Nous étudions la convection-diffusion tri-dimensionelle entre tubes parallèles par une formulation théorique bi-dimensionnelle précédement proposée. L’implémentation de cette formulation bi-dimensionnelle par éléments finis permet de calculer une vaste classe de configurations physique, hydrodynamiques et géométriques. Nous nous attachons à l’étude du champ de température et de l’évolution des flux en fonction du nombre de Péclet Pe, l’écart entre les deux tubes d, le rayon des tubes r et les vitesses des écoulements au sein des tubes

Bouyssier, Julien

De Gournay, Frédéric

Fehrenbach, Jérôme

Pierre, Charles

Plouraboué, Franck

French

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Any correspondence concerning this service should be sent to the repository administrator: staff-oatao@inp-toulouse.fr                  Official URL: http://www.afm.asso.fr/Congr%C3%A8sFran%C3%A7aisdeM%C3%A9canique/CFM2011/tabid/356/Default.aspx     This is an author-deposited version published in: http://oatao.univ-toulouse.fr/  Eprints ID: 10538 To cite this version:  Bouyssier, Julien and Fehrenbach, Jérôme and De Gournay, Frédéric and Pierre, Charles and Plouraboué, Franck Analyse de la convection-diffusion entre deux tubes parallèles plongés dans un domaine cylindrique. (2001) In: 20ème Congrès Français de Mécanique (CFM 2011), 29 August 2011 - 02 September 2011 (Besançon, France). Open Archive Toulouse Archive Ouverte (OATAO)  OATAO is an open access repository that collects the work of Toulouse researchers and makes it freely available over the web where possible.   20e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011Analyse de la convection-diffusion entre deuxtubes paralle`les plonge´s dans un domainecylindriqueJulien Bouyssiera,b, Je´roˆme Fehrenbachd, Fre´de´ric de Gournayd, CharlesPierrec, Franck Plouraboue´a,ba. Universite´ de Toulouse; INPT; UPS; IMFT (Institut de Me´canique des Fluides deToulouse); Alle´e Camille Soula, F-31400 Toulouse, Franceb. CNRS; IMFT; F-31400 Toulouse, Francec. Universite´ de Pau et des Pays de l’Adour; UPPA; LMAP (Laboratoires deMathe´matiques et de leurs Applications); Batiment IPRA av. de l’Universite´, F-64013Pau, Franced. Institut de Mathe´matiques de Toulouse, CNRS and Universite´ Paul Sabatier,Toulouse, FranceRe´sume´ :Nous e´tudions la convection-diffusion tri-dimensionelle entre tubes paralle`les par une for-mulation the´orique bi-dimensionnelle pre´ce´dement propose´e. L’imple´mentation de cetteformulation bi-dimensionnelle par e´le´ments finis permet de calculer une vaste classe deconfigurations physique, hydrodynamiques et ge´ome´triques. Nous nous attachons a` l’e´tudedu champ de tempe´rature et de l’e´volution des flux en fonction du nombre de Pe´clet Pe,l’e´cart entre les deux tubes d, le rayon des tubes r et les vitesses des e´coulements au seindes tubes.Abstract :We study three-dimensional convection-diffusion between parallel tubes using a previouslyproposed two-dimensional theoretical formulation. Finite element method implementationallows the computation of a wide range of physical, hydrodynamic and geometric configu-rations. We focus the study on both temperature and flux evolution between two convectivetubes the radius of which is r, distant by d, when varying their inside velocity field throughthe Peclet number Pe.Mots clefs : convection-diffusion ; proble`me de Graetz ; me´thodes aux e´le´mentsfinis1 IntroductionLes proble`mes de convection-diffusion entre tubes paralle`les sont pertinents pour diffe´rentsproble`mes de transfert de chaleur ou de masse tels que les e´changeurs a` tubes, des micro-e´changeurs convectifs, les planchers chauffant, ou les e´changes de matie`res entre les vais-seaux sanguins et les tissus. Graetz [2] a e´tudie´ le champ de tempe´rature au sein d’un tubedans lequel un