Faragó, T.

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Periodica Polytechnica (Budapest University of Technology and Economics)

BEITRAG ZU DEN KOMPLEXEN NULLSTELLEN VON POLYNOMEN MIT REELLEN KOEFFIZIENTEN Von T. FARAGO Lehrstuhl für Mathematik. Technische Universität. Budapest. (Eingegangen am 4. Januar. 1965) Vorgelegt von Prof. Dr. S. BORBELY I! Es seI f(x) = xl! + 2: ak xl!-k, ak reell, (k = 1,2, ... n) al! k=l Weiters gelte: min I!-k) a~ + 2 (- 1)5 a,,-,:-s . CL"-s [Ad" = -----'----------r ~) worin CL a = 1, ferner ai = 0. wenn i > n, bzw. i < 0. Satz 0, n >2. CL) Ist für jedes k A" > 0, und gibt es ein Ai und Am, für die Ai < Am, 1 i < m < n ist, hat f(x) eine komplexe Nullstelle. (Ist k gerade, berück-sichtigen wir den positiven Wert der koten Wurzel.) b) Gibt es ein A~, für das A~ < 0* ist, dann besitzt f(x) eine komplexe Nullstelle: Xo = a b i, an der Beweis I! CL) Es sei F(z) = zl! + 2: bk zn-i<, wobei h reell (k = 1, 2, ... n) bn =1= 0, "=1 n > 2 ist. * Daß es bei A% < 0 eine komplexe Xullstelle gibt, ist schon bei Euler (Opera omnia VI. S. 217) zu finden. 120 T. FARAGO Sind Zl' Z2' ••• Zn Nullstellen von fez), ·wird - wegen bn ° - Zk =1= 0, k = 1, ... 1!. Auf Grund der bekannten Beziehung zwischen Nullstellen und Koeffizienten ist k b" = (-I)kl;' II zi" 1 s~l Sämtliche Nullstellen von fez) positiv angenommen: Zk > 0, ergibt sich auf Grund der bekannten Ungleichung für positive Zahlen * (1) Die Gleichheit gilt dann und auschließlich dann, wenn sämtliche Nullstellen gleich sind. xl' X~ ••• X n selen die Nullstellen von fex). Dann gilt f(x) = (x - XI) . (x xJ ... (x - xn ) und daraus (-Ir f(-x) = (x Xl) (x + x2) ••• (x + xn ). Multipliziert man die heiden obigen Polynome miteinander und setzt man an Stelle von x 2 (ähnlich dem Verfahren von Dandelin-Lobatschewski-Graeffe) Z ein, erhält man Imin (k; n-k) b" = (- 1)" ai; + 2 . J; (- 1)5 aHs . ,~I Die Nullstellen von F(z) sind offenbar xi, x;, ... xg. Nimmt n,an sämtliche Nullstellen von f(x) als reell an, ist also xZ > 0, (eine Nullstelle ° ist nicht yorhanden, denn an " 0) und substitutiert man die obige Formel für b" in die Ungleichung (1), erhält man unter Benützung der einleitend gebrauchten Bezeichnung I [At::iY-· I > 0, k = 1, :;, ... 11 - 1. Für i < m ist Ai < Am, folglich kann offenbar nicht jede Nullstelle reell sein. Sind nicht sämtliche Nullstellen von f(z) einander gleich, genügt für i < In auch Ai Am als Bedingung für das Vorhandensein einer komplexen Nullstelle. b) Für den Fall A" 0 ist (1) nicht erfüllt,J(x) muß also eine komplexe Nullstelle aufweisen, weil fex) reelle Koeffizienten hesitzt, und :30il it auch die Konjugierte der kOli plexen Nullstelle eine Nullstelle von f(x) ü,t. * z. B. Hardy-Littlewoocl-Polya: Inequalitic5 19~:: s. 5~. ZU KOMPLEXEN j,ULLSTELLEN VON POLY!I{OMEZ"- 121 Die Bedingung b) ist nur bei k = 1, 2 ... n-I erfüllt, denn A~ = a~ > O. ( ~ ) A~ ist offenbar die Summe der Produkte der aus den Quadraten der Null-stellen von fex) gebildeten Kombinationen k-ter Klasse im Sinne von XI x~ . .. x~ + ... + X~-k+l • X~-k+2 ••• x~. Man-unterteile die obigen Kombinationsprodukte in z·wei Klassen: in die erste Klasse mögen all jene Produkte mit den Faktoren 1,2, ... n-I ein-gereiht werden, in denen sämtliche Nullstellen reell sind, bzw. in denen sich eine komplexe Nullstelle findet, deren Konjugierte auf der gleichen Potenz figuriert wie die ursprüngliche komplexe Nullstelle. Offenhar sind diese Produkte