Fáy, Gy.

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Periodica Polytechnica (Budapest University of Technology and Economics)

ÜBER DIE MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN METHODEN DER VERBRENNUNGSTHEORIEN Von Lehrstuhl für Atomphysik. Technische "Cniwrsität, Budapest (Eingegangen am 3. ::\Iärz 1964) V orgelegt von Prof. Dr. 1. Kov . .\cs Einleitung Die :\'utzung der chemischen Energic spielt hcute in dcr Encrgiewirt-'3chaft der W clt rinr grundlcgende Rolle. Dirsrr Lmstand bedingt die Kcnntnis dcr chemischen und physikalischen Prozesse, die sich beim Freiwerden der Energie abspielen, damit sie ökonomisch und planmäßig den jC'weiligen Zielen entsprechend beherrscht werden können. Das Freiwerden chemischer Energien in Form von Wärmc n<:nnt man im weitesten Sinne Verbrennungsprüzeß, obwohl dieser Begriff nicht mit wissenschaftlicher Exakthcit umschrieben ist. Theoretisch ist nämlich nur ein weit größerer Problemenkreis - die allgemeine Theorie der chemischen Reaktionen als geschlossenes Ganzcs zu betrachten. Für die Praxis sind indessen mir wenig Reaktioncn von Interesse und üherdies müssen sie von Fall zu Fall von verschiedenen Gesichtspunkten aus behandelt ,,-erden. Den Verbrennungsprozeß zu kennen, erfordern direkte praktische Gesichtspunkte, und diese sind es, die auch die theoretischen Fragen der Feuerungstechnik bestimmen. Dcr planmäßig, den praktischen Erfordernissen gemäß geleitete Verbrennungsprozeß wird im al1gemeinem Fcuerung genannt, und das diesbezügliche WissenssystEm ist - wie in allcn technischen ·Wisscn-schaften - heterogen in dem Sinne, daß rs sich glrichzeitig auf mehrere Grund-wissenschaften stützen muss. Zur Beherrschung dcr Feuerungstechnik müssen also nicht nur die Theorie dcs Verbrennens, sondcrn auch die das Verbrennen indirekt beeinflussenden Prozesse, wie et·wa die Zerklcinerung des Brennstoffes bekannt sein. Hierher gehören auch die Untersuchungsmethoden, es ist mithin schwierig, den theoretischen Problemenkreis der Fcuerungstechnik abzu-grenzen. Da die Feuerungstechnik eine praktische Wissenschaft i5t, müssen ihre Probleme nach praktischen Gesichtspunkten gelöst wcrden. Bei Auswahl des Materials unserer Arbeit sind wir yon den in den industriellen Forschungs-instituten gegenwärtig in Behandlung stehenden und im weiteren noch zu lösenden Forschungsthemeu ausgegangen. Die in Behandlung stehenden Themata sind natürlich praktischer Natur, so z. B. die Bestimmung der Maximumstelle und des Wertes der Flammen-temperatur in einer Feuerungsanlagc oder die Herahsetzung des Gehaltes der Schlacke an noch brennbaren Stoffen. Oft ist eine gegebene Feuerungs-266 GY. F..JY anlage nach technischen und physikalischen Gesichtspunkten zu überprüfen. Die Feuerungstechnik hat derartige praktische Ziele zur Aufgabe, und um diese lösen zu können, muß eine ganze Reihe - begrifflich manchmal ganz verschiedene - physikalische und chemische Prozesse gelenkt werden können. In der Forschung auf dem Gebiet das Feuerungstechnik, "\,ie sie heute in den industriellen Forschungsinstituten betrieben wird, hildet gegenwärtig die theoretische U nerschlossenheit der Verbrennungs prozesse einen regelrechten Engpaß, weshalb es zum experimentellen Studium der anfallenden Probleme' einer ,dssentschaftlichen Methode bedarf. Mit den chemischen experimentellen und praktischen Problemen der Verhrennung will sich die vorliegende Arbeit nicht befassen, vielmehr wird in dieser Hinsicht auf die einschlägige Literatur [10] ver"iesen. 