We study the local dynamics of the Ginzburg-Landau equation with small diffusion
in a neibourhood of running waves. We find necessary conditions of running waves
instability and sufficient conditions of their stability.Исследуется устойчивость бегущих волн в зависимости от значений параметров. Найдены необходимые условия неустойчивости и достаточные условия устойчивости бегущих волн

A. Kashchenko A.

Александра Кащенко Андреевна

Russian

A. A. Kashchenko

Александра Андреевна Кащенко

Modeling and Analysis of Information Systems / Моделирование и анализ информационных систем (МАИС)

Модел. и анализ информ. систем. Т.18, №3 (2011) 58–62УДК 517.9Устойчивость бегущих волн в уравненииГинзбурга–Ландау с малой диффузиейКащенко А.А.1Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидоваe-mail: sa-ahr@yandex.ruполучена 1 сентября 2011Ключевые слова: бегущая волна, малый параметр, уравнениеГинзбурга–ЛандауИсследуется устойчивость бегущих волн в зависимости от значений пара-метров. Найдены необходимые условия неустойчивости и достаточные условияустойчивости бегущих волн.ВведениеУравнение Гинзбурга–Ландау возникает при описании большого класса волно-вых явлений в пространственно распределенных системах [1–2].Известно, что динамика уравнения Гинзбурга–Ландау может быть достаточносложной [3], однако большинство результатов о поведении решений этого уравненияполучены численно.В настоящей работе аналитически будут получены необходимые и достаточ-ные условия устойчивости решений вида бегущих волн для уравнения Гинзбурга–Ландау с малой диффузией.1. Постановка задачиРассмотрим уравнение Гинзбурга–Ландау с малой диффузиейu˙ = u(1− (1 + ib)|u|2) + ε2(1 + id)u′′ (1)с периодическими краевыми условиямиu(t, x+ 2pi) ≡ u(t, x). (2)Здесь u — комплекснозначная функция, ε — малый положительный параметр, точ-кой обозначена производная по t, а штрихом — по x. Краевая задача (1), (2) имеетнабор решений вида”бегущих волн“: uk = ρkeiωkt+ikx, гдеρk =√1− ε2k2, ωk = −b(1− ε2k2)− ε2dk2,1Работа выполнена при финансовой поддержке целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (государственные контракты № 14.740.11.0873 и№ П2223) и гранта Президента Российской Федерации (контракт № МК-3867.2011.1).58Устойчивости бегущих волн в уравнении Гинзбурга–Ландау с малой диффузией 59k — целое. Поставим задачу исследования устойчивости бегущих волн при доста-точно малых значениях параметра ε.2. Исследование расположения корней характеристического полиномаХорошо известно, что для параболических уравнений работает теорема Ляпуно-ва об устойчивости решений по первому приближению, поэтому будем исследоватьлинеаризованную на бегущей волне краевую задачу.Для удобства изучения устойчивости найденных решений, в уравнении (1) сде-лаем замену u = uk(1 + v), где v = v1 + iv2. После сокращения на uk получимуравнение на v1 и v2:iωk(1 + v1 + iv2) + v˙1 + iv˙2 = (1 + v1 + iv2)[1− (1 + ib)ρ2k(1 + 2v1++v21 + v22)] + ε2(1 + id)[−k2(1 + v1 + iv2) + 2ik(v′1 + iv′2) + v′′1 + iv′′2 ],v1(t, x+ 2pi) ≡ v1(t, x), v2(t, x+ 2pi) ≡ v2(t, x).(3)С помощью стандартных методов построим семейство характеристических мно-гочленов для линеаризованной системы (3) (при каждом целом n имеем характери-стический полином):λ2 + 2λ(2ε2dkin+ ε2n2 + 1− ε2k2) + (d2 + 1)ε2n2(ε2n2 − 4ε2k2)++2(1− ε2k2)((bd+ 1)ε2n2 + 2(d− b)ε2kni) = 0. (4)Очевидно, что уравнение (4) имеет нулевой корень при n = 0.