大月 英明

大月, 英明

オオツキ, ヒデアキ

OTSUKI, Hideaki

Nanzan University Repository / 南山大学機関リポジトリ

非２重連結性遺伝 2部グラフの変型ガロア束のサイズについて大月 英明 概 要我々は一般の 2部グラフに対して変形ガロア束を定義し，距離遺伝 2部グラフに対し，2部クリーク辺被覆問題が多項式時間で解けることを示した．非２重連結性遺伝 2部グラフクラスとは，ドミノフリーグラフクラスと距離遺伝２部グラフの両方と交差するグラフクラスである．ここでは頂点数 n ( 3) の非２重連結性遺伝 2部グラフ B に対する変形ガロア束 Gm(B) のサイズを評価する．具体的には Gm(B) の頂点数と辺数は，それぞれ 3n=2 + 1 未満と 5n=2  2 未満であることを示す．1 はじめに一般の 2部グラフに関して，その 2部クリーク辺被覆問題は NP 困難問題であることが知られている [3] [5]．しかし，C4フリーグラフ，距離遺伝 2部グラフ [4]やドミノフリーグラフ [1] ，さらに路重複数 R(B)  1 [6] の 2部グラフの場合は，最小２部クリーク辺被覆問題が多項式時間で解けることが示されている．ドミノフリーグラフ，及び路重複数 R(B)  1 の 2部グラフに対する多項式時間アルゴリズムは，B の極大 2部クリーク集合の束を用いているため，この束のサイズが計算時間に影響する．頂点数 n ( 2) の距離遺伝 2部グラフ B の極大 2部クリークの数は，高々n   1 であることが示されている [2]．一方，論文 [6] では，変形ガロア束Gm(B) が導入され，頂点数 n ( 2) の距離遺伝 2部グラフ B の Gm(B) の頂点数は，高々 3n=2 + 1 であることが証明された [7]．ここでは，B が頂点数 n ( 3) の連結な非２重連結性遺伝グラフのとき，論文 [6]で導入された，変形ガロア束 Gm(B) のサイズについて評価する．具体的には Gm(B) の頂点数は 3n=2 + 1 未満であり，辺数は 5n=2  2 未満であることを示す．2 定義ここで取り扱うグラフはすべて 2 部グラフである．B = (XB; YB; EB)を，頂点集合 XB [ YB と辺集合 EB  XB  YB からなる 2部グラフとす南山大学理工学部ソフトウェア工学科8 南山大学紀要『アカデミア』理工学編　第17巻,　8‑13,　2017年3月る．XB = fx1; x2; : : : ; xnxg，YB = fy1; y2; : : : ; ynyg とし，n = nx + ny，m = jEB jとする．頂点 v 2 XB[YB の B における隣接頂点の集合を NB(v)と表記する. B の部分グラフ K = (XK ; YK ; XKYK)を（Bの）2部クリークと呼ぶ．EB =Ssi=1EKi なる B の 2部クリークの集合 K = fK1; : : : ;KsgをB の 2部クリーク辺被覆と呼ぶ．最小 2部クリーク辺被覆問題は，最小サイズの 2部クリーク辺被覆を求める問題である．K が B の極大 2部クリークであるとは，B の 2部クリーク K 0(6= K) で，EK  EK0 を満たすものが存在しないときをいう．jXK j = 1または jYK j = 1のとき，K は星グラフである．jXK j = 1 のとき，x 2 XK を星グラフ K の中心と呼ぶ．jYK j = 1 のときも同様である．xi 2 XB に対して，xi を中心とする極大星グラフを Xi と表す． 同様に yj 2 YB に対して yj を中心とする極大星グラフを Yj と表す．B を連結な 2部グラフとする．B の頂点 v に対し，頂点集合 V (B) n fvgが誘導する B の部分グラフを Bv と表記する．つまり Bv は，B から頂点v とそこに接続する辺を除去したグラフである．グラフ B の関節点とは，Bv が非連結になるような頂点 v である．2重連結なグラフとは，関節点を持たないグラフである．ここで非 2重連結性遺伝2部グラフを次のように定義する．定義 1. 関節点 v をもつ 2 部グラフを B とする． Bv の連結成分を，Bv1 ; : : : ; Bvc (c  2) とする．