1. Die Fllndamentalaufgahe der Verhrennungstheorie Die Verbrennungs theorie hat die Aufgabe, die Flamme - als physikali-schen Körper - und die Flammeubewegung - als physikalischen Prozeß - bel gegebenen Ausgangs- und äußeren Bedingungen zu heschreiben. Unter Bewe-gung ist hier nicht die Bewegung im mechanischen Sinne, sondern die räumliche und zeitliche Veränderung der Flammengröße zu verstehen. Zur Beschreibung eines physikalischen Phänomens bedarf es einer Definition der ZustandgTößen, weshalb zunächst diese Frage geklärt werden muß. Wir betrachten die Flamme als ein aerothermochemisches System, cl. h. als ein aus mehreren chemischen Komponenten bestehendes System, welches hydrodynamische, chemische und thermodynamische Zustandsgrößen besitzt. Bekanntlich sind die hydrodyna-mischen Zustandsb'Tößen der Druck, die Geschwindigkeit. die Dichte und die Außellkräfte, also ausnahmslos Funktionen des Raumes und der Zeit. Die thermodynamische Zustandsgröße ist die Temperatur, und chemische Zustands-größen sind die Reaktiomgesch'windigkeit und die innere Energie des Körpers. Dieses heterogene Begriffssystem kann indes nach einheitlichen Gesichts-punkten diskutiert werden, und zwar nach den Methoden der Transporttheorie. Der Begriff der Grundaufgahe der Verhrennungstheorie ,~ird nach der transporttheoretischen Terminologie formuliert. Ein physikalischer Körper ist dadurch charakterisiert, daß im Laufe seiner Zustandsänderung gewisse Suhstanzen entstehen, strömen und ver-sch"inden. Unter Suhstanz sind Eigcnschaften zu verstehen, die sich bei der Vereinigung zweier Körper in identischem Zustand addieren, "ie et'wa die Masse, das Volumen, der Impuls, die innere Energie, die elektrische Ladung, die Entropie, etc. Sie werden auch Extensitätsquantitäten genannt. Die Zahl der Kennwerte, die den Zustand eines Körpers hestimmen, ist gleich der Zahl der Wechselwirkungen, denen er ausgesetzt ist. Es giht eine mechanische Wechsehvirkung, hei der sich die Energie des Systems auf dem Wege der Impuls-JUTHE.U.·1TISCHE USD PHYSIK.·1LISCHE JtETHODES DER VERBRES.\"U.\"CSTHEORIES 267 strömung ändert. Ein Energieübergang ohne Impulsübergang ist kein mechani-scher, sondern ein Wärmeeffekt. Wenn sich die Energie des Systems nur durch Massenübergang ändert, dann handelt es sich um einen Phaseneffekt. Die Substanzen lassen sich nach folgenden Überlegungen verfolgen. In einem Raum mit geschlossener Oberfläche kann sich die Menge der Substanz nur auf zwei A.rten ändern: 1. durch Ein- und Ausströmung durch die Oberfläche hindurch und 2. durch Entstehen oder Versch·winden im Inneren des Raumes. Die Anwendung dieses Gedenkenganges auf die Masse als Substanz und seine Formulierung hat, wie bekannt, in der Hydrodynamik zur Aufstellung der Kontinuitätsgleichung geführt. Als deren Verallgemeinerung kann nach dem gleichen Gedankengang wie bei der Kontinuitätsgleichung die Beziehung 8Q 8t div~= q (1) geschrieben werden, in der Q-die Dichte der Substanz, d. h. ihre Menge in der Volumeinheit, . ;s - die Stromdichte der Substanz, cl. h. die Substanzmenge, die Ober-flächeneinheit, die in der Zeitenheit durchströmt, und schließlich y. - die Quellestärke (Intensität) der Substanz bedeutet, d. h. jene Substanzmenge, die in der V olumenheit in der Zeiteinheit entsteht. Im weiteren soll nun die Flamme, d. h. der Verbrennungsprozeß mit einem Modell beschrieben werden, in welchem folgende Substanzen vorkom-men: 1. die Masse der chemii3chen Komponente Index k; 2. der Impuh; 3. die Energie. Schreibt man der Reihe nach für jede dieser Substanzen die Kontinuitäts-gleichung auf, dann erhält man die Grundgleichungen der Verbrennungstheorie, und die Aufgabe besteht darin, die in ihnen vorkommenden Funktionen zu bestimmen. Es sei Q" die lHassendichte der chemischen Komponente mit dem Index k, ferner!25" die Stromdichte und WIe die Quellstärke, die in diesem Falle Reaktions-gesch·windigkeit genannt werden soll. \,\1 