Для каждого номера волны k будем исследовать расположение корней уравнения(4) при всех целых ненулевых значениях n.2.1. Получение достаточных условий неустойчивостиРассмотрим случай асимптотически больших номеров волн. Пусть z — произ-вольное фиксированное число из объединения интервалов (−1, 1)\{0}. Представимk в виде k = z/ε+θz+k1, где θz ∈ [0, 1) и дополняет z/ε до целого, k1 — целое число.Уравнение (4) тогда принимает видλ2 + 2λ[2εdin(z + ε(θz + k1)) + 1− z2 − 2zε(θz + k1) +O(ε2)]++2(1− z2 − 2zε(θz + k1))[(bd+ 1)ε2n2 + 2(d− b)εni(z + ε(θz + k1))]−−4(d2 + 1)ε2n2z2 + o(ε2) = 0.(5)Зафиксируем θz, тогда корни уравнения (5) зависят от ε регулярно. Исследуем ихрасположение. При ε = 0 и любом n есть корень λ = 0, поэтому при ненулевых εразложим корень λ по степеням ε : λ = ελ1+ε2λ2+O(ε3), где λ1 и λ2 — комплексныечисла.Приравняем коэффициенты уравнения (5) при одинаковых степенях ε, найдемλ1 и Reλ2 :λ1 = 2(b− d)niz, Reλ2 = −(bd+ 1)n2 + 2z2(b2 + 1)n21− z2 .Заметим, что λ1 и Reλ2 от θz не зависят, поэтому при θz = θz(ε) асимптотикаполучается равномерной по θz из отрезка [0,1], и проведенные выше вычисленияправомерны.60 Моделирование и анализ информационных систем Т.18, №3 (2011)При условии bd + 1 < 0 при любом z из объединения интервалов (−1, 1)\{0}Reλ2 будет положительной. Если же bd + 1 > 0, то действительная часть λ2 будетположительной при √bd+ 12b2 + bd+ 3= z2 < |z| < 1.Из вышесказанного следует, что справедливы следующие теоремы.Теорема 1. Пусть z ∈ (−1, 1) — произвольно фиксировано. Пусть выполненонеравенство bd+1 < 0. Тогда при всех достаточно малых ε бегущая волна Uz,k1(t, x)неустойчива.Теорема 2. Пусть z ∈ (−1,−z2)∪ (z2, 1) — произвольное фиксированное число.Пусть выполнено неравенство bd + 1 > 0. Тогда при всех достаточно малых εбегущая волна Uz,k1(t, x) неустойчива.Здесь и далееUz,k1(t, x) = uz/ε+θz+k1(t, x) =√1− (z + ε(θz + k1))2 exp(i(z/ε+ θz + k1)x)·· exp (i(−b+ (b− d)(z + ε(θz + k1))2)t).2.2. Получение достаточных условий устойчивостиВезде далее считаем, что bd+ 1 > 0.В уравнении (4) введем обозначения. Пусть εk = z, εn = m. Отметим, что изусловия неотрицательности ρk имеем |z| < 1. Тогда получим уравнениеλ2 + 2λ(2dizm+m2 + 1− z2) + (d2 + 1)m2(m2 − 4z2)++2(1− z2)((bd+ 1)m2 + 2(d− b)izm) = 0. (6)В новых терминах нас интересует расположение корней (6) в зависимости от z прикаждом ненулевом m. В пункте 2.1. было доказано, что при |z| > z2 наблюдаетсянеустойчивость, поэтому нас будут интересовать только значения |z| < z2. Будем ис-кать корни уравнения (6) в виде λ = a+ic. Подставляя это соотношение в уравнение(6), получим:2a+ a2 + 2ic+ 2iac− c2 + 2m2 + 2am2 + 2icm2 + 2bdm2 +m4 + d2m4−−4ibmz + 4idmz + 4iadmz − 4cdmz − 2az2 − 2icz2 − 6m2z2 − 2bdm2z2−−4d2m2z2 + 4ibmz3 − 4idmz3 = 0.(7)Выделим действительную и мнимую части уравнения. Из мнимой части выразимc через a и подставим это соотношение в действительную часть уравнения (7). Врезультате приходим к соотношению(1 + a+m2 − z2)−2[2(1− z2)2(1 + bd− (3 + 2b2 + bd)z2)m2++(1− z2)(5 + 4bd+ d2 − (13 + 12bd+ d2)z2)m4 + (1 + d2)m8++2(2 + bd+ d2 − (4 + bd+ 3d2)z2)m6 + a4 + 4(m2 + 1− z2)a3++[5(m2 + 1− z2)2 + 4d2z2m2 +m2((d2 + 1)(m2 − 4z2) + 2(1− z2)(1 + bd))]a2++[(m2 + 1− z2)2 + 4d2z2m2 +m2((d2 + 1)(m2 − 4z2) + 2(1− z2)(1 + bd))]··2(m2 + 1− z2)a] = 0.(8)Заметим, что нас интересуют только неотрицательные корни a уравнения (8). Вы-ражение 1 − z2 +m2 при любом m и любом |z| < 1 положительно, следовательно,Устойчивости бегущих волн в уравнении Гинзбурга–Ландау с малой диффузией 611 + a + m2 − z2 не равно нулю. Очевидно, что если при фиксированном z и всехненулевых значениях m коэффициенты при всех степенях a будут положительны,то уравнение (8) не будет иметь неотрицательных корней при этом значении z.