La simulation numérique d'écoulements cavitants présente de nombreuses difficultés tant dans la modélisation physique du phénomène que dans le développement de méthodes numériques robustes. En effet, de tels écoulements sont caractérisés par une variation importante du nombre de Mach (due à la chute drastique de la vitesse du son), des effets de compressibilité et des états thermodynamiques hors équilibre. L'objectif de la présente étude est la comparaison de deux modèles de cavitation implantés dans un code moyennée (RANS) compressible 1-fluide homogène développé au LEGI. Le phénomène de cavitation est modélisé soit à l'aide d'une équation d'état barotrope pour le mélange liquide-vapeur soit par une équation de transport pour la fraction volumique de vapeur. Dans ce dernier cas, le transfert de masse entre les phases est fermé grâce à une hypothèse de proportionnalité à la divergence du champ de vitesse. Le retard thermique à la cavitation est ici négligé. Le code de calcul est basé sur une discrétisation de type volumes finis centrés. Les flux convectifs sont évalués avec le schéma centré de Jameson. Un préconditionnement à bas nombre de Mach de type Turkel est utilisé pour le traitement des zones de liquide pur. Les simulations instationnaires sont réalisées avec la méthode du pas de temps dual (ordre 2). Le modèle de turbulence k-l de Smith avec un limiteur de viscosité turbulente de Reboud est choisi.  L'écoulement étudié est un écoulement en Venturi à grand nombre de Reynolds avec de l'eau à 20 degrés. La poche de cavitation obtenue présente un comportement transitionnel entre une poche stable et une poche pulsante. La validation est effectuée par comparaison avec les résultats expérimentaux disponibles (pression à la paroi, profils de taux de vide et de vitesse locaux).  Les profils de taux de vide et de vitesse obtenus sont très proches des résultats expérimentaux pour les deux modèles. L'effet du limiteur de viscosité turbulente est plus prononcé avec le modèle transport de taux de vide (TTV). De plus, les fluctuations de pression RMS à la paroi sont plus importantes notamment en aval de poche avec le modèle TTV

CHARRIERE, Boris

GONCALVES, Eric

I-Revues

21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
Comparaison de modeles de cavitation en geometrie de
Venturi
Boris Charrierea, Eric Goncalvesa
a. LEGI, BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9
Eric.Goncalves@legi.grenoble-inp.fr
Resume :
L'objectif de cette etude est la comparaison de deux modeles de cavitation implantes dans un code de
melange homogene compressible moyenne (RANS) developpe au LEGI. Le phenomene de cavitation est
modelise a l'aide d'une equation d'etat barotrope pour le melange liquide-vapeur. La fraction volumique
de vapeur est calculee soit a partir de la masse volumique du melange et des masses volumiques de
chaque phase xees a saturation (modele 3-equations), soit a l'aide d'une equation de transport du taux
de vide (modele 4-equations). Dans ce dernier cas, le transfert de masse entre les phases est modelise
grace a une hypothese de proportionnalite a la divergence du champ de vitesse.
Le cas retenu pour la validation est un Venturi pour lequel nous disposons de donnees experimentales :
prols de taux de vide et de vitesse moyenne, uctuations de pression a la paroi.
Abstract :
The topic of this study is the comparison of two cavitation models implemented in a homogeneous
mixture compressible RANS solver developped at LEGI laboratory. The cavitation model is based on a
barotropic equation of state. The void ratio is computed using either the mixture density and the liquid
and vapour density setted at the saturation values (3-equation model) or a transport equation for the
void ratio (4-equation model). In the latter case, the mass transfer between phases is closed through
an assumption of proportionality with the velocity divergence.
The selected case for validation is a Venturi geometry for which experimental data concerns the veloctiy
and void ratio proles, wall pressure uctuations.
Mots clefs : Transfert de masse ; modele 1-uide ; simulation RANS
1 Introduction
Cette etude s'incrit dans la continuite des travaux menes au LEGI sur la modelisation et la simulation
d'ecoulements cavitants. Ces ecoulements sont complexes et representent un veritable de pour la
simulation numerique tant pour la modelisation physique du phenomene que dans le developpement
de methodes numeriques robustes. En eet, de tels ecoulements sont caracterises par une variation
importante du nombre de Mach (due a la chute drastique de la vitesse du son), des eets de compress-
ibilite, des interactions avec la turbulence et des etats thermodynamiques hors equilibre.
Deux modeles de cavitation implantes dans un code moyenne (RANS) compressible 1-uide homogene
developpe au LEGI sont compares a travers cette etude. Le phenomene de cavitation est modelise a
l'aide d'une equation d'etat barotrope pour le melange liquide-vapeur. La fraction volumique de vapeur
est calculee soit directement a partir de la masse volumique du melange et des masses volumiques de
chaque phase xees a saturation (modele a 3-equations) ; soit a l'aide d'une equation de transport
pour le taux de vide (modele a 4-equations). Dans ce dernier cas, le transfert de masse entre les phases
est modelise grace a une hypothese de proportionnalite a la divergence du champ de vitesse. Le retard
thermique a la cavitation est ici neglige.
1
21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
Les ecoulements cavitants qui se developpent le long d'une paroi comme dans le cas d'un Venturi sont
caracterises par la presence d'une poche de vapeur qui se developpe a partir du col et se termine par
une zone de re-circulation. Cette zone de re-circulation est constituee d'un jet rentrant liquide-vapeur
et presente un caractere instationnaire.
Les resultats obtenus avec ce nouveau modele a 4-equations sur une geometrie Venturi sont compares
aux mesures experimentales et aux resultats obtenus avec le modele a 3-equations [4, 2].
2 Les modeles de cavitation
La formulation de chaque modele de cavitation est presentee ci-apres. Le premier est un modele a trois
lois de conservation de melange (masse, quantite de mouvement, energie) fermee par une loi d'etat de
melange de type loi barotrope sinusoidale.
P () = Pvap +