eiterhin sollen die Kennwerte der Gesamtmasse mit Buchstaben ohne Index (Q, ~, W) bezeichnet werden. Es ist evident, daß die Gesamtmasse des Systems unveränderlich ist, daß also auf jedem Ort r des Raumes in jedem Zeitpunkt t und im Sinne von (1) W (1', t) = TV = 0 + div~ = 0 8t :268 GY. F.1Y Strömt das System mit der Geschwindigkeit t1, dann crgibt Q lJ den kon-yektiven Teil der Massenstromdichte und - D. grad eden konduktiven Teil, "wenn D der Diffmionsfaktor und c die Zahl der Atome (Konzentration) in der V olumeinheit bedeutet, d. h. es giht 'So -~ . ..L div(ot1 - D "rad c) = 0 8t '- /:) ( 3) Strömt jede Komponente mit derselben Geschwindigkeit t1 ist der Diffusions-faktor der k-sten Komponente D", ihre Konzentration dagegen c" und ent-steht in der Volumeinheit und in der Zeitenheit aus der k-ten chemischen Komponenten die Masse W .. ", dann ist So/- d' ( D 1) lT" _~_'....L IV Q" lJ - r, grac c" = w'r: St (4) Die W,,- Werte sind von einander nicht unahhängig. Die chemischen Kompo-nenten können auch Verbindungen sein. Bezeichnet 'Vi" die Zahl der Atome mit dem Index i im Molekül der k-sten Komponente, dann muß die Relation M A TY/ "">' '~" ~-O ~.- vll: -!c=li=l /11" bestehen, weil sich die Gesamtzahl der Atome nicht ändern kann. (Das System enthält A-erlei Atome, iVI-erlei Komponenten, die Masse des Moleküls der k-stcn Komponente ist A[k)' Die W,,-Werte sind von Druck und Temperatur, sowie von der Konzentra-tion der an der Reaktilill te'ilnehmenden Stoffe abhängig. Die Abhängigkeit beschreiben die Arrhenius Relation und das kinetische Massenwirkungsgesetz, mit denen wir uns später befassen werden. Betrachten wir jetzt die Kontinuitätsgleichung des Impulse;::. Wenn wir die äußere Kräfte vernachlässigen, dann ergiht bekanntlich die Div"ergenz des Spannungstensor P den in der V olumeinheit in der Zeitenheit entstehenden Impuls. Unter Divergenz eines Tensors P ist j ener Vektor zu verstehen, dessen Koordinaten x, y, z der Reihe nach die Divergenzen des Tensors mit dem Kom-ponenten x, y, z, d. h. das aus den Elementen der ersten, zweiten bzw. dritten Reihe - als Koordinaten - gebildeten Vektor sind: (divP)x = divPx (div P)y = div Py (divP)z = divPz Die Impulsdichte ist Q t1, ihre Komponenten sind: Qt1x, Qt1y, ebz' "wobei bx , by' bz JfATHE,lfATISCHE USD PHYSIKALISCHE JIETHODES DER FERBRESSU,VGSTHEORIES 269 die Komponenten der Geschwindigkeit bezeichnen. Für sie gilt vj + wr u, V, lt' sind hierin Koordinaten der Geschwindigkeit, und i, j, f sind die in die Richtung der x, y, z-Achse zeigenden Einheiisvektoren. Bei Bewegung mit der Geschwindigkeit b schreibt sich die Kontinuitätsgleichung für die Im-pulskomponenten zu 8 -(Qu) div(QUlJ) = (divP)x 8t und ähnlich für die Richtungskomponenten y und z zu ~ (CIV) + div (QVlJ) = (di-.:.- P)v 8t ' 8 - (Q w) ~ cli.v (Q1ClJ) 8t (cliv Pt, Die drei Gleichungen können in der Form ~ (Qb) + div (Q bob) = cliv P 8t (5) zusammengefaßt werden, wo bob das dyadische Produkt des Vektors b mit sich selber bedeutet, d. h. den Tensor mit der Matrix: (UU UV llW 1 vu VV VIC WU WV ww (6) Wenn wir hier jene konkrete Form des Spannungstensors P in Betracht ziehen, die in der Hydrodynamik der viskosen Flüssigkeiten üblich ist, dann erhalten wir aus (5) die Grundgleichung der Hydrodynamik, die Navier-Stokes-Glei-chung. Der Einfachkeit halber nehmen wir eine inkompressible Flüssigkeit, in der cliv b = 0, wobei angenommen i\'erden kann, daß der Spannungs-tensor P nur von der Geschwindigkeitsänderung, cl. h. von dem derivierten Tensor 8b (7) 8r abhängt. "\\Teiterhin nehmen wir an, daß nur ,on dessen symmetrischem TeiL und zwar linear: P = P(o) (8 Hier ist (~')+ die Adjungierte VOll (7). Von P(O) nehmen wir an, daß es die ,8r Form -pI 