Reuss, E.

Thamm, F.

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Periodica Polytechnica (Budapest University of Technology and Economics)

DER MEMBRANSPANNUNGSZUSTAND IN EINER KUGELSCHALE IN DER UMGEBUNG EINES KONZEN. TRIERTEN MOMENTES Von E. REUSS und F. THAMM Lehrstuhl für Technische Mechanik der Technischen Universität, Budapest (Eingegangen am 22. Dezember, 1959) In den letzten Jahren hahen Kugelhehälter für die Speicherung von Gasen und Flüssigkeiten zunehmende Verhreitung gefunden. Die Fragen der Bemessung dieser Behälter sind hereits mehr oder weniger geklärt, nur hin-I I I $ Abb. 1. Auflagerung einer Kugel-schale; neben den Auflagerkräften entstehen auch noch Auflager-momente p Abb. 2. Spannungskomponenten in einer Kugelschale, die unter dem Einfluß einer im geographischen Pol der Kugel angreifenden konzentrierten Druckkraft entstehen sichtlich des Spannungszustandes in der Umgehung der Auflagepunkte herrscht eine gewisse Unsicherheit. Wenn die Stützen des Behähers gemäß Ahh. 1-ausgeführt sind, wird auf die Kugelschale an den Stellen der Sützenanschlüsse außer der Kraft P noch das Moment 2\11 = Pk ühertragen. Ziel diescr Ahhandlung ist die Klärung des Spannungszustandes, der sich um den Angriffspunkt des Momentes M herum aushildet, u. zw. unter der Vora";'ssetzung, daß die Biegemomente in der Kugelschalc vernachlässighar sind (d. h. daß nur der Memhranspannungszustand in Betracht gezogen '"ird). Zur Ermittlung des Spannungszustandes wird folgender Weg eingeschla-gen: Die Spannungszustände unter de~.,~it,:flJlß zweier gleich großer, aher 1 Perioruca Polytechnica M IV/3. l I 218 E. REUSS und F. THA.,nf entgegengesetzt gerichteter, auf die Schalenfläche normaler Kräfte werden einander überlagert. Die Kräfte ·werden nun einander genähert, ihre Größe jedoch gleichzeitig so verändert, daß das durch sie gebildete Moment konstant bleibt. Der Grenzübergang für den Fall, daß die Kräfte unendlich nahe anein-ander gerückt werden, ergibt den gesuchten Spannungszustand. Geographischer Pol Abb. 3. Konzentrierte Druckkraft außerhalb des Pols Abb. 4. Konzentrierte Zugkraft außerhalb des Pols Die Ü{} Meridian- und ü<p Ringspannungen, die unter dem Einfluß einer im geographischen Pol einer Kugelschale angreifenden Druckkraft P ent-stehen, betragen mit den Bezeichnungen der Abb. 2 P Üt~= -----2Jrrv 1 p 2Jrrv 1 (1) DER _UEJIBRANSPANNUNGSZUSTAND IN EINER KUGELSCHALE 219 wo v die Wanddicke der Kugelschale bezeichnet. Da Gr;; und G{} Hauptspannun. gen sind, ist T{}q; = O. Befindet sich der Angriffspunkt der Kraft P nicht im geographischen Pol, sondern um die Strecke So = Tao in radialer Richtung vom Pol entfernt, dann schreiben sich die Meridional· und Ringspannungen so"\vie die Schub· spannungen im ursprünglichen Koordinatensystem mit den Bezeichnungen der Abb. 3 zu Gi)' - Gtp P cos 2ßI --~ cos 2ßI = - -- . -----'=-2 2nrv sin2 (ji I G" + Gq; Gi)' - Gtp P cos 2ßI G . = -._-- - .