satl   satv
2

c2minArcsin (1  2) (1)
Cette loi est caracterisee par sa pente 1=c2min ou la quantite cmin est un parametre du modele, interprete
comme la plus petite vitesse du son dans le melange. Le taux de vide est evalue en supposant les phases
pures a saturation :
 =
  satl
satv   satl
(2)
Le second est un modele comportant une equation supplementaire de transport pour la fraction vo-
lumique de vapeur. Il s'agit d'une simplication du modele a cinq equations de Kapila [6]. L'equation
pour le taux de vide est :
@
@t
+ u: grad =
 
satl c
2
l   vc2v
satl c
2
l
1  +
vc2v

!
| {z }
K
divu +
 
c2v
 +
c2l
1 
satl c
2
l
1  +
vc2v

!
| {z }
=1=I densite interfaciale
_m (3)
Le termeK divu traduit les eets lies aux variations de volume de chaque phase. L'une des phases n'est
plus xee a sa valeur a saturation. Ce modele a ainsi pour objectif de mieux reproduire les phenomenes
de desequilibres thermodynamiques (etat metastable) qui apparaissent lors du changement de phase.
Le transfert de masse entre les phases _m est ferme en identiant l'equation pour la pression deduite
de l'equation de transport du taux de vide
@P
@t
+ u: gradP + c2wallis divu =
c2v

(1  v
I
) _m (4)
et l'equation pour la pression deduite de la conservation de la masse
@P
@t
+ u: gradP + c2 divu = 0 (5)
En supposant que le transfert est proportionnel a la divergence de la vitesse, on aboutit a (cf. [5]) :
_m =

lv
I(l   v)

