3fv
12µQ
=
β0 − β1
1 + E0
+
β1 − β2
1 + E1
+
β2 − β3
1 + E2
(8)
Une relation ge´ne´rale peut eˆtre construite par re´currence. En remplac¸ant fv par −∇P , la loi de Darcy
peut eˆtre e´tendue par :
Q
H3
= −
 1
12
n∑
i=0
βi−βi+1
1+Ei(Kn)
 ∇Pµ (9)
toujours avec β0 = 1 et βn+1 = 0.
5 Re´sultats des simulations
L’e´quation de Botltzmann-BGK a e´te´ inte´gre´e pour un canal de longueur L = 1024 sur une hauteur
H = 128 pour la configuration repre´sente´e figure 1 avec β1 = 1/2 et β2 = 1/4. Le nombre de Mach
est fixe´ a` 10−3.
Pour la comparaison avec l’hydrodynamique les e´quations de Navier-Stokes et l’e´quation d’e´nergie sont
re´solues en re´gime laminaire. Des meˆmes nombres adimensionnels et des proprie´te´s thermodynamiques
du CO2 gazeux (JANAF), on tire de la table 1 les parame`tres physiques et ge´ome´triques dimensionnels.
T0 (K) P0 (Pa) ρ (kg/m3) µ (kg/m/s) λ (nm) H (m)
293.15 1.013e5 1.8291 14.681e-6 28.48 0.178e-06
Tab. 1: Parame`tres physiques et ge´ome´triques pour Kn=0,16 (unite´s SI)
Les figures 2 donnent les profils des vitesses pour les 2 approches avec Kn = 0, 16. En ce qui concerne
BGK (Fig. 2(a)), on distingue clairement les deux accroissements successifs du glissement dues aux
se´paratrices avec l’apparition d’ondes de chocs. La figure 3 donne la vitesse de´bitante totale, rapporte´e
au Knudsen, pour 3 coupes en x = 128, x = 320 et x = 512, une au milieu de chaque tronc¸on. On
ve´rifie bien que les de´bits sont les meˆmes dans les 3 tronc¸ons et que tous les de´bits convergent dans la
limite hydrodynamique pour laquelle la pre´sence de la paroi n’implique aucun glissement. La courbe
4 donne les rapports des vitesses de glissement ainsi que les courbes the´oriques donne´es par l’e´quation
(5) avec C1 = 1 et C2 = 0, 15. Ces valeurs, issues de [2], sont compatibles avec celles donne´es par Tang
([6]). Les courbes s’accordent avec la pre´vision the´orique, notamment pour des Knudsen faibles ou l’on
retrouve bien un facteur 2, pour les rapports Us2/Us1 et Us1/Us0 , ou 4 pour les rapports Us2/Us0 .
Le recours a` la simulation par Navier-Stokes avec glissement (Eq. 2) doit surtout mettre en e´vidence
les phe´nome`nes de rare´faction de l’e´coulement interne. Pour ce faire il faut re´pondre a` deux questions
pre´alables : (1) comment passer d’une valeur du glissement parie´tal a` Kn vers une valeur a` 2Kn ou
4Kn . . . ; (2) que vaut la perte de charge singulie`re cre´e´e par les parois internes.
Pour que la vitesse de glissement transite de manie`re re´gulie`re, deux mode`les en tanh ont e´te´ compare´s.
Le premier calcule Us(Kn(s)) apre`s interpolation du nombre de Knudsen par :
Kn(s) = Kn0
(
1 +
3
4
[
tanh
(
s+1
)
− tanh
(
s−1
)
+ tanh
(
s+2
)
− tanh
(
s−2
)])
(10)
4
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
en notant s±i = x/L± βi/σi la coordonne´e parie´tale centre´e re´duite, Le parame`tre σ qui repre´sente
la raideur de la transition a e´te´ ajuste´ nume´riquement en fonction des βi et Us calcule´e avec (2) et la
vitesse de´bitant UdP0 .
Cette approximation qui a le me´rite de la simplicite´ tombe en de´faut de`s un Kn critique. En effet,
avec des conditions d’entre´e/sortie pe´riodiques, on peut ge´ne´rer un e´coulement a` UdT ou fv constant.
Si on fixe la force volumique inde´pendamment de βi, alors pour des Knudsen supe´rieurs ou e´gaux
a` une valeur critique, le profil des vitesses devient plat puis s’inverse. A` l’inversion, on doit avoir
UdT = UdP0 + Us0 = Us1 autrement dit UdP1 = 0. Sachant, comme on le verra plus loin, que la vitesse
du fluide a` la paroi est une donne´e externe et qu’elle est force´e a` Us1 = UdP0E1(Kn), il faut :
1 + 6(C1Kn+ 2C2Kn2) = 6(C1 (2Kn) + 2C2 (2Kn)
2)
de racine
Kn =
√
4C2 + C21 − C1
12C2
soit Kn ≈ 0, 15 pour C1 = 1 et C2 = 0, 15 (Fig.2). Ce phe´nome`ne disparaˆıt si on ajuste la force
volumique a` la longueur des plaques (section 4).