ausnahmslos positiv. Alle ührigen Produkte mögen in die zweite Klasse gehören. Da fex) eine komplexe Nullstelle hesitzt, fallen in die zweite Klasse auch Produkte. Wählt man von den in die Klasse H eingereihten Produkten mit dem Faktor k eines, in welchem sich eine komplexe Nullstelle mit den für die H. Klasse charakteristischen Eigenschaften befindet, z. B. X m = am + bmi, dann läßt sich das gewählte Produkt in der Form schreihen, ·worm das Produkt qk_l(X) der Faktor k-I enthält; auch wenn dieses Produkt das Konjugierte von X m t'nthält, so doch nur auf der nicht mit seinem konjugierten Paar übereinstimmenden Potenz. Bei k = 1 wird qk-l(X) = qo(x) = 1. Da auch das Konjugierte von X m eine l\"ullstelle von fex) liefert, gibt es unter den in die Klasse H eingereihten Produkten auch das folgende: x~ qk_l(X) . Summiert, ergehen die heiden Produkte: x~ qk_l(x) + ;;~ qk-l(X) = 2(a~J- b~) qk-l(x) . qk-l(X) gehört entweder in die Klasse I oder in die Klasse H. Gehört es in die Klasse H, so ist darin eine Zahl X r = ar + bri enthalten, die ähnliche Eigenschaften aufweist wie Xm • Für diese Zahl gilt qk-l(x) x;qk_2(X), Offen-bar gibt es ein den Faktor k-I enthaltendes Produkt, das in der Form geschrieben werden kann. 2 Pcriodiell Polytechnica EI. rxp .. 122 T. FARAGO Man summiere die folgenden vier, den Faktor k enthalt~nden Produkte: bin) (a; - b~) Q"-2 (x). Das vorstehende Verfahren ist solange fortzusetzen, bis das beim ,:,-ten Schritt sich ergebende q/i-s(x) bereits in die Klasse I gehört bzw. hei k-s gerade 1 (eins) ergibt. Verhleibt hiernach in (;) At noch ein von der obigen Umwandlung nicht berührtes, in die Klasse II gereihtes Produkt, ist das obige Verfahren an den Produkten so oft zu "wiederholen, his jedes ursprünglich in die Klasse II eingereihte, den Faktor k enthaltende Produkt umgewandelt ist. Die in die Klasse I eingereihten Produkte sind also sämtlich positiv, die in die Klasse II eingereihten hingegen nach Umwandlung und Summierung sämtlich Summen von Produkten, in denen die einzelnen Faktoren die Quadratsummen zusammengehöriger konjugierter komplexer Zahlen darstellen, abgesehen von einer ausgesprochen positiven Zahl. At 0 ist also für jedes in Frage kom-mende k dann und nur dann möglich, wenn wenigstens für die eine Null-stelle X o Dies gilt offenhar auch für das Konjugierte yon X o' Beispiel. o 1 2 I(x) = x· - 8x:l - 3x~ + 20x 25 . -8 (-8)" -2 . 1 . -3 -3 (-3)2 -2· -8 . 20 72.1. -2S 3 20 (20)2 -2 . -3 . -25 ---1---1 4 -25 (-25)" 17.5 Wie sich zeigt, ist A 3 < A4 , sodaß f(x) eine komplexe Nullstelle aufweist. (Mit der Bezeichnung ~ = z, ergiht sich f(x) = an xn g(z). Beim zweiten x Schritt zeigt sich bereits, daß g(z) eine komplexe Nullstelle hat.) ZU KOMPLEXE,"\- ,"\-ULLSTELLEN VON POLYN01HEi, 12J Anmerkungen TI Für das Polynom f(x) '" ak xl:, ak reell, an a o "" 0, n:2:; 2, kanu unter Berücksichti-k-;;;'O gung der Ausführung unter a) ein weniger scharfes, aber handlicheres Kriterinm gewonnen werden. f(x) besitzt eine komplexe Nullstelle, wenn bzw. (unter Berücksichtigung der reziproken Gleichung) wenn Dies stellt für den Fall n = 2 notwendige und genügende Bedingungen dar. Ist n> 2, ent-hält a) nur hinreichende Bedingungen, denn beim Polynom g(x) = (x 3) (x2 - 2 x + 1,1) z. B. ist die Bedingung gemäß a) nicht erfüllt, obwohl es eine komplexe Nullstelle aufweist. Dr. Tihor FARAGO, Budape:,t XL Sztoczck u. 2-4,. Ungarn. 2* 

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