Лемма 1. Пусть z ∈ (−z2, z2). Тогда коэффициенты при a1 и a2 уравнения (8)положительны.Доказательство.Докажем, что при |z| < z2 выражение(m2 + 1− z2)2 + 4d2z2m2 +m2((d2 + 1)(m2 − 4z2) + 2(1− z2)(1 + bd)) (9)положительно. Преобразуем (9):(m2 + 1− z2)2 + 4d2z2m2 +m2((d2 + 1)(m2 − 4z2) + 2(1− z2)(1 + bd)) == 1 + 2(2 + bd)m2 + (2 + d2)m4 − 2(1 + 4m2 + bdm2)z2 + z4.В результате замены z2 = t получим квадратный трехчлен относительно t:f(t) = 1 + 2(2 + bd)m2 + (2 + d2)m4 − 2(1 + 4m2 + bdm2)t+ t2.Докажем, что при t < z22 значения f(t) положительны. Заметим, что значение выра-жения f(t) в точке z22 равно положительному числу, а вершина параболы (графикаf(t)) находится правее этой точки. Отсюда вытекает положительность выражения(9), а следовательно, положительность коэффициентов при a1 и a2 уравнения (8).Коэффициенты при a4 и a3 в уравнении (8) положительны при любом ненулевомm и |z| < 1. При |z| < z0 = min{z2, z4, z6}, гдеz4 =√5 + 4bd+ d213 + 12bd+ d2, z6 =√2 + bd+ d24 + bd+ 3d2,коэффициент при a0 уравнения (8) положителен при любом ненулевом значении m.Как следствие, получаем теорему.Теорема 3. Пусть выполнено неравенство bd + 1 > 0. Пусть z ∈ (−z0, z0) —произвольное фиксированное число. Тогда при всех достаточно малых ε бегущаяволна uz/ε устойчива.Легко видеть, что при дополнительном условии |b| ≥ |d| наименьшим из чиселz2, z4, z6 является z2.Теорема 4. Пусть bd + 1 > 0 и |b| ≥ |d|. Тогда при всех достаточно малых εбегущая волна uz/ε устойчива, если |z| < z2, и неустойчива, если z2 < |z| < 1.ВыводыОтносительно устойчивости по Ляпунову решений уравнения (1) вида бегущихволн получены следующие результаты.1. При выполнении неравенства bd+ 1 < 0 неустойчивы все бегущие волны.2. При выполнении системы неравенств bd+1 > 0, |b| < |d| бегущие волны uz/εпри |z| < z0 устойчивы, а при |z| > z2 неустойчивы.3. При выполнении системы неравенств bd + 1 > 0, |b| ≥ |d| выражение z2 яв-ляется критическим значением, в том смысле, что при |z| < z2 наблюдается устой-чивость, а при |z| > z2 — неустойчивость.62 Моделирование и анализ информационных систем Т.18, №3 (2011)Список литературы1. Гинзбург В.И., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // ЖЭТФ. 1950. Т. 20.С. 1064.2. Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие / Н.А. Кудряшов.Долгопрудный: Интеллект, 2010. 368 с.3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестацио-нарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.Analysis of Running Waves Stability in the Ginzburg–LandauEquation with Small DiffusionKashchenko A.A.Keywords: running wave, small parameter, Ginzburg–Landau equationWe study the local dynamics of the Ginzburg–Landau equation with small diffusionin a neibourhood of running waves. We find necessary conditions of running wavesinstability and sufficient conditions of their stability.Сведения об авторе:Кащенко Александра Андреевна,Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова,студентка 5 курса математического факультета

Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга-Ландау с малой диффузией

https://www.mais-journal.ru/jour/article/download/1064/778

Устойчивость бегущих волн в уравнении Гинзбурга-Ландау с малой диффузией

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Modeling and Analysis of Information Systems / Моделирование и анализ информационных систем (МАИС)