-----'- cos 2ßI = + -- . -----'~ q; 2 2 2nrv sin 2{}1 (2) Gi! - Gq; • ß ' P sin 2ß1 SIn 2 1 = , -- . -----"'-2 2nrv sin 2{} I Wenn nun am selben Meridian, auf dem die Kraft P angreift, jedoch auf der anderen Seite des Pols, um den gleichen Betrag So = TO_ O versetzt, eine Zugkraft P angreift, dann betragen die Spannungskomponenten unter dem Einfluß der letzteren mit den Bezeichnungen der Abb. 4 ähnlich den vorigen " 1 P cos 2ß2 U{}= ,--' 2nrv sin2 {}2 I! P cos 2ß2 Uq;=--- . 2nrv sin2 {)2 ~. __ sin2ßz 2nrv sin 2 () 2 (3) Addiert man die zusammengehörigen Spannungskomponenten in (2) und (3) P und führt man die Bezeichnung q --- ein, dann hat man 2:rrv 1* " ! cos Go = q l- _._,-ry -()-SIn~ . I cos 2ß2 J. = sin2 {}2 sin2 {)I cos 2ß2 - sin2 {)z cos 2ßI =q '9_0. '?{} SJn~ VI Sln~ 2 COS 2ß2 ] = _ G, sin2 {}2 " sin 2ß2 J = sin2 {} 2 _ (4) 220 E. REUSS und F. THAMIIJ Es erscheint zweckmäßig, statt der Veränderlichen 1J1; 1J 2;ßl;ß 2 als unabhängige Veränderliche die Größen 1J und cp einzuführen. Die nötigen Zusammenhänge ergeben sich aus der sphärischen Trigonometrie. Abb. 5 zeigt die Kugeldreiecke OMA und MOB aus den Abb. 3 und 4 auf der Einheitskugel dargestellt, und der Einfachheit halber eben gestre~kt. A Abb. 5. Zur Ermittlung der resultierenden Spannungen Mit den Bezeichnungen der Abb. 5 gilt auf Grund des Kosinussatzes der sphärischen Trigonometrie cos 1J 1 = cos {} cos ao + sin 1J sin ao cos cp cos {)2 = cos {} cos ao - sin {} sin ao cos cp, woraus sich weiter cos2 if1 = cos2 if cos2 ao + 2 cos {} sin {} cos ao sin a o cos cp + + sin 2 {} sin2 ao cos2 cp sin2 if1 = 1 - cos2 {)1 = 1 - cos2 {} cos2 ao -- 2 cos if sin if cos ao sin ao cos cp - sin2 if sin2 ao cos2 cp cos2 {)2 = co S2{} cos2 ao - 2 cos {} sin{} cos ao sin ao cos cp + + sin2 {) sin2 ao cos2 cp sin2 if2 = 1 - cos2 {}2 = 1 - cos2 {} cos2 ao + + 2 cos {} sin {} cos ao sin ao cos cp - sin2 if sin2 ao cos2 cp ergibt. (5) (6) Für ßl und ß2 werden die Formeln Nr. 5/2 aus Hütte, Ausgabe 28, Bd. 1. Seite 74 benützt. Mit den Bezeichnungen der Abb. 5 'vird - ctg ßl sin cp = sin 1J cotg 0. 0 - cos 1J cos cp (7) - cotg ß 2 sin cp = sin {} cotg 0. 0 + cos 1J cos cp DER l,fEMBRASSPANNUNGSZUSTAND IN EINER KUGELSCHALE 22ll Da außerdem auf Grund des Zusammenhanges zwischen den trigonometrischen Funktionen wird COS2ßl = 2 cotg ß sin 2ß = ---"'-'---cotg2 ß + 1 cotg2 ß - 1 cos 2ß = cotg2 ß + 1 1 sin 2 {J cotg2 a cotg2 ep cos2 {}-2 cotg ep cos {} sin f} cotg ao -. --+. - 1 smep sm2 ep .~---. 1 sin2 f} cotg2 a cotg2 ep cos2 {)-2 cotg ep cos f) sm f} cotg ao . + 1 smep sin2 ep cos2 ep cos2 f) - 2 cos ep cosf) sin () cotg ao + sin2 f} cotg2 ao - sin2 ep ) cos2 ep cos2 {} - 2 cos ep cos f} sin f} cotg ao + sin2 f} cotg2 ao + sin2 ep I und dementsprechend [ 2 [sin ep cos rp cos f} - sin{) sin ep cotg ao] sin 2ß1 cos2 rp cos2 {} - 2 cos rp cOs f} sin f} cotg ao + sin2 {) cotg2 ao + sin2 ep (8) 2ß cos2 rp cos2 f} + 2 cos rp cos{J sin{) cotg a o+sin2{) co, g2 a o - sin2 rp cos =----~----~.----~~----------~~~--------'~~----~~ 2 cos2 ep cos2f)+2 cos rp cos {J sin {} cotg a o+ sin2 {) cotg2 ao + sin2 rp . 