Csoma, Zs.

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Periodica Polytechnica (Budapest University of Technology and Economics)

ANGENÄHERTE QUADRATUR IM FALLE UNGLEICHER TEILINTERVALLE Von ZS. CSOl\IA Physikalisches Institut der Technischen Universität, Budapest (Eingegangen am 14. Oktober 1959) In der Praxis sieht man sich oft vor die Aufgabe gestellt, ein bestimmtes p" Integral I = J f(p )dp mit einer Annähernngsmethode zu berechnen, falls Po die Funktionswerte f(p) mit nicht äquidistanten Abszissen Pi bekannt sind. So kann zum Beispiel f = r3p sein, worin P eine analytische Funktion von r bedeutet, deren Inverse aber mit elementaren Hilfsmitteln nicht darstellbar ist. In solchen Fällen gilt die Trapezsumme 1 T ="2 [(fo+fl) (p!-Po) + (fl+f2) (P2-Pl) + ... + (fn-l+!,,) (Pn-Pn-l)] = 1 [fo (PI - PO) + fn (Pn - Pn-l) + fl (P2 - PO) 2 nur als rohe Annäherung. Angenommen, n = 2 k sei eine gerade Zahl, dann benötigt man, um die Simpsonsche Regel anwenden zu können, eine zu einer neuen Variablen x führende Transformation, bei der die entsprechenden Teil-intervalle gleich sind. Wenn die Funktion f(p) z. B. tabellarisch gegeben ist, dann 'wird die Durchführung der prinzipiellen Transformation, die zum Integral 1= ff[p (x)] d~ . dx führt, im allgemeinen Schwierigkeiten bereiten. Statt Xo dx die Ableitung zu bilden, wollen wir zur Bestimmung des Integrals eine Annähe-rungsformel angeben. Wir nehmen auf der x Achse äquidistante Xi mit der Schrittbreite h = xi+l - Xi an. Es sei im Falle 0 i < n = Llpo bzw. Pn - Pn-l = Llpn· Nun wählen \vir eine Funktion p(x) derart, daß _J!... = ~ sei. Geo-e (d ) Ll. .dx Xi h metrisch bedeutet diese Aufgabe, daß die Kurve der zu ermittelnden Funktion durch die gegebenen n + 1 Punkte geht, wobei ihre Tangenten in den Anfangs-32 ZS. CSOMA p ~~==========~.~.::.~.··4· Pz 1------:;;&-::';;ttIf p/I-----A' o Xo Xz Abb. 1 x und Endpunkten mit den entsprechenden Sehnen zusammenfallen, und in den Zwischenpunkten mit den die Nachharpunkte verhindenden Sehnen parallel sind. Eine ganze rationale Funktion, die diese Forderungen erfüllt, ist leicht anzugehen. Die 2 k + I Punkte und die zugehörigen Tangenten hestimmen ein Polynom 4 k + I-ten Grades. Für k = I wird P (x) = PI + A (x - xl) + B (x - XI)2 + C (x - xl )3 + + D (x - xl )4 + E (x - xl )5, ~~ = A + 2 B (x - Xl) + 3 C (x - XI)2 + 4 D (x - xlP + ;:; E (x - XI)4, Po = PI - Ah + Bh2 -. Ch3 + Dh4 - Eh5; Llpo = A _ 2Bh + 4Ch2 - 4 Dh3..L, 5Eh4• h . P2 = PI + Ah + Bh2 + Ch3 + Dh4 + Eh5 ; Ll:2 = A + 2 Bh + 3 Ch2 + 4 Dh3 + 5 Eh4 , Llpl = A. h Aus diesen Gleichungen erhalten WIr B=~ LlP2- Ll pO 4 h2 4h4 C=ü, E=ü, I ASGES.-IHERTE Q[;ADRATUR 33 es ist also Ist k > 1, dann erfüllt die obigen Anforderungen eine Funktion, die je Teilintervallenpaar streckenweise aus je einem solchen Polynom vierten Grades besteht. Wendet man zuerst die Trapezformel T = h 1 ~ (Yo + Yn) + )'1 ... + . d + )'n-1 ( auf die Funktion y = f -.p.- an, dann erhält man die schon in der I dx Einleitung erwähnte Summe, Wendet man sodann auf die Funktiony = f· ~= die Simpsonsche Regel h S = 3 f Si Yi an. wo Si = 1, 4, 2, ... 4, 1, dann hat man in der die Variable x nicht mehr erscheint. Diese letzte Summenformel könn-ten "wir die verallgemeinerte Simpsonsche Regel nennen. Eigentlich genügt es, sich auf k = 1 zu beschränken, wobei Si = 1, 4, 1 ist. Beim Anschließen jedes neueren Teilintervallenpaars ist nämlich .{' ( ) , .{' ( ) 2.(' P2k+l - P2k-1 J2k Pn - P21,-1 T J2/i P2/i+1 - P2k = J2k 2 das heißt von zwei anschließenden äußeren Teilintervallen wird ein einziges inner~s Teilintervall gebildet. Ist Jpi konstant, dann erhält man die bekannte Formel wieder, denn es ist jetzt P = x, also Jpi = h. Wendet man nun die neue Regel auf den Fallf(p) = C konstant an, dann wird 3 Periodica Polytechnica EI. lViI. 34 ZS. CSOMA 1 S = 3"" C [PI - Po + 2 (P2 - Po) + P3 - PI + ... + + 2 (Pn - Pn-2) + Pn - Pn-I] = C (Pn - Po)' Pn was mit dem Integral 1= S Cdp genau übereinstimmt. Dieses Ergebnis läßt Po sich auch so formulieren, daß die Summe der den Ordinaten fi zugehörigen 1 . Gewichte 3"" Si LI Pi