それぞれの Bi (i = 1; : : : ; c) が関節点を持つグラフか，または頂点数 2 のグラフであるとき，v を非 2重連結性を遺伝する頂点という．Bi (i = 1; : : : ; c) のうち，頂点数 2 のグラフでないものがすべて非 2重連結性を遺伝する頂点を持つならば，B を非 2重連結性遺伝 2部グラフという．１つの頂点を共有するような，2つの C6 からなるグラフは非 2重連結性遺伝 2部グラフであるが，距離遺伝 2部グラフではない．つまり非 2重連結性遺伝 2部グラフクラスは，距離遺伝 2部グラフクラスのサブクラスではない．また，次数 3の頂点を一つだけ共有するような，2つのドミノからなるグラフは非 2重連結性遺伝 2部グラフであるが，ドミノフリーグラフではない．つまり非 2重連結性遺伝 2部グラフクラスは，ドミノフリーグラフクラスのサブクラスではない．また K2;2 は，ドミノフリーであり距離遺伝 2部グラフであるが，非 2重連結性遺伝 2部グラフではない．すなわち非 2重連結性遺伝 2部グラフクラスは，ドミノフリーグラフクラスと距離遺伝２部グラフの両方と交差するグラフクラスである．3 変型ガロア束 Gm(B)KM (B) = fK1;K2; : : : ;Ksg を 2部グラフ B のすべての極大 2部クリークからなる集合とする．KM (B)上に，半順序 < を以下のように定義する．9?２??????2?グラフの??ガロア?のサイズについてKp;Kq 2 KM (B)に対し，YKp  YKq のとき，またそのときに限り Kp < Kqであるとする．さらに，KM (B) のすべての要素 K に対して，K < > であるような要素 > と，? < K であるような要素 ? を加え，KM (B) [ f>;?gのハッセ図を G(B) とする．つまり，G(B) は KM (B)[ f>;?g の要素を頂点とし，Kp < Kq でかつ，Kp < Km < Kq なる Km が存在しないときに，Kq から Kp に向う有向辺を置いたグラフである．G(B) を B のガロア束と呼ぶ [1] ．Amilhastre et al. [1] は，ドミノフリーグラフの 2部クリーク辺被覆問題，および 2部クリーク分割問題に対し，ガロア束を用いた多項式時間アルゴリズムを与えた．Otsuki and Hirata[6]は，ガロア束を拡張した変形ガロア束を定義し，ドミノフリーグラフを真に含むグラフクラスに対し，2部クリーク辺被覆問題の多項式時間アルゴリズムを与えた．変形ガロア束 Gm(B)は 2部グラフ B から以下のように定義される．Xs(B) = fX1; X2; : : : ; Xnxg，Ys(B) = fY1; Y2; : : : ; Ynygとする．B の部分グラフの集合 KsM (B)  KM (B) [ Xs(B) [ Ys(B) 上に，半順序 < を以下のように定義する．Kp;Kq 2 KsM (B) に対し，YKp  YKqかつ XKq  XKp のとき，かつその時に限り Kp < Kq とする．KsM (B) のすべての要素 K に対して，K < > であるような要素 > と，? < K であるような要素 ? を加えた集合 KsM (B) [ f>;?g のハッセ図を Gm(B) とする．Gm(B) を B の変形ガロア束と呼ぶ．4 非2重連結性遺伝2部グラフ B に対する Gm(B)のサイズここでは，非 2 重連結性遺伝 2 部グラフ B に対する B について，その変型ガロア束 Gm(B) のサイズを評価する．具体的には B の頂点数をn としたとき，jV (Gm(B))j < 3n=2 + 1 であることを証明する．ここでM(B)  KsM (B)nfXs(B)[Ys(B)g とする．jV (Gm(B))j = jM(B)j+n+2なので，以下では jM(B)j < n=2  1 を示す．まず，次の補題を証明する．補題 2. v を B の関節点とし，Bv の連結成分を Bv1 ; : : : ; Bvc とする．頂点集合V (Bvi )[fvgが誘導する B の部分グラフを Bi とする．