270 Gy. F.1Y hat, während wir die skalare Konstante c mit 2 p bezeichnen. Da nun aber bekanntliche die Matrix von (7) die Form 8u 8u 8u -8x 8y 8z 8v 8v 8v 8(u,v,w) I 8x 8y 8z S (x,y, z) 8w 8w 8w 8x 8y 8z hat, können wir die Divergenz von P in der Form divP = - gradp + ,LlLlb (9) aufschreiben. :Mit (9) hat man aus (5) nach Umformung des Vektors div (g bob) die Beziehung (5) und cliv(Qbob) = b div(Qb) Q(tJ, grad) b (10) Hier bedeutet das Symbol (0, grad) einen Tensor, in dessen erster, zweiter, bzw. dritter Reihe die Koordinaten der Vektoren grad u, grad v, grad zc stehen, d. h. den derivierten Tensor 8ll sr lVlan pflegt ihn auch mit grad b zu bezeichnen, womit man der Gradiente des Vektors eine Bedeutung zueignet. d. h. bzw. Mit (10) hat mall aus (5) 8 ~ (Qb) tJ div (Qo) + Q (ll, grad) 0 = div P ot 80, 80 ll-~ +0 St ' ~ 8t o eliv(QO) Q(o,gracl)b=divP (' 80 ,. '). ( 8b o -- -'- ehv ob -'- 0 j "- I "-ct ,. 8t (b, grad)bj = cliv P (11) Da nach der für die Masse aufgeschriebenen Transportgleichung (3) 8t div Qb = DLl c folgt aus (9) hzw. aus (11) - nach Division durch Q -, daß b 8b D-Llc+-Q 8t 1 !l (b, grad) b = - gradp + -Ll 0 Q Q (12) ,UATHE-UATISCHE l:i,,'D PHYSIKALISCHE JIETHODES DER IERBRE-YSl'SGSTHEORJES 271 Das Glied, welches die Diffusionskonstante D enthält, kann in vielen Fällen vernachlässigt werden (aber nicht im Falle turbulenter Mischung !). Damit hahen wir die N avier-Stokes-Gleichung für inkompressibile Flüssigkeiten ohne äußeres Kraftfeld in der Form ab I . 1 . ,Ll - -;- (b arad)o = - - arad p -'- - LI b , 'e 0 I St Q Q (13) Außerdem zeigt (12), wie die Diffusion in die Hydrodynamik eingebaut werden kann. Die Gleichung (12) ist die Grundgleichung der turbulenten iVlisclzullE, die in der Verbrennu71gstlzeorie eine wichtige Rolle spielt. Wenn wir uns nun der Energietransportgleichung z1.n,'enden und die 5trahlungs'wärmeeffekte von Anfang an vernachlässigen, ist es evident, daß sich die Energiedichte aus der in der Volumeneinheit vorhandenen kinetischen Energie 12 Q b~ und aus der spezifischen inneren Energie e zusammensetzt, daß also Der konvektive Teil der Energiedichte %e ist offenhar Qe b, der konduküw 'Teil gemäß der Wärmeleitungsgleichung hingegen ;. grad T, (14) wo i. den Wärmeleitungskoeffizienten und T die Temperatur bezeichnet. Die in der Volum- und in der Zeiteinheit als Wärmeeffekt entstehende Energie schreibt sich zu (15) worin qk die auf die Molekulargewichtseinheit bezogene Reaktionswärme bedeutet. Unter Vernachlässigung der Energieproduktion der inneren Kräfte nimmt die Kontinuitätsgleichung der Energie die Form [ 'b2 1 J div Q[-;- + e 0 - i. grad T = ~ Wkq" - (k) (16) ,an. Statt unter der Divergenz stehenden spezifischen Energie (e) kann die spezi-fische Enthalpie (i) gesetzt ·werden, weil . V . P e=L-p-=L--; m Q diveeb = div eib - (0, grad p) - P div b, worin die Glieder (b, gradp) und p div b vernachlässigt werden können. Das 272 GI', F"iY erste, 'weil vorausgei3etzt war, daß der Druck annähernd konstant ist, das zweite wegen der Inkompressibilität. Zusammenfassend läßt sich somit festhalten: Die Grundaufgabe der Verbrennungstheorie besteht darin, die Flamme als ein thermoaerochemisches SY:3tem durch Konkretisierung und Auflösung der Grundgleichungen für die Zustandsgrößen zu beschreiben. Die Grundgleichungen der Verbrennungstheorie sind die Kontinuitäts-gleichungen der Masse, des Impulses und der Energie. Das Ansetzen dieser Gleichungen ist so kompliziert, daß ~äherungen unvermeidlich sind. Die wichtigste Vel'l1achlässigung besteht darin, daß beim Ansetzen der Transport-gleichungen die sogenannten Kreuzeffehte nicht in Betracht gezogen werden, worunter die Tatsache zu "erstehen ist, daß die Strömungen der verschiedenen