2ß _ - 2 [sin rp cos ep cos{) sin{) sin rp cotg ao] sIn 2- J cos2 rp cos2 {) + 2 cos rp cos{) sin f} cotg ao+sin2 {} cotg2 ao + sin2 rp Die Gleichungen (6) und (8) müssen in die Gleichungen (4) eingcsetzt werden, auch ist der Grenzübergang a o -+ 0 durchzuführen, wobei llf = 2ra oP konstant bleibt. Letztere Bedingung ergibt P M q=--= 2nrv 4nr2 vao Während des Grenzüberganges geht sin2 f\ und sin2 f}2 nach sin2 f). Wird die erste und dritte der Gleichungen (8) mit tg2a o erweitert, so erhält man folgende Ausdrücke sin2 {) - 2 cos rp cos{) sm f} t~ ao + cos2 ep cos2 {) tg2 ao - sin2 rp tg2 ao cos2ßl=------~--·------· ~~-~~--~~----~~~ sin2 () - 2 cos ep cos .{} sin f} tg ao + cos2 ep cos2f) tg2 ao + sin2 rp tg2 ao sin2 f} + 2 cos ep cos f} sin f} tg ao + cos2 ep cos2 f} tg2 ao - sin2 ep tg2 ao COS2ß2=---~~--~--------~~~----~---~~~----~~~ sin2 f) + 2 cos rp cos f) sin f) tg ao + cos2 ep cos2{) tg2 ao + sin2 rp tg2 ao I I 222 E. REUSS und F. THAJIM Wenn U o ~ 0, dann nähern sich, da tguo '"'-'u o ~ 0, beide Ausdrücke dem Werte 1. Für kleine Werte von U o läßt sich schreiben und ähnlich cos 2ßl = 1 - ... cos 2ßz = 1 - .. , sin2 fJ1 = sin2 f} - 2 U o cos f} sin f} cos cp sin2 f} 2. = sin2 f} + 2 U o cos f} sin f} cos cp ..L I ••• ..L i ••• Die weiteren Glieder können entfallen, da sie bei dem Grenzübergang U o -,. 0 klein von der 2. Ordnung sind. Mit diesen Vereinfachungen ergibt sich aus der 1. Gleichung von (4) • 0 sln- 4 cos {j sin {j co::: a ii = q ----"'--- -_'--..::'------":..-----'--=- -+- - q ---'-------------:::in2 {}l sin 2 f}2 sin4 {) Da außerdem lvI q = -------- , 4:rr2 vao wird damit (j t" === Die 2. Gleichung von (4) ergibt Ucp == - Ut == + _M :rr2 L' cos {j sin3 {} cos (P cos {) ----- COST • sin3 {j (9) (10) (11) Da sich für kleine Werte von u o' cotg U o dem 00 nähert, überwiegt im Nenner von sin 2ßl' und sin 2ßz (8) das Glied sin2 fJ cotg2 U O' Im Hinblick hierauf kann der Grenzübergang der 3. Gleichung der Formelgruppe (4) wie folgt ge:::chrie-ben werden • 0 :::ln-T", = q ----"'----'--"------.-----'-''-_+_ sin2 f\ sin2 {) z -+- --=-- sinz {j --'----"---- I SI n - --'-----l 2 (- a o sin {j sinq.1) I • 0 {) (-2) a o_ sin sin.! {j sin2 {j sin2 {) -4 sin3 {) (l2) DER MEJIBRA.VSPASSUNGSZUSTASD LV EI1YER KUGELSCHALE <oder mit dem Wert von q -Msinrp :rr r 2 v sin3 {} 223 (13) Die auf Grund der Gleichungen (10), (11) und (13) sich ergebenden Spannungs-komponenten klingen mit wachsender Entfernung vom Angriffspunkt des Momentes, also mit wachsendemf} rasch ab. Große \Verte erhält man nur in der Nähe des Angriffspunktes. Da hier {} klein ist, kann in guter Annäherung geschrieben 'werden, daß sin {} r-J {}; cos{} r-J 1. Wenn außerdem noch die Ent-fernung 8 = rfJ der untersuchten Stelle vom Angriffspunkt des Momentes als neue unabhängige Veränderliche eingeführt 'wird, erhält man in guter Annähe-rung folgende Ausdrücke 1vI· r 1 Urp=-U,,=- cos rp :rr 8 3 v (14) lYI· r sin rp J Tt~tp == :rr S3 v Aus den Gleichungen (14) ergeben sich