e´coulement de Poiseuille est e´tabli en ne´gligeant la diffusion axiale. Dansce cas on cherche la solution T sous la forme de variable se´pare´es du proble`me permettantla de´finition de valeurs et vecteurs propres λ et Tλ. On se rame`ne ainsi a` un proble`me120e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011aux valeurs propres. De plus des proprie´te´s mathe´matiques de ce proble`me (notammentsyme´trique ne´gatif) permettent de justifier une solution de la forme :T (x, y, z) =∑λ∈ΛcλTλ(x, y)eλz ou Λ ⊂ R− (1)Le proble`me de Graetz connait plusieurs de´clinaisons. Il s’en distingue deux : le proble`mede Graetz e´tendu, dans lequel le terme de diffusion axiale n’est plus omnis, et le proble`meconjugue´ de Graetz dans lequel on rajoute une partie solide (par exemple autour du tube)ou` de la diffusion a lieu. Cependant le principe de re´solution n’est plus aussi e´vident.Ainsi dans le cas conjugue´ la notion de proble`me aux valeurs propres n’est plus pertinentesur le domaine complet, c’est a` dire fluide et solide. Concernant le cas e´tendu, la diffusionaxiale permet l’apport d’informations dans le sens inverse de l’e´coulement, il apparait doncdans ce cas des valeurs propres positives si bien que la proprie´te´ de syme´trie ne´gative duproble`me du Graetz n’est plus respecte´e. La de´composition de la solution sous la formede (1) n’est plus possible. Ce sont les travaux de Papoutsakis et Ramakrishna [6, 7, 8] quiont permi de surmonter ces difficulte´s dans le cas du proble`me e´tendu. Ils ont reformule´ce dernier en ajoutant a` la tempe´rature une seconde inconnue : le flux de tempe´rature,de´composant ainsi l’e´quation d’advection-diffusion en deux e´quations diffe´rentielles dupremier ordre. Ainsi ils se ramene`rent a` un proble`me aux valeurs propres syme´triques etpouvaient de´terminer les coefficients cλ. Des travaux [9, 10] ont permis de poser le cadred’une formulation mathe´matique comple`te du proble`me de Graetz et de ces de´clinaisonsafin de de´composer la solution sous la forme (1). Cette formulation a re´cemment e´te´e´tendue aux cas de domaines finis [11]. Dans un premier temps nous de´crivons la for-mulation mathe´matique du proble`me de Graetz ge´ne´ralise´. Nous allons ensuite e´tablir laformulation variationnelle. Nous me´nerons une e´tude parame´trique sur les flux base´e surle nombre de Pe´clet de notre proble`me, les champs de vitesse, le rayon des tubes et ladistances entre ces derniers.2 Formulation the´oriqueLe domaine de section Ω est compose´ de trois parties : une premie`re partie solide de sectionΩ1 dans laquelle sont confine´s deux tubes infinis de sections Ω2 et Ω3 d’axe ez. Les sectionsde ces trois parties sont comprises dans le plan (x, y). Au sein des tubes un e´coulementlaminaire de la forme v = v(x, y)~ez est e´tabli. Dans chaque tube, nous conside´rons ici unprofil parabolique de Poiseuille. Il ve´rifie v|Ωi = vi avec v1 = 0 et v2,3 > 0 ou < 0.Ωrdxy.ZΩ Ω2 31Ω+8z−8Fig. 1 – Configuration ge´ome´trique du proble`me : a` gauche une coupe du domaine, a`droite le domaine complet.On de´finit sur la section Ω l’e´quation de concervation des flux adimensionne´s :∇ · (k∇T ) + k∂2T∂z2= Pe v∂T∂z(2)220e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011k est la conductivite´ telle que k = k(x, y) et k|Ωi = ki et Pe est le nombre de Pe´clet de notreproble`me. A cela on doit rajouter des conditions de couplage aux interfaces fluide-solide :Ti = Tj et ki∇Ti · ni,j = kj∇Tj · ni,j , sur Γi,javec Γi,j qui est l’interface entre Ωi et Ωj et ni,j la normale a` Γi,j. On de´finit e´galementdes conditions aux limites de type Dirichlet sur la frontie`re du domaine ∂Ω avec un sauten z = 0 :{T|∂Ω = 0 z > 0T|∂Ω = 1 z < 0et{T (·, z)→ 0 z → +∞T (·, z)→ 1 z → −∞On reformule ensuite cette e´quation en un syste`me de deux e´quations a` deux inconnuesen