高田, 京子

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数学的な見方・考え方についての一考察

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岡山大学算数 ･数学教育学会誌『パピルス』第5号 (1998年)73頁～78貢数学的な見方 ･考え方についての一考察高田 京子笠岡市立笠岡東中学校研究の要約平成 9年度は,神戸の児患連続殺人事件,ナイフによる刺殺事件など,中学生を中心とした少年による重大な事件が全国各地で多発 し,中学校の教育現場にも大き､な波紋を投げかける1年 となった｡新指導要領の方針 として,｢自ら学ぶ音欲 と社会の変化に主体的に対応できる能力の育成｣に力を入れることとなり,数学科でも,｢数学的な見方や考え方のよさを知 り.それらを進んで活用する態度を育てる｡｣ことが目標 として掲げられた｡公立中学校に勤める数学担当教師の一人である私も.そ うした目標が達成できる授業づくりに努めた｡ しかし,現実には,数学の授業以前の問題に悩む毎 日が続いた｡そ うした中で,中学卒業を前にした三年生を対象に,大胆にも,｢数学的な見方 ･考え方｣を通 して ｢人としての生き方｣を考えることができないかを試みてみた｡1.はじめに｢数学的な考え方 ･見方｣の育成,といいながら,生徒に何をどのように教えたらよいかは,悩むところだ｡ ここ数年,課題学習の事例がたくさん報告され,多くの数学担当者が,これを単元の合間に取 り入れるようになった,また,日頃の授業の展開も教授型から,生徒自らの発見学習型に変えようとしている者も多い｡しかし.限られた年間授業時間の中で,今までとほとんど変わらない鼓の内容項目を生徒に理解させ,使えるようにさせ,さらに,よさを知って進んで活用-となると,至難のわざとなる｡ しかも,生徒の中には.不登校ぎみで授業がとぎれ とぎれであったり,人間関係の悩み,非行化傾向から授業に集中できないものもいる.時には,授業妨害が起こり,意欲的な生徒にとっても,場合によっては教師までも授業から心が離れてしまうことさえ考えられる現実がある｡そ うした中で,中学校の数学担当教師として,数学の授業を通 して中学生に何を考えさせ,何を学ばせようとするのかを.自分なりに考えておくことが大切であると感 じた｡歴史をたどると,プラ トンやデカル トなど大数学者 と言われる人物の中に,哲学者がたくさんいた｡また,中学校の道徳教育に関わる教師に数学担当の教師の割合が多いように思えるのは偶然だろうかc数学と哲学には相通 じるものがあるのかもしれないと思ってしまう=｢生きる力｣をはぐくむ教育が叫ばれる今,｢数学的な見方 ･考え方｣を育てる教育は,｢物の見方 ･考え方｣を育てる教育に通 じるのかもしれないなどと,大変大胆な考え方をてみた｡数学教育 とい う立場か ら,平成 8年度 と平9年度に卒業前の 3年生を対象に.こうした考え方を授業の中で投げかけてみた｡-73-2.授業計画中学 3年生の卒業前の8時間を使って,｢数字の授業で学んできた物の見方 ･考え方｣と題 した授業を展開することにした.この時期は,公立の中学校にとっては,私立高校の入学が決まって気抜け気味の生徒,公立高校の入試を目前にいらだっている生徒,漠然 と就職を考えている生徒など,様々な思いの生徒を対象に一斉授業をするとい う難 しい時である｡数学は自分にとって何の意味ももたないと思っている生徒もいるし,入試を前に,基礎的な計筆問腰や,関数や図形の総合問題に少 しでも力をつけて,高い得点をとりたい生徒もいる｡そこで,各授業の前半20分前後を.この授業にあて,後半は,総合問題等の解説に充てることとし,それぞれの要望に答えるように努めた｡3.授業の実際は じめに義務教育 9年間の算数 ･数学の授業 も残 り少なくなってきた｡今までに,いろいろな先生に出会い,たくさんのことを学んだことと思 う｡ しか し,数学の 目的がテス トでいい点をとるためとか,数学は 自分には何の役にもたたないなんて思っている人はいないだろ うか｡今まで数学の授菜で学んできたことは,高校に行っても,社会人になっても必ず役に立つ｡卒業 を前に, もう一度,｢数学の授業で学んできた物の見方 ･考え方｣を振 り返ってみ よう｡そ して,これか らも,数学を楽 しく学び続けてほしいと思 う｡