die Hauptspannungen des Spannungs-zustandes zu llI· r Der :Neigungswinkel 0 der Hauptspannungsrichtungen errechnet sich aus 2,'1''' tg 26 = --'--- = tg Cf • :Mit Hilfe dieser Gleichung wurden die Hauptspannungstrajektorien in der Nähe des :Momentenangriffspunktes (für die Hälftc des Feldes) aufgezeichnet (Abb. 6). \Venn man auf die größere Genauigkeit verzichtet, die die Gleichungen (10), (11) und (13) bieten, dann lassen sich die Gleichungen (14) auch mit weniger Rechenarbeit ableiten. Werden in die Gleichungen (1) die Polarkoordinaten Q, rp eingeführt, so erhält man für die Umgebung des Kraftangriffspunktes annähernd (Abb. 7) Q = r sinf} . Die Spannungskomponenten im Punkt A, die von der Kraft PI herrühren, M ergeben sich mit der Bezeichnung PI = -Pz =- = P gemäß Abb. 8 L1x 224 die Beziehungen Hauplspannungs-trajektorien E. REUSS und F. THAMJI.f -MT 1 ) (Je = 2nvLlx Q2 MT 1 (J = <P 2:n;L!x e2 Te<p= 0 Abb. 6. Die Hauptspannungstrajekto-rien des Spannungszustandes Abb. 7. Spannungskomponeuten unter der Eimvirkung einer konzentrierten Druekkraft P Abb. 8. Der gleichzeitige Einfluß der Kräfte P l und P z Man kann leicht naehw-eisen, daß die Spannungsfunktion MT F(Q;g;) =----lnQ 2nvLlx DER MEMBRANSPANNUNGSZUSTAND IN ELVER KUGELSCHALE 225 mit Berücksichtigung der Gleichungen 1 8F 1 82 F ao=---+---- e 8e e2 8rp2 8 2 F a =--'F 8e2 (16) Terp == auf (15) zurückgeführt werden kann. (Siehe z. B. S. Timoshenko: Theory of Elasticity, 2. Ausgabe, S. 56.) Die Spannungen, die von der Kraft P 2 herrühren, lassen sich aus der Spannungsfunktion - F (x + Llx) berechnen, 'während die Spannungsfunktion des resultierenden Spannungszustandes zu F 1 = F(x) - F(x + Llx) = - 8F Llx+ ... 8x geschrieben werden kann. N ach Streichung der Glieder höherer Ordnung wird dF 80 dF F1 = -- --. -':.- .Llx= ---Llxcosrp de 8x de F - -L 1\1[r 1- I • 2nv e Setzt man in die Gleichungen (16) F 1 an Stelle von F, dann erhält man Mr cos rp ao =----- 7W e3 I Mr cos rp a . = T --- . ----r nv ri Diese Gl~ichungen stimmen abgesehen von den Bezeichnungen genau mit den Gleichungen (14) überein. 226 E. REUSS und F. THAjH,lr Zusammenfassung An den Auflagepunkten von Kugelbehältern tritt, wenn die Auflagerkraft nicht tan-gential in die Kugelschale eingeleitet "ird, außer einer Kraft noch ein Moment auf. Der als Folge dieses Moments sich ausbildende Spannungszustand kann ermittelt werden, wenn die Spannungszustände, die unter dem Einfluß zweier gleich großer, aber entgegengesetzt gerich-teter Normalkräfte entstehen, überlagert, und die beiden Kräfte einander genähert werden, wobei ihre Größe so verändert wird, daß das durch sie gebildete Moment konstant bleibt. Etwas weniger genaue Gleichungen lassen sich mit viel weniger Rechenarbeit auf Grund der Airyschen Spannung.funktion ableiten. Prof. E. REUSS F. TH.BBI BndapesL XI., Miiegyetem rakpart 3, Ungarn 

DER MEMBRANSPANNUNGSZUSTAND IN EINER KUGELSCHALE IN DER UMGEBUNG EINES KONZENTRIERTEN MOMENTES

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