Substanzen miteinander in \,ilechs(>}-wirkung treten, interferieren. Die Bestimmung der Quellstärken (Quellfunktionen ) benötigt gleichfalls ge,\\Cisse ~äherungen. Vernachlässigungen sind ferner beriieksichtlich der Raum-und Zeitabhängigkeit der yerschiedenen Zustandsgrößen erforderlich (z. B. die Vernachlässigung "on cli" b, grad p ctc.). Die Verbrennungstheorie ist eine verhältnismäßig junge Wissenschaft. und ihre konsequente transporttheoretische Begründung bildet noch eine Aufgabe der Zukunft. Sie hat jedoch schon in ihrer jetztigen Form große Fortschritte gemacht, und die gemachten Näherungen haben sich auch in der Praxis als zulässig erwiesen. Dir Grunclgleichungen der Verbrennungstheorie bestimmen noch nicht eindeutig die in ihnen vorkommenden Funktionen Q (1:, t), C (1:, t),p (1:, t), e (r, t), T (r, t), b (r, t) Den drei Trani3portgleichungru, dic den fünf skalaren Gleichungen (je einer für Masse und Energie, sowie (leI' für den Impuls aufgeschriehenen, drei Skalare in sich yereinigenden Vektorgleichung) cntsprechen, stehen acht zu bestim-mende Funktionen (die Skalare f}, c, p, e, T und der Vektor b (1:, t), gegenüher. Zur eindeutigen Lösung "ind teils weitere Gleichungen, teils Anfangs-und Randwertbedingungen erforderlich, weil es sich bei den Transportgleichun-gen um partielle Differenzialgleichungen handelt. :Hit der Frage, welche Anfangs- und Randwerthedingungen zum korrek-ten Aufschreiben des nichtlinearcn partiellen Differclitialgleichungs!3ystems erforderlich waren, können wir uns hier nicht befassen, 'weil die diesbezüglichen "Lntersuchungen noch nicht als abgeschlossen, betrachtet 'weTClen können. Ebensowenig ist es möglich zu zeigen, 'welche Ergänzungsgleichungen im allge-meinen Fall zur eindeutigen Lösung benötigt werden. Die gegenwärtigen Re5ultate der Verhrennungstheorie sind indes auch ohne diese ühenoichtlich, weshalb im folgenden die benötigten Ergänzungen der Grundgleichungen nur in Verbindung mit konkreten Problemen behandelt werden sollen. JUTHEJIATISCHE U_YD PHYSIEALISCHE JIETHODES DER TTRBRES,YC\-CSTHEORIES 273: Wie bei theoretischen Untersuchungen ganz allgemein,bedürfen auch die verhrennungstheoretischen Untersuchungen eines ordnenden Prinzips, welches die 1Iöglichkeit bietet, den zu untersuchenden Phänomenenkreis schon auf Grund der Theorie zu klassifizieren. Die erste Information zu dem sehr ver-wickelten Komplex der Verbrennungsprozesse vennag die oberflächliche - nur auf die direkte Betrachtung sich stiitzende- Klassifikation nicht zu vermitteln. Zur Klassifikation müssen die tatsächlich ahgrenzbaren Gruppen der Phäno-mene voneinander so abgegrenzt werden, daß sie im Rahmen der Theorie den tatsächlichen Verhältnissen entsprechend theoretisch selbstständig diskutiert werden können. Die verhrennungstheoretische Klassifikation der Verhrcnnungsprozesse erfolgt durch HrGO"iIOT, CIIAP:\IA"i, ]OUGUET und FRIDRICllS [1-9J. In einem weiteren Beitrag werden wir uns auf Grund ihrer Resultate mit der Klassifikation der Verbrennungs prozesse befassen. Zusammenfassung Das Ziel der Yerbrennullgstheorie "ird nach der Terminologie der Transporttheorie definiert. Verfasser gibt ferner die Grundgleichungen der Verbrennungstheorie an. Literatur 1. CHAP3fAX. D. L.: PhiI. ~Iag. (5) 47, 90 (1899). 2. FRIDRreHs. K. 0.: On the ~Iathematical Theory of Deflagrations and Detonatiom. :\"avaI Report. 79--16. Bureau of Ordnance. 1946: ' 3. JO"l"GrET. E.: J. math. 347 (1905). 4. JorGwET. E.: J. math. 5 (1906). 5. JorerET, E.: Compt. rend. 156, 872 (1913). 6. 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ÜBER DIE MATHEMATISCHEN UND PHYSIKALISCHEN METHODEN DER VERBRENNUNGSTHEORIEN

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