introduisant le vecteur p tel que :∂zT = Pe v k−1T − k−1∇ · (p) (3)∂zp = k∇T (4)Le syste`me est ensuite e´crit sous la forme matricielle suivante :ddzΦ(z) = AΦ(z) avec Φ(z) =∣∣∣∣ T (z)p(z)ou`A =(Pe v k−1 −k−1∇·k∇ 0)La solution de notre proble`me Φ(z) ∈ H ou H = L2(Ω) × (L2(Ω))2 et (L2(Ω))2 l’espacedes fonctions vectorielles de carre´ inte´grable sur Ω. H est un espace de Hilbert auquel onassocie le produit scalaire :(Φ1,Φ2)H =∫ΩT1T2k dx+∫Ωp1 · p2k−1dxD’apre`s [9, 10] on peut de´terminer les valeurs propres λn de A ainsi que les vecteurs propresassocie´s ψn ≡ (Tn,pn), avec pn = k∇Tn/λn, qui forment une base de (ker A)⊥ = Ran A.De plus on peut de´composer cette base en (ψ+i )i∈N∗ et (ψ−i )i∈N∗ de sorte que :−∞← ... ≤ λ+i ≤ ... ≤ λ+1 < 0 < λ−1 ≤ ... ≤ λ−j ≤ ...→ +∞ (5)On nommera amont les modes pour z < 0 et aval les modes pour z > 0.Dans notre cas on s’inte´resse plus particulie`rement a` T. Par de´finition la n-ie`me fonctionpropre ψn ve´rifie Aψn = λnψn. Si on pose T (x, y, z) = eλnzTn(x, y) alors T est une solutionde l’e´quation de l’e´nergie. On a alors :T =1 +∑nα−n eλ−nzT−n z ≤ 0−∑nα+n eλ+nzT+n z ≥ 0ou` on de´finit les coefficients αn par : αn =1λ2n∫∂Ωk∇Tn · nds.320e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 20113 Formulation variationnelle et re´sultats3.1 Formulation variationnelleSoit Φ =∣∣∣∣ Tp solution de (3-4). D’apre`s [10] on peut de´finir s tel que : Φ =∣∣∣∣ T∇s .Soient Φ1,Φ2∈(ker A)⊥. La formulation variationnelle de (3-4) s’e´crit :∫Ω(Pe v T1 T2 +∇s1 · ∇T2 +∇s2 · ∇T1)dΩ = λ∫Ω(kT1T2 + k−1∇s1 · ∇s2)dΩ (6)Nous avons imple´mente´ cette formulation variationnelle en utilisant des e´le´ments finis P1sous FreeFem++ [12]. Notre but est de de´terminer le champ de tempe´rature T dans unesection de notre domaine et d’acce´der ensuite au flux de tempe´rature. Nous calculonsles valeurs propres et les vecteurs propres λn/Tn de l’ope´rateur A e´crit sous la formevariationnelle (6) en utilisant la me´thode d’Arnoldi des librairies Lapack [13]. Ces basesnous permettent de reconstruire la solution comme une somme infinie de modes proprestronque´s a` un ordre arbitraire N .3.2 Re´sultats nume´riquesFig. 2 – Isovaleurs du champ de tempe´rature pour Pe=20 dans une section du domainepour z > 0 pour une configuration de vitesse co-courant a` gauche et contre-courant a`droite, pour deux tubes de rayons e´gaux a` un quart du rayon du domaine et distant de0.6 fois le rayon du domaine ext´erieur.La figure 2 indique une coupe transverse de la configuration e´tudie´e, pour laquelle deuxtubes cylindriques dans lesquels un profil de Poiseuille est e´tabli convectent un champde tempe´rature. On voit que la configuration contre-courant ge´ne`re une dissyme´trie duchamp de tempe´rature compare´e a` celle du cas co-courant syme´trique. Les isovaleurs onttendances a` se concentrer vers le tube de gauche, ou` donc les gradients de tempe´rature et letransfert thermique est beaucoup plus important que sur le tube de droite. Cette constationimplique que les gradients de tempe´rature sont beaucoup plus importants sur le tube degauche. Par symme´trie de cette configuration les modes amont du tube de droite sont lesmodes aval de celui de gauche et re´ciproquement. Or nous constatons nume´riquement quela contribution des modes avals est tre´s dominante devant celle les modes amont sur le420e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011-0.058-0.0575-0.057-0.0565-0.056-0.0555-0.055-0.0545-0.054-0.0535-0.053 0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9Flux solution adimensionne par le Peclet tube de droite sur R+Distance entre les deux tubesPe=300Pe=500Pe=700Pe=900Pe=1000Fig. 3 – Flux adimensionne´ par le nombre de Pe´clet sur le tube de droite pour z > 0 enfonction de l’e´cartement entre les deux tubes pour un domaine pe´riodique.