このとき K 2M(B)は，いずれかの Bi の極大 2部クリークである．証明. v =2 VK の場合は明らかであるので，以下では v 2 VK とする．もし Kが，サブグラフとしていずれの Bi にも含まれないならば，VK をすべて含むBi は存在しない．すなわち，ある 2頂点 ui; uj 2 VK に関して，ui 2 V (Bi)かつ uj 2 V (Bj) なる j (6= i) が存在する．これは Bi と Bj が非連結であることに反する．したがって K は，いずれかの Bi のサブグラフである．10 ????K が B の極大 2部クリークであれば，K は Bi の極大 2部クリークである．定理 3. 頂点数 n ( 3)の非 2重連結性遺伝 2部グラフ B に対して jM(B)j <n=2  1 が成り立つ．証明. B の頂点数 n に関する帰納法により証明する．定義より n = 2 の非 2重連結性遺伝 2部グラフは存在しない．n = 3 のとき，B は，K1;2 である．よって M(B) = ; であり，jM(B)j = 0 なので jM(B)j < n=2   1 が成り立つ．n = k ( 3)のときに定理が成り立つと仮定する．B を n = jV (B)j = k+1なる非 2重連結性遺伝 2部グラフとする．まず v が B の非 2重連結性を遺伝する関節点であるとする．Bv の連結成分を Bv1 ; : : : ; Bvc とする．頂点集合V (Bvi ) [ fvg が誘導する B の部分グラフを Bi とし，ni  jV (Bi)j とする．非 2重連結性遺伝 2部グラフの定義から，各 Bi (1  i  c) は非 2重連結性遺伝 2部グラフであるか，または頂点数 2 のグラフである．補題 2 よりjM(B)j = Pci=1 jM(Bi)j である．jV (Bi)j  k なので，帰納法の仮定よりjM(B)j =Pci=1 jM(Bi)j <Pci=1(ni=2  1) である．Pci=1 ni = k + c より，jM(B)j < (k + c)=2  c = (k + 1)=2  (1 + c)=2 となる．したがって c  2より，jM(B)j < (k + 1)=2  3=2 すなわち jM(B)j < (k + 1)=2  1 となり，定理が成り立つ．定理 3 の議論より，以下の系が成り立つ．系 4. 非 2重連結性遺伝 2部グラフ Bが c個の連結成分を持つ場合，jM(B)j n=2  c であるjV (Gm(B))j = jM(B)j+ n+ 2 より，以下の系が成り立つ．系 5. 頂点数 n ( 3) の連結な非 2 重連結性遺伝 2 部グラフ B に対してjV (Gm(B))j < 3n=2 + 1 が成り立つ.Gm(B) の辺の数に対しては，次の定理が成り立つ．定理 6. 頂点数 n ( 3) の連結な非 2重連結性遺伝 2部グラフ B に対してjE(Gm(B))j < 5n=2  2 が成り立つ.証明. B の頂点数 nに関する帰納法により証明する．Gm(B)から >と ?を取り除いたグラフを G0m(B)とする．G0m(B)に対し，jE(G0m(B)j  3n=2 2を証明する．定義より n = 2 の非 2重連結性遺伝 2部グラフは存在しない．n = 3 のとき，B は，K1;2 であり jE(G0m(B))j = 2 なので，定理が成り立つ．次に n = k ( 3) のときに定理が成り立つと仮定する．B を n = jV (B)j =k+1なる非 2重連結性遺伝 2部グラフとする．非 2重連結性を遺伝する頂点を11?２??????2?グラフの??ガロア?のサイズについてv 2 V (B)とする．Bv の連結成分を Bv1 ; : : : ; Bvc とする．頂点集合 V (Bvi )[fvgが誘導する B の部分グラフを Bi とし，ni  jV (Bi)jとする．非 2重連結性遺伝2部グラフの定義から，Bi (1  i  c)は非2重連結性遺伝2部グラフである．したがって jE(G0m(B))j =Pci=1 jE(G0m(Bi))jが成り立つ．jV (Bi)j  k なので，帰納法の仮定より jE(G0m(B))j =Pci=1 jE(G0m(Bi))j <Pci=1(3ni=2 2)が成り立つ．