<第 1時 >(卿雑)は他力 2あるものを見て,○○に似ていると慮ることは一つの能力だ｡△△先生が動のロロに似ていると思った人も,すぼらしい｡ (ただ し,それを口に出 して相手を傷つけるのは人としてなさけない｡)数学でも,与えられた問題が,以前解いたことのある問題に似ていると感 じたらしめたもの｡人生でも,何かの問題に面 したとき,それが以前経験 したことのあることに似ていると感 じることができれば,それを応用 して解決することもできるわけだ.,Q.次の図で,△ABC,△CDEは正三角形である｡△ACE…△BCDとなることを証明せよ｡※相似な正方形や,二等辺三角形などでも,同じように考えられる｡<第 2時 >怒号 oグラフ D細渉壮便利な並典 !(記号化,政丑牝｡何形化)数学の時間になぜアルファベットが出てくるのか.グラフは苦手だ,などという人がし)る｡でも,これを使わないと数学はもつと難 しいものになってしま う｡道路標識やデパー トの売場表示などでも,記号や絵表示がとても役立っている｡数学の記号は一般的な性質や法則を寄き表すのに便利がいい し,わか らないものをとりあえず記号で表 しておいて計昇で求める (方程式)なんて最高だ｡国際的学問としては,記号は隻や⑥より,A,B,xなどがいいのでは?朝ねぼうのデカル トは,動き回るハエの-74-動きを座標上に表 して方程式 と関連づけ,数字を発展 させた とい う｡ グラフと式,図 と式 を合 わせ て考 える と, ものごとはわか りやす くなる｡日常生活で も,込み入 った問題は,図に筈いて考 える と解決が早い ことは,みんなも承知 しているだろ う｡Q.A町,C町の間を折 り返 し運転 している赤バス と脊バスがあ り,それぞれ,逮中のB町に止まる｡次のグラフは,赤バスの始発か ら午前 7時までの運行のよ うすを表 した ものである｡(km)C町 128B町 4A町 06時 30 7時① 赤バスの走行中の速 さを求めよ｡② 育バスの始発時刻は,C町を午前 6時 10分で,時速 24kmで走行 し,B町で 5分,A 町,C町で 15分停車する｡青バスの運行のようすを表す グラフを審きなさい｡③ 両方のバスが最初に出会 う時刻を 6時 x分 として方程式をつ くって求めよ｡※明治 5年,わが国初めての鉄道の運行計ILnjIに,イギ リスの技師ページが使 っていたダイヤグラムは,現在の新幹線の運行計画にも使用 されている｡<第 3時>｢-.敬の中｡一分か らだけ凪て杜徳政?? (統合｡分析)手配 の人のモ ンター ジュ写があるが,あれ は犯人 を見な印象 を統合 して全体像 を作るしい｡一般には,分析 よりも統合の方が難 しいようだが,これ らの繰 り返 しによって物事の本質がつかめることがある｡また,草間や研究 も,行 き詰まったときには違 う角度か ら考え直す と新 しい発見が成 され ることがあるら人間だって,｢あいつは嫌いだ｣ と思いこんでいて も,ふ と見方を変えると相手の良さが見えてくる｡世の中,一方か らだけ見ては誤 りのもとだoいろいろな方向か ら総合的に判断 しよう｡Q l.右図のよ うに,見方によっては,円にも三角にも四角にも見える物体がある｡では,次の影は,どんな立体の影だろうか｡(正Ej '真fl二,了 側EjQ 2.次の投影図で表 される立体の中で,面の数が最 も多いものはどれかO皿<第4時>啓も奇書静になれる 官?(迎鍵的にとらえて,規舶性 を鬼つける)紀元前 600年頃,ギ リシャの数学者 タレスは, 日食を予言 して人々を驚かせたとい う｡ 自然の現象 も,世の中のできごともひとつひ とつが単発に起 こるのではなく,何 らかのつなが りをもって起きてくる｡物事は連続的にとらえることが大切だ｡そ して,そこにある規則性 (ルール)を見つけ-l､-ることができれば,これか ら先の未知のこと.将来の予測だって可能か も しれない ｡Q.下の図のよ うに.マ ッチ棒 を並べて正方形をつ くってい くO†コココ二二Tコ･'i)正方形 を5個つ くるときに必要なマ ッチ棒は何本か｡② 正方形 を20個つ くるときに必要なマッチ棒は何本か｡