-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.1  0.2  0.3  0.4  0.5  0.6  0.7  0.8  0.9Difference relative entre flux solution et flux 1 mode sur R+Rayon interne du tubeDifference relative entre flux solution et flux 1 mode sur R+ en fonction du rayon pour differents pecletPe=100Pe=300Pe=500Pe=700Pe=900Pe=1000Fig. 4 – Diffe´rence relative entre le flux calcule´ a` partir du mode dominant et le flux calcule´avec tous les modes pour z > 0 en fonction du rayon du tube pour diffe´rents nombre dePe´clet.520e`me Congre`s Franc¸ais de Me´canique Besanc¸on, 29 aouˆt au 2 septembre 2011flux. Plus Pe augmente, plus le spectre des valeurs propres se de´place vers R+, diminuantla contribution de la partie amont. C’est pourquoi le transfert est ici dominant dans letube de gauche, et c’est donc celle qui nous inte´ressera dans la suite.Les figures 3 et 4 portent sur l’e´tude du flux total de chaleur. On observe au regard dela superposition des courbes de la figure 2 que le transfert total est proportionnel aunombre de Pe´clet. De plus dans cette configuration contre-courant on voit que le transfertaugmente le´ge`rement lorsqu’on e´loigne les tubes. Outre les variations des e´changes avecles parame`tres hydrodynamique ou ge´ome´triques, on a cherche´ a` e´valuer comment la seulecontribution du premier mode approximme le flux total. On observe que meˆme pour desPe´clet modestes (ici 30), et a` fortiori pour des Pe´clet plus grand, ce seul mode permet uneexcellente approximation du flux total. Ce constat est encourageant pour de´velopper desstrate´gies d’approximations base´s sur ce seul mode.4 ConclusionsNous avons analyse´ le proble`me de Graetz ge´ne´ralise´ en s’appuyant sur la formulationpropose´e en [10]. Nous avons conduit une e´tude parame´trique du champ et du flux detempe´rature. Cette e´tude montre que transfert convectif est proportionnel au nombre dePe´clet, et qu’il de´pends plus modestement de la configuration ge´ome´trique. Il apparait quele flux calcule´ a` partir du mode dominant, dans la partie amont ou aval du spectre donneune excellente approximation du flux total sur une large gamme de parame`tres. Enfin nousmontrons que les transferts dans la zone amont sont tre`s petit compare´s a` ceux de la zoneaval. Cet e´cart augmente lorsque le nombre de Pe´clet croˆıt, ce qui de´place le spectre desvaleurs propres vers R+, c’est a` dire limite conside´rablement la taille de la zone d’e´changedans la zone amont, comme analyse´ en de´tail dans une configuration axi-symme´trique en[9].Re´fe´rences[2] Graetz L., 1885, Uber die Warmeleitungsfahigkeit von Flussigkeiten, Annalen der Phy-sik, 261,(7),pp. 337-357[6] Papoutsakis E., Ramkrishna D., and Lim H-C., 1910, The extended Graetz problemwith Dirichlet wall boundary conditions, Appl. Sci. Res., 36,pp. 13-34[7] Papoutsakis E., Ramkrishna D., and Lim H-C., 1910, Conjugated Graetz problems.Pt.1 : general formalism and a class of solid-fluid problems, Chemical EngineeringScience, 36,(8),pp. 1381-1391[8] Papoutsakis E., Ramkrishna D., and Lim H-C., 1910, Conjugated Graetz problems.Pt.2 : fluid-fluid problems, Chemical Engineering Science, 36,(8),pp. 1392-1399[9] Pierre C. and Plouraboue´ F., 2007, Stationary convection diffusion between two co-axial cylinders, Int. J. Heat Mass Transfer, 50,(23-24),pp. 4901-4907[10] Pierre C. and Plouraboue´ F., 2009, Numerical analysis of a new mixed-formulationfor eigenvalue convection-diffusion problems, SIAM Applied Maths, 70,(3),pp. 658-676[11] Degournay F., Fehrenbach J., Pierre C. and Plouraboue´ F., 2011, Generalized Graetzproblem in finite domains, under submission, 2011[12] http ://www.freefem.org/ff++/[13] http ://www.netlib.org/lapack/6

Analyse de la convection-diﬀusion entre deux

tubes parallèles plongés dans un domaine cylindrique

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