Pci=1 ni = k + c より，jE(G0m(B))j < 3(k + c)=2   2c =3(k + 1)=2  (3 + c)=2 が成り立つ．したがって c  2 より，jE(G0m(B))j <3(k + 1)=2  5=2 すなわち jE(G0m(B))j < 3(k + 1)=2  2 であり，定理が成り立つ．jE(Gm(B))j = n+ jE(G0m(B))j より，以下の系が成り立つ．系 7. 頂点数 n (> 3) の連結な非 2 重連結性遺伝 2 部グラフ B に対してjE(Gm(B))j < 5n=2  2 が成り立つ.5 おわりにわれわれは、非 2重連結性遺伝 2部グラフ B に対して，その変形ガロア束 Gm(B) のサイズを評価を評価した．ここでは，非 2重連結性遺伝 2部グラフクラスが，2部クリーク辺被覆問題を多項式時間で解くことができるような，新しいグラフクラスであることが示された．一方，距離遺伝 2部グラフ B に対しての結果 [7] より，関節点 v を持つ 2部グラフ B に対する Bvの連結成分のうち，少なくとも一つが距離遺伝 2部グラフである場合も同様の結果が得られる．そのようなグラフは 2重連結性遺伝 2部グラフクラスを含むような新たなグラフクラスに属する．このようなグラフクラスの自然な特徴付けに対しては今後の課題としたい．参考文献[1] J. Amilhastre, M. C. Vilarem, and P. Janssen. Complexity of mini-mum biclique cover and minimum biclique decomposition for bipartitedomino-free graphs. Discrete Appl. Math., Vol. 86, No. 2-3, pp. 125{144,1998.[2] N. Apollonio and P. G. Franciosa. On computing the galois lattice ofbipartite distance hereditary graphs. arXiv preprint arXiv:1510.06883,2015.12 ????[3] H. Fleischner, E. Mujuni, D. Paulusma, and S. Szeider. Covering graphswith few complete bipartite subgraphs. Theoretical Computer Science,Vol. 410, No. 21 - 23, pp. 2045 { 2053, 2009.[4] H. Muller. On edge perfectness and classes of bipartite graphs. DiscreteMathematics, Vol. 149, No. 1 - 3, pp. 159 { 187, 1996.[5] J. Orlin. Contentment in graph theory: covering graphs with clique.Indagationes Mathematicae (Proceedings), Vol. 80, No. 5, pp. 406 { 424,1977.[6] H. Otsuki and T. Hirata. The biclique cover problem and the modiedGalois lattice. IEICE TRANSACTIONS on Information and Systems,Vol. 98, No. 3, pp. 497{502, 2015.[7] 大月英明, 平田富夫. 距離遺伝 2部グラフの変型ガロア束のサイズについて. アルゴリズム研究会研究報告, Vol. 157, No. 6, pp. 1 { 5, 2016.13?２??????2?グラフの??ガロア?のサイズについて

非2重連結性遺伝2部グラフの変型ガロア束のサイズについて

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