③ 正方形 をx個つ くるときに必要なマッチ棒の本数を式に表 しなさいO<第 5時 >rもレ ･･だったらj柱大切な考え方｢もし -｣ とい う考え方のおかげで,敬が今のよ うに発達 したのだ. とい う人い る リンゴが地面に落 ちて くるのをて,rも し,月や星 も,同 じ力で地球に引 っ張 られ ているこした ら-｣ と考 えて,万有引力の法則 を発見 した人 もいる｡世 の中で も,｢も し.私がお母 さんだった ら-｣,｢もし,私が この人の立場だった ら-･｣ と考えてみ ると,それ まで気づかな/]▲つた ことが見えて くるC それが思いや りへの第 1歩だ｡ただ し.｢も し｣ とい うこ とば を.わがままに使 った り,言い訳に使 うのけやめi:う｡Q l,絵本 r赤いぼ うし｣(野崎昭弘 文 ･安野光椎 絵)を読んで考えよ う｡Q 2,数字を削 ､た4枚のカー ド巨 ]. E]巨], 巨 ] をよくきり, 1列に並べて4けたの整数をつ くる｡(D 全部で何通 りの整数がつ くれるか｡②できた整数が2000以上になる確率を求めよ｡③ もし, 匡 ]のカー ドを逆に して[可 として使ってよいとしたら,全部で何通 りの整数がつ くれるか｡※ ｢もし･･･だとすると｣や ｢もし-でなかった とするとlの考 え方は,中学校では,図形の証明や文字式 を使 った証明でよく登場 してきた｡ しか し, ちっと,いろいろな場面で使えるのではないだろうか ｡<第 6時>仲間分け (分嬢)紐大切な蕎窓たくさんの物 を数えた り,その集岡の傾向を調べ るのは難 しいことだ｡でも,ちょっと工夫すれば時間も費用も随分少なくてすむ｡日常生活でも,小銭がたくさん入った貯金箱の中身を数 えるときは,お金の秤類別に集めて,10個ずつ重ねている人が多い｡生徒会選挙の投票用紙の集計だって, 1枚1枚数えるより,パターンに分けておいて,それぞれの枚数 を数 えてあとか ら合計 した方が早い,l頭は使いようとい うわけだ｡Q,次の数は, 18人の数学の得点である｡ヒス トグラムに表 しなさい｡91,46,51,21.55,82,48,35.57,(^6層 醇 (6,…､5言:&'<第 7時>ニ _?;II:--=‥f:?_I_ラ:-､-'､_fん_≡,l了- 76-と吾わせる良さがある｡ しか し,遠回 りも悪 くないO遠回 りを しているうちに,他の新 しい発見をする事だってあるのだから｡数学の大発見も,そんな遠回 りの中から見つかったものも多い｡350年余 り,数学の天才たちを悩ませた ｢フェルマーの大定理｣とい う対問が 1994年についにg正明された｡それ まで,実に多 くの数学者が失敗を繰 り返 し,挫折 してきたわけだが,その失敗の中で,この定理 より,もっと数学的に価値の高い発見がたくさん成されている｡人生 も,時には遠回 りや失敗 も必要なのかもしれない｡ただ し,同 じ失敗を繰り返すのは,賢いとは言えない｡Q.3辺の長さが次のような三角形がある｡この うち,直角三角形であるものを,選んで,記号で答えなさい｡① 3cnl,4C1ユ, 5cul② 4cm, 6cm, 8cll③ 6cm, 8cm, 10cm0 5cm. 12cm, 13cm@ 8cm. 12C11. 15cm※参考資料として,新聞記串を紹介するフェルマーのJI特定t3位明考Tl～)U上の*rELの■■医王亘≒亘]lJLたTO■1～LY.Lt川LlLt? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? っ? ? ? ??? ?? ? ? ? ? ? ?? 〜?? ? ? ? ? ? ? ? ?? っ? ? ? ?〞? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ????<第 8時 ･最終回>まだまだ｡わからないことがあるrもっと-｣rさらにL･｣(男顔的)が大切数学に限 らず, 自然科学の研究,発展にはめざま しいものがあるUでも,科学がすべてを支配するだとか,汝学が絶対のもU)のように考えるのは思い上が りだと思 う,自然科学で脈決されないことも,たくさんある.だからと言って,科竿にr}B界があるから,霞の世界のとりこになったり,占いに夢中になるのも危険だと思 う｡限られ,た如拙の中で,精一杯,ものごとの本質,真実を見極めようとする姿勢が大切だ.また,ひとつのことがわかったからといって,それで潮足 して しまったのでは進歩はない｡ もっとよい方法はないかとか,それを基に してさらに新 しい発見はないかと,意欲的に前進する態度が大切だ｡人間は,学習を続ける生き物なのです｡賢い大人になって下さい｡フLル714:tlTrlのuNにつEJq-,たTAIlだ^)■→す1いて■drbワイPq▲7リノスJ/入Iqtl･.H小†けりれ丁の実rたしuIよJTq_P｢.ー]-のt;き'CついIUjrJi]t→P1u吋.やTハのは一つり-tいLJ7ノルー･ワイkアリストノ六_THRq.)に叫仇へのEJ^r<は叩応St蓋■5日Ll∇iMな叫はqい-フ∫ル7ニーハ〇一ITt:〃咋}天は穴flじMろ壬の■白 ??‥ ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ー??? ェ????? ? ? ?????????? ? ????? ? ?? ? ? ?? ?? …【 ー ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? 】 ? ?? ?? ? ? ー ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ー ? ? ?? っ? ヮ ?? っ? ? ? ??? っ っ? ? ? ? ? ? ?? ??? ?? ‥?????? ?4.生徒の感想○なるほ ど, と思った｡失敗は成功のもと. とい うけれ ど,なんだか,やる気がわいてきた｡○私は,数学では,計算の方が得意なんだけど,それだけではいけないことがわかった｡ もう少 し,数学的な考えを持った方がいいと思った｡○やは り,数学を好きな奴も嫌いな奴も楽 しいことには目がない｡数字の時間が楽 しくて.問題がおも1_ろおか しく解けたのでよかった｡○いい話を間いたと思った｡○わからない時は,いろんな方向から見ることが大切だと思った,○ 自分は.頭が固いからあまり柔軟には考えられないけど,や ってみたい'○授業で習ったことは,自分が生きていくことについて大切だ と思 うで〇回 V7道 もいいもんだ, とい うのは勇気が出る これから何かあったとき,効 く思 う｡○私は,数学をあまり好 きではなかったけど,これからは,数学のおもしろさを見つけたい｡○私は勉強 じたいキライ じやけ-ごめん1授業をまじめに･射すてないけえ,よ うわからんかったけど,先生が楽 しそ うに話 しとるんが,おもしろかったO5.おわ りに問題行動を繰 り返す担任の生徒に.｢なんで中学校の先生, しょうるん ?Jと疑顔でFWかれて困ったことがあるっ とっさに.｢服装がおか しい,ものを散 らかすな,人に暴力をふるな｡なんて叱っているときは嫌になるよ｡でも,数学の授業で,みんなが乗ってきたときは最高に幸せよ｡｣ と答えると,彼は,｢そう言えば,先生は,数学の時間は楽 しそ うじゃなあ｡｣ と,納得 してくれたO1 78-i数学の時間が, 目先の楽 しさだけで終わっのでは,数学の知識や理解,技能を高めることはできない｡ しか し,理論ばか りで詰めていっても,低学年からつまずきは じめた生徒o?気持ちを授菜に向けさせることは難 しい｡そ うしたジレンマの中で,試みた｢卒業生に贈る授業｣であったが,8時間の授業を終えてみて,思ったより生徒の反応が良かったのに,自分でも驚いているCただ,各授業の数学的な考え方や,論理には,やや 自分勝手な見方で押 し切ったものもあ り,不安が残っている｡また.卒業前の大切な時期は,もっと問題演習に充てるべきかもしれない,とい う迷いも頭 をよぎる｡生徒指導に悩む数学科の諸先輩や後半のみなさんも多いことと思 うが,同 じ教壇に立つものとして,ご意見,ご指導がいただけたら幸いです ,主要参考文献[1]片桐塵男 ｢数学的な考え方 ･態度とその指導 1 数学的な考え方の具体化｣ 明治図番 1988[2]片桐重男 ｢数学的な考え方 ･態度とその指導 2 問題解決過程 と発問分析｣ 明治図寄 1988[3]金田数正 ｢少年数学史一致のおいたちからコンピューターまで-｣科学沓院 1977[4] 野崎昭弘 安野光雅 ｢赤いぼ うし｣童話屋 1984[5]足立恒雄 ｢フェルマーの大定理が解けた ! オイラーからワイルズの証明まで｣ 講談社 1995(平成 10年3月 18日受理)

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