dem Grundintervall gleich ist. Diese letzte Tatsache bestätigt die obige Definition von LlPi . Eine strenge Fehlerabschätzung genügt für k = 1, weil der Fehler für k > 1 aus den Fehlern der einzelnen Teilintervallenpaare zusammengesetzt ist. Bekanntlich gibt die Formel h5 I - S = H = __ y(4l (~) 90 den Fehler der Simpsonschen Regel an; ~ ist hierbei em geeignet gewählter Wert zwischen X o und X o + 2 h = x 2 • In diesem Falle ist y = f dp ,und v.,ennr, f" ,f'" undf{4l die Ableitungen dx vonfnach P bzw. P',P",P'" und p(4l die Ableitungen von P nach x bezeichnen, dann ist H = - h5 {J{4l P's + 101''' p'3 p" + 10 f" p'2 p'" + 15 f" p' p"2 + 90 + 10 f' p" p'" + 5 I' p' pUl}, d5p denn --== O. Wie man sieht, bleibt bei gleichen Teilintervallen nur das erste dx5 Glied übrig, bei f = konstant ist dagegen H = O. Im allgemeinen erhält man eine obere Schranke für I H I, wenn man die Maxima der Absolutwerte der sechs eingeklammerten Glieder summiert. Dazu muß man die Ableitungen vonfnachp, oder mindestens die oberen Schranken ihrer Absolutwerte kennen. Für die Ableitungen von p(x) läßt sich aus den Formeln '_ Llpl Jp2-LlpO ( .)~-3 (X-X1)2]. p ---+ x-x ------, h h2 1 2 h2 " "% I I Al'iGElV.4HERTE QUADRATUR 3;) unschwer bestimmen, daß I p' I < Llpl + 0,5 I LlhP2 - Llpo 112 I 3 I LlP2 - Llpo I pli < 2 h2 I p"'1 Da h5 in den Nennern der einzelnen Glieder vorkommt, erscheint h in der oberen Schranke von I H I nicht mehr. Wie man sieht, läßt sich mit der Verminderung der Differenz zweiten Grades ! LlP2 - Llpo! im Verhältnis zu Llpl auch die Fehlerschranke vermindern. Wird die Zahl k bei gegebenem Grundintervall Pn - Po hinreichend groß und das größte Teilintervall hinreichend klein, dann folgt aus der Be-schränktheit der Ableitungen von J, daß die Fehlerschranke beliebig klein werden kann. Sind in der Praxis die Ableitungen von J unbekannt oder verursacht ihre Berechnung zu große Schwierigkeiten, dann bewährt sich bei hinreichend großem k einere andere, weniger strenge Fehlerabsehätzung. Der Fehler der ursprünglichen Simpsonschen Regel läßt sich im Absolutwert mit der folgenden Formel annähern, wenn man die Ableitung durch den Differenzen-quotienten ersetzt: kh kh E = 90 . max I Ll4 Yi I = 90 max I Yi+4 + Yi - 4 (Yi+3 + Yi+1) + 6Yi+2 :' i = 0, 1,2, ... 2 k - 4. Aus dieser Formel wird in unserem allgemeinen Fall E = ~ . max 1 Ll4 (fiLlJ;) 1= 90 Die Anwendung der letztgenannten Formel erhellt aus folgendem einfachem Beispißl, wobei auch I exakt berechnet werden kann. Es sei J = ~, Po = 0,2; Pn = 2; I = J d; = In 10 = 2,30259 ... 0,2 ~- .. ~._~ ~-~._~. -~ .... ~. ~.,~-------------------36 ZS. CSO./IJA k 4 Pi LlPi fi fiLlp sifiLlpi 0,2 0,2 5,0 1,000 1,000 0,4 0,15 ? ,.. -,;) 0,375 1,500 0,5 0,1125 2,0 0,225 0,450 0,625 0,15 1,6 0,240 0,960 0,8 0,1875 1,25 0,234375 1),46875 1,- 0,225 1,0 0,225 ),900 1,25 0,3 0,8 0,240 0,480 1,6 0,375 0,625 0,234375 0,93750 9. 0,4· -, 0,5 0,200 0,200 6,89625 : 3 T = 2,37375 s= 2,29875 Der wirkliche Fehler ist H = 0,00374 (ca. 1,6°;00)' Mit der letzteren Fehlerabschätzung wird E = 0,009. .d4 (kJpi) +0,124375 +0,2025 max. +0,01125 --0,073125 +0,036875 Es ist zu bemerken, daß E im allgemeinen nicht Immer größer ist als H '. Jedenfalls läßt sich behaupten, daß auf Grund der vorausgesetzten Stetigkeit von f bei hinreichend großem k und hinreichend kleinem maximalen LlPi' . H mit E beliebig klein werden kann. Zusammenfassung Die bekannte Trapezformel gibt bereit;, eine Anniiherungsmethode für ein bestimmtes Integral im Falle ungleicher Teilintervalle. Eine genanere Annäherung ermöglicht die Verall-gemeinerung der Simpsonschen Regel für diesen Fall. Es werden z"'ci Fehlerah,chiitzungen angegeben, auch wird ein einfaches Beispiel gezeigt. Literatur 1. BJESIKOYlTSCH, J. S.: Közelito szamitasok. TankönyYkiad6, Bp. 1952. S. 222. 2. KOPAL. Z.: Numerical Analysis. Chapman and Hall. London. 1955. S. 345. 3. SCARBOROUGH, J. A.: Numerical ~Iathematical Analysis. Oxford Dniversity Press. LOlldon. 1955. S. 131. Zs. CSmIA, Budapest XI. Budafoki ut 8, Ungarn. r J I ~ , Sc 

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