1  c
2
c2wallis

divu avec c2 =

@P
@

s
=
c2min
2
p
(1  ) (6)
La vitesse du son dans le melange c est donnee par la loi barotrope presentee au-dessus. La vitesse
cwallis est la vitesse des ondes sans transfert de masse ni transfert de chaleur ; elle s'exprime comme
la moyenne harmonique des vitesses des phases pures. Le systeme non visqueux est bien hyperbolique
avec les valeurs propres u; u; u  c; u+ c. Avec cette formulation, tout modele qui propage les ondes a
la vitesse du son de Wallis ne produit pas de taux de vide.
2
21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
3 Le code RANS
Les equations resolues sont les equations compressibles RANS dans le cadre d'une approche de melange
homogene [3]. Pour les applications a faible nombre de Mach, une methode de preconditionnement est
appliquee. Les equations sont discretisees par la methode des volumes nis sur un maillage structure.
Les ux convectifs des equations du champ moyen sont calcules a l'aide d'un schema de Jameson
centre a l'ordre 2. Tandis que pour le champ turbulent, un schema de Roe porte a l'ordre 2 est utilise.
L'integration en temps est eectuee avec une methode implicite a faible cou^t sans matrice. Pour les
calculs instationnaires, la methode de pas de temps dual est appliquee (ordre 2 en temps).
Les conditions aux limites d'entree et de sortie sont traitees a partir des caracteristiques des equations
d'Euler pre-conditionnees. Aux parois, une condition de type loi de paroi est appliquee.
Deux modeles de turbulence sont utilises, le modele k   ` de Smith (KL) [8] et le modele de Spalart
et Allmaras (SA) [9]. A chacun de ces modeles nous appliquons une correction de Reboud qui limite
la viscosite turbulente et ameliore la reproduction de la dynamique des poches cavitantes [7].
4 Resultats
Les resultats sont donnes pour un ecoulement en Venturi caracterise par un divergent ouvert a 4 (cf.
Fig.1). Le divergent est equipe de cinq puits de mesure qui ont permis d'acceder au prol de taux de vide
et de vitesse longitudinale. Les parametres de l'ecoulement sont la vitesse d'entree Uentree = 10; 8m=s,
la valeur du parametre de cavitation en entree ref =
Pref Pvap(Tref )
0:5LV 2ref
 0; 55 et l'instationnarite de la
poche de cavitation dont la longueur varie entre L = 0; 070m et L = 0; 085m [1] (cf. Fig.1).
L'ensemble des calculs est eectue sur un maillage structure comprenant 25061 noeuds. Le parametre
cmin est xe a 0.92 m/s. Le pas de temps des simulations est t = 2:3 10
 4s.
Figure 1 { Schema descriptif du Venturi 4 et photo de la poche.
Une description qualitative de la poche obtenue avec le modele a 4 equations est illustree en Figure
2 avec le module du gradient de masse volumique (visualisations Schlieren). Pour les deux modeles
de turbulence, on observe bien la zone de poche attachee au col du venturi suivi d'une zone de re-
circulation avec des petits la^chers de structures diphasiques. Avec le modele SA, la poche attachee est
plus etendue (et le jet rentrant moins developpe) qu'avec le modele KL.
x(m)
y(m
)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.02
0.04
Grad-rho: 5000 21111.1 37222.2 53333.3 69444.4 85555.6 101667 117778 133889 150000
x(m)
y(m
)
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.02
0.04
Grad-rho: 5000 21111.1 37222.2 53333.3 69444.4 85555.6 101667 117778 133889 150000
Figure 2 { Visualisation de la poche par le module du gradient de la masse volumique, modele a 4
equations : modele k   ` (gauche), modele SA (droite)
3
21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
alpha
y(m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.001
0.002
0.003 SA-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
KL-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
SA-3eqt-Reboud-n10-sigma0583
KL-3eqt-Reboud-n10-sigma0586
EXPE
U(m/s)
y(m
)
0 2 4 6 8 10 12 140
0.0005
0.001
0.0015
0.002
alpha
y(m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
U(m/s)
y(m
)
-2 0 2 4 6 8 10 12 140
0.002
0.004
0.006
0.008
alpha
y(m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.002
0.004
0.006
0.008
U(m/s)
y(m
)
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
alpha
y(m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.80
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
U(m/s)
y(m
)
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
alpha
y(m
)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
U(m/s)
y(m
)
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
Figure 3 { Prols de taux de vide (gauche) et de vitesse (droite) aux stations 1 a 5 (de haut en bas)
4
21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
Les prols moyennes de taux de vide et de vitesse longitudinale sont presentes sur la Figure 3 aux
cinq puits de mesure. Precisons que les prols experimentaux obtenus par les bi-sondes optiques sont
des prols les plus probables et que les prols numeriques sont des prols moyennes sur le temps
de simulation (entre 3 et 4 secondes). Aux deux premieres stations, la poche de cavitation est at-
tachee avec un taux de vide qui peut atteindre 98% et aucune recirculation n'est mise en evidence
experimentalement. Les calculs predisent des prols de taux de vide et de vitesse en accord avec ceux
releves experimentalement. A la station 2, le modele de Smith utilise avec le modele 4-equations donne
un prol proche du decollement, ce qui se traduit par un taux de vide plus faible.
Aux stations suivantes, le phenomene de jet rentrant est bien observe dans les experiences et une
recirculation est mise en evidence. D'une maniere generale, ce phenomene est correctement reproduit
par l'ensemble des simulations numeriques. Les prols de vitesses negatives proche paroi sont en eet
simules par les quatre calculs. En revanche les prols de taux de vide dans la zone de la^cher de vapeur
prevus par le modele 3-equations ne sont pas ameliores par le modele 4-equations. On visualise en
eet des taux de vide sur-estimes et, aux puits 4 et 5, une epaisseur de poche legerement superieure
au cas experimental.
La gure 4 represente les prols de pression moyenne (P   Pvap)=Pvap et de uctuations de pression
RMS sur la paroi inferieure du venturi. Les uctuations de pression RMS sont adimensionnees par la
pression moyenne Pav.
Chaque simulation predit correctement la chute de pression au passage du col ainsi que la re-compression
en n de poche. Dans la poche la pression est environ egale a Pvap.
Experimentalement, les uctuations de pression RMS font appara^tre un pic en zone de fermeture
de poche (au puits 5). Les pics obtenus par les simulations numeriques atteignent des amplitudes
elevees avec des pressions de uctuations superieures a la pression moyenne (P rms = 1:5). Cependant
le faible nombre de points de mesures ne permet pas de reellement discreminer un calcul. On constate
en revanche une nette dierence selon les modeles a l'aval de ce pic, pour les puits 6 a 9. Le modele
a 4 equations prevoit, dans cette zone, des uctuations de pression superieures au cas experimental,
quelque soit le modele de turbulence utilise. Ceci pourrait e^tre imputable a la formulation du terme
de transfert de masse qui ne prend pas assez en compte le phenomene de condensation.
x-xi
(P
-
Pv
)/P
v
0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
SA-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
KL-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
SA-3eqt-Reboud-n10-sigma0583
KL-3eqt-Reboud-n10-sigma0586
EXPE
x-xi
P’
 
