Fractal Dimensions in Classical and Quantum Mechanical Open Chaotic Systems

Abstract

Fractals have long been recognized to be a characteristic feature arising from chaotic dynamics; be it in the form of strange attractors, of fractal boundaries around basins of attraction, or of fractal and multifractal distributions of asymptotic measures in open systems. In this thesis we study fractal and multifractal measure distributions in leaky Hamiltonian systems. Leaky systems are created by introducing a fully or partially transparent hole in an otherwise closed system, allowing trajectories to escape or lose some of their intensity. This dynamics results in intricate (multi)fractal distributions of the surviving trajectories. These systems are suitable models for experimental setups such as optical microcavities or microwave resonators. In this thesis we perform an improved investigation of the fractality in these systems using the concept of effective dimensions. They are defined as the dimensions far from the usually considered asymptotics of infinite evolution time $t$, infinite sample size $S$, and infinite resolution (infinitesimal box-size $varepsilon$). Yet, as we show, effective dimensions can be considered as intrinsic to the dynamics of the system. We present a detailed discussion of the behaviour of the numerically observed dimension $D_mathrm{obs}(S,t,varepsilon)$. We show that the three parameters can be expressed in terms of limiting length scales that define the parameter ranges in which $D_mathrm{obs}(S,t,varepsilon)$ is an effective dimension of the system. We provide dynamical and statistical arguments for the dependence of these scales on $S$, $t$, and $varepsilon$ in strongly chaotic systems and show that the knowledge of the scales allows us to define meaningful effective dimensions. We apply our results to three main fields. In the context of numerical algorithms to calculate dimensions, we show that our findings help to numerically find the range of box sizes leading to accurate results. We further show that they allow us to minimize the computational cost by providing estimates of the required sample-size and iteration time needed. A second application field of our results is systems exhibiting non-trivial dependencies of the effective dimension $D_mathrm{eff}$ on $t$ and $varepsilon$. We numerically explore this in weakly chaotic leaky systems. There, our findings provide insight into the dynamics of the systems, since deviations from our predictions based on strongly chaotic systems at a given parameter range are a sign that the stickiness inherent to such systems needs to be taken into account in that range. Lastly, we show that in quantum analogues of chaotic maps with a partial leak, a related effective dimension can be used to explain the numerically observed deviation from the predictions provided by the fractal Weyl law for systems with fully absorbing leaks. Here, we provide an analytical description of the expected scaling based on the classical dynamics of the system and compare it with numerical results obtained in the studied quantum maps.Es ist seit langem bekannt, dass Fraktale eine charakteristische Begleiterscheinung chaotischer Dynamik sind. Sie treten in Form von seltsamen Attraktoren, von fraktalen Begrenzungen der Einzugsbereiche von Attraktoren oder von fraktalen und multifraktalen Verteilungen asymptotischer Maße in offenen Systemen auf. In dieser Arbeit betrachten wir fraktal und multifraktal verteilte Maße in geöffneten hamiltonschen Systemen. Geöffnete Systeme werden dadurch erzeugt, dass man ein völlig oder teilweise transparentes Loch im Phasenraum definiert, durch das Trajektorien entkommen können oder in dem sie einen Teil ihrer Intensität verlieren. Die Dynamik in solchen Systemen erzeugt komplexe (multi)fraktale Verteilungen der verbleibenden Trajektorien, beziehungsweise ihrer Intensitäten. Diese Systeme sind zur Modellierung experimenteller Aufbauten, wie zum Beispiel optischer Mikrokavitäten oder Mikrowellenresonatoren, geeignet. In dieser Arbeit führen wir eine verbesserte Untersuchung der Fraktalität in derartigen Systemen durch, die auf dem Konzept der effektiven Dimensionen beruht. Diese sind als die Dimensionen definiert, die weit weg von den üblicherweise betrachteten Limites unendlicher Iterationszeit $t$, unendlicher Stichprobengröße $S$ und unendlicher Auflösung, also infinitesimaler Boxgröße $varepsilon$ auftreten. Dennoch können effektive Dimensionen, wie wir zeigen, als der Dynamik des Systems inhärent angesehen werden. Wir führen eine detaillierte Diskussion der numerisch beobachteten Dimension $D_mathrm{obs}(S,t,varepsilon)$ durch und zeigen, dass die drei Parameter $S$, $t$ und $varepsilon$ in Form grenzwertiger Längenskalen ausgedrückt werden können, die die Parameterbereiche definieren, in denen $D_mathrm{obs}(S,t,varepsilon)$ den Wert einer effektiven Dimension des Systems annimmt. Wir beschreiben das Verhalten dieser Längenskalen in stark chaotischen Systemen als Funktionen von $S$, $t$ und $varepsilon$ anhand statistischer Überlegungen und anhand von auf der Dynamik basierenden Aussagen. Weiterhin zeigen wir, dass das Wissen um diese Längenskalen die Definition aussagekräftiger effektiver Dimensionen ermöglicht. Wir wenden unsere Ergebnisse hauptsächlich in drei Bereichen an: Im Kontext numerischer Algorithmen zur Dimensionsberechnung zeigen wir, dass unsere Ergebnisse es erlauben, diejenigen $varepsilon$-Bereiche zu finden, die zu korrekten Ergebnissen führen. Weiterhin zeigen wir, dass sie es uns erlauben, den Rechenaufwand zu minimieren, indem sie uns eine Abschätzung der benötigten Stichprobengröße und Iterationszeit ermöglichen. Ein zweiter Anwendungsbereich sind Systeme, die sich durch eine nichttriviale Abhängigkeit von $D_mathrm{eff}$ von $t$ und $varepsilon$ auszeichnen. Hier ermöglichen unsere Ergebnisse ein besseres Verständnis der Systeme, da Abweichungen von den Vorhersagen basierend auf der Annahme von starker Chaotizität ein Anzeichen dafür sind, dass im entsprechenden Parameterbereich die Eigenschaft dieser Systeme, dass Bereiche in ihrem Phasenraum Trajektorien für eine begrenzte Zeit einfangen können, relevant ist. Zuletzt zeigen wir, dass in quantenmechanischen Analoga chaotischer Abbildungen mit partiellen Öffnungen eine verwandte effektive Dimension genutzt werden kann, um die numerisch beobachteten Abweichungen vom fraktalen weyl'schen Gesetz für völlig transparente Öffnungen zu erklären. In diesem Zusammenhang zeigen wir eine analytische Beschreibung des erwarteten Skalierungsverhaltens auf, die auf der klassischen Dynamik des Systems basiert, und vergleichen sie mit numerischen Erkenntnissen, die wir über die Quantenabbildungen gewonnen haben