Le second mode`le interpole directement Us a` partir des re´sultats de la section (4) par :
Us(s) = Us0 +
Us1 − Us0
2
[
tanh
(
s+1
)
− tanh
(
s−1
)]
+
Us2 − Us1
2
[
tanh
(
s+2
)
− tanh
(
s−2
)]
Ce sont les re´sultats de cette approximation qui sont repre´sente´s sur la figure (2). La diffe´rence entre
les deux e´tudes est de 4 %, erreur estime´e sur la base des vitesses de glissement impose´e en CFD et
issue de la simulation BGK.
Dans les deux cas, le coefficient de perte de charge singulie`re κs est estime´ par CFD comme e´tant la
partie invariante de la perte de charge totale lorsque βi varie.
(a) (b)
Fig. 2: Profil des vitesses pour Kn = 0, 16 ; (a) BGK, (b) CFD.
6 Conclusions
Un e´coulement rare´fie´ dans un re´seau de canaux, cre´e par la division d’un canal ge´ne´rateur a e´te´
aborde´ de fac¸on analytique par une approche hydrodynamique tenant compte d’un glissement aux
parois. Dans cette pre´sente e´tude, le rapport d’aspect des diffe´rents canaux reste identique. Cela
conduit a` une loi de Darcy pour laquelle le coefficient de perme´abilite´ de´pend a` la fois de ce rapport
d’aspect et du nombre de Knudsen. Cette relation reste valable dans la limite de canaux tre`s longs
(mais sans effets non line´aires de pression) pour lesquels la longueur de la plus petite des parois reste
grande devant le libre parcours moyen.
5
21e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Bordeaux, 26 au 30 aouˆt 2013
 0.001
 0.01
 0.1
 0.001  0.01  0.1  1  10  100
U
d T
i/ K
n
Kn
UdT0/KnUdT1/KnUdT2/Kn
Fig. 3: Simulation BGK : vitesse de´bitante
totale pour les tronc¸ons 0, 1 et 2 de la figure 1,
rapporte´e au Knudsen, montrant le paradoxe
du meˆme nom. La courbe noire continue est
la pre´vision the´orique.
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 0.001  0.01  0.1  1  10  100
U
s i
/ U
s j
Kn
Us2/Us1Us1/Us0Us2/Us0
Fig. 4: Simulation BGK, rapport des vitesses
de glissement pour les tronc¸ons 0, 1 et 2 de la
figure 1. La courbe continue rouge est donne´e
par l’e´quation 5.
Les pre´visions the´oriques ont e´te´ teste´es sur des simulations mene´es de 2 fac¸ons, soit en inte´grant les
e´quations de Navier-Stokes pour lesquelles un glissement aux parois est introduit, soit par une approche
cine´tique. Les re´sultats des simulations cine´tiques s’accordent bien avec les pre´cisions the´oriques, y
compris pour des Knudsen grands et bien supe´rieurs au cas Kn = 0, 16 pre´sente´ ici. Cette valeur ne
semble donc pas eˆtre une limite a` cette e´tude. Bien que le profil des vitesses s’e´loigne de la forme
parabolique et que les ondes de rare´faction s’amplifient, globalement le de´bit et la perte de charge y
restent insensibles. Les meˆmes conclusions pre´valent pour la 1e`re e´tape de ce re´seau hie´rarchique, i.e.
dans le cas ou` l’on ne conside`re qu’une seule paroi centrale de longueur β1L. Cinq longueurs diffe´rentes
ont e´te´ e´tudie´es.
Avec les valeurs de βi adopte´es dans cette e´tude, les vitesses de glissement varient d’un facteur 2 d’un
tronc¸on au suivant dans la limite hydrodynamique. D’autres configurations et donc d’autres relations
entre les βi sont possibles et rele`vent de la meˆme approche. En particulier celle pour laquelle les βi
sont e´gaux et qui conduit a` une variation brutale du nombre de Knudsen dans un rapport de 1 a` j
pour j canaux.
Re´fe´rences
[1] de Izarra, L., Rouet, J.-L., Izrar, B. 2009 Construction d’une me´thode multifaisceaux pour les
e´coulements en milieux poreux. In Proceeding of 19th CFM, Marseille, France com. 1037, (24–28
Aug. 2009), Marseille, France
[2] de Izarra, L., Rouet, J.-L., Izrar, B. 2011 High-order lattice Boltzmann models for gas flow for a
wide range of Knudsen numbers. Phys. Rev. E 84 (6), 066705 (2011)
[3] Rouet, J.-L., Izrar, B., de Izarra, L. 2011 Numerical evidence of Klinkenberg effect with a LBGK
like method. In Proceeding of 20th CFM com. 962, (29 Aug. –2 Sept. 2011), Besanc¸on, France
[4] Shan, X. and He, X. 1998 Discretization of the Velocity Space in the Solution of the Boltzmann
Equation. Phys. Rev. Lett. 80 65–68
[5] Cercignani, Carlo 1994 The Boltzmann Equation and Its Applications in Applied Mathematical
Sciences, Springer ed. 67
[6] Tang, G.H, Tao, W.Q, He, Y.L 2005 Gas slippage effect on microscale porous flow using the lattice
Boltzmann method. Phys. Rev. E 72 056301
6


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