rm
s
 
/ P
a
v
0.15 0.2 0.25 0.3
0
0.5
1
1.5
SA-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
KL-4eqt-Reboud-n10-sigma0620
SA-3eqt-Reboud-n10-sigma0583
KL-3eqt-Reboud-n10-sigma0586
EXPE
Figure 4 { Prols de pression moyenne (gauche) et pression rms (droite)
5 Conclusions et perspectives
Un nouveau modele de cavitation a ete teste par des simulations numeriques sur une geometrie de type
Venturi. Ce modele comprend une equation de transport pour la fraction volumique de vapeur. Cette
nouvelle approche est censee mieux reproduire les phenomenes de desequilibre thermodynamique qui
5
21eme Congres Francais de Mecanique Bordeaux, 26 au 30 aou^t 2013
interviennent au moment du changement de phase. Les resultats ont ete compares au modele a 3
equations jusqu'alors utilise au LEGI.
Les resultats obtenus avec les deux modeles pour les prols moyens de taux de vide et de vitesse sont
tres proches. Si la zone de re-circulation a l'aval de la poche attachee est correctement reproduite, il
est dicile de prevoir la decroissance du taux de vide en zone de proche paroi. On remarque d'autre
part que ce nouveau modele a tendance a sur-estimer les uctuations de pression a l'aval de la poche.
Une modication apportee au terme source de l'equation de tranport pourrait ameliorer ces resultats.
Le bon comportement du modele doit e^tre conrme par des simulations sur d'autres geometries.
References
[1] Barre, S., Rolland, J., Boitel, G., Goncalves, E., Fortes R. 2009 Experiments and modelling of
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[8] Smith, B.R. 1994 A Near Wall Model for the k ` Two Equation Turbulence Model AIAA 94{2386,
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[9] Spalart, P., Allmaras, S. 1992 A one-equation turbulence model for aerodynamic ows, 30th
Aerospace Sciences Meeting, AIAA 92{0439, Reno, Nevada.
6


Comparaison de modèles de cavitation en géométrie de Venturi

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