森本, 治

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岡山大学耳致 ･放竿教育学会誌『パピルス』第4号 (1997年)63頁～69頁大槻多様体に類似した2次元リーマン多様体について岡山大学大学院教育学研究科数学教育専攻森本 治本始では,2次元 リーマン多様体である大槻多様体についての簡単な由来についてのべ,大槻多様体に類似 した2次元 リーマン多様体を新たに構成 し,その多様体の性質について調べたものを述べる｡また,すでに桝べられている大槻多様体の性質と比較 し,ほぼ平行な議論が成 り立っていることを示 した｡なお,本論文は旦代教授のご指削 こより,平成 8年度末に岡山大学大学院教育学研究科に提出した修士輪文を骨子としたものであるO1,はじめに大槻富之助氏は1970年以来〃+l次元単位球㌻◆1の主曲率の個数が2であるような余次元2の極小曲面の研究に関連して現れる測地線の微分方程式が nx(1-x2)祭+(普)2+(1-,2Xn,2-1)-0である､いわゆる大槻多様体0己の研究を行ってきた｡02.は単位円板DZ上の定曲率-1の リー マン計量の拡張とみなされるような計量を持つ｡そこではじめのS～1を定曲率-1の空間におきかえるとき,上記と平行な薦論が成立して,定曲率lの計量の拡張であるような2次元リーマン計量が存在し.その洲地線の方程式が余次元2の極小曲面に関連して現れる微分方程式に-敦することが期待される｡この韻文ではそれらのことが確かめられたことを報告する｡なお,大槻多様体の基本的性井を付録にまとめておく｡2.大槻多様体についてここでは,大槻多様体の現れろ過操やその定点について紹介し.また類似した多様体の定義について述べる｡球空間内の極小純分多様体について,次の定理が知られていた｡定盈Mを〃+V次元の単位球 S"'y内にimmerse(哩入)されたコンパクトな〃次元極小部分多様体とし,Jlをそのshapeopemtor(第2基本形式系).L41をAのノルムとする｡uAtl2≦責が成り立つならば,^ ≡O か IlA"2-責また, V=1で1L4日=､序ならば.Mは2個の球のRiemann横VIXV2とF'l内で合同である.ただし,dimVl=m≧1,dimV2=n-m≧】としてvl-Sm(Jf),V2-S"-(厚 )大槻氏は,この定理に対し次の間用に取り組んだ｡その間層とは. ｢fL4日の動き得る範囲をもう少 し広げたとき,次にとり得る定故値があるか,もしあるとすればそれはどんな値であるか｣である｡定盤Mは曲率丁の〃+l次元定曲率空間の極小超曲面で,各点での主曲率の個数は2であるとする｡主曲率の重視度がそれぞれMJトMでともに1より大きいとき- 63-(1)丁は正で.Mは局所的に桝次元と〃･m次元の2個の球のRiemann領である｡(2)更にMが閉じていて. M=S"◆l内にimbedされているならば.〟は一般化されたClifordtoruS. S【(Jf)XSM (yP吾とF'2(⊃S.'1)内で合同であるoこの定理は圭曲率の重複度の少なくとも一方が単純な場合を考頼すればよいことを示 しており,この砺合を桝べた結果として,2階の非絶形常備分方程式叫 1-x2)告+(普)2+(1-,2x榔 2-1)-0(E)を大槻氏が吋いた.そしてこの微分方程式の周期解の周期の性耳を明らかにした｡その過程で大槻多様体が現れる｡大槻多様体は次に定めるものである｡刀(≧2)を軽軟とし,tLU一平面の単位円板 D2 :〟2+γ2<1上でRiemann計量 :血2=(ll.2-V2)"-2Hl-y2yu2+2JLVdudy+(1-〟2)血2)をもつ多様体であり02.で表す｡この大槻多様体に類似した多様体としてuv一平面全体でRjemann計旦 :ds2=(1+u2+u2)"-21(i+u2yu2(2-1)-2uud血 +(1+u2)血21をもつ多様体とするOこの多様体を0'.2とする｡次に､以下で用いる定曲率空間のモデルS小1とH'+】の定点を示しておくO耽肘2を上el.…,C..,を基底とする線型空間とするとき,内相を① <∑7.12,.C.∑,T.2y,e,,-∑,".'12,iy.と定めるとき､S.'l=fx∈択M2;<1,X>-1)とおくoS-'1は定曲率1である｡また,(Dのかわりに内積を② <∑;:.2,.e.,∑TE',2yJe,,-∑:.I,),iy,-,..2y肘2(あるいは③ <∑T,'L2,JCi,∑T.'L2y,eJ,-∑i輔,iy.-,仇)と定めるとき,〝◆l=(∫∈陀 ■◆2;くJ,∫>≡-1)とおく｡H-'Iは定曲率- 1である03.類似した多様体の性質I.01.2の測地線ここでは0'.2の軌地線の方程式を求める｡o'.2の原点を通らない任意のDL地集の支持関敦∫(I)が満たす律分方程式(E)'を求めるOF(tL.U,V･)=〆-2tl'u2-2uzJV'十(h ue)〃r車を使い. この 関数の オイ ラー の方程 式Fp-fF,I-0により求めると'l･u2+u2)盈 -n'- E )(1･ u2-2 u度･(1･u2)(g )2)(2-2)を得る｡これが.0'.2の加地巌の微分方程式である.いま, 0'.2の任意の曲線Cに対し,その支持関数を1(I)とするとき. xとu.Vには次の関係 :y-i f-taJltlL=XSint+ycoSL u=-LCOS(+)Sinlがある｡よってこれらからnx(1'x2)告+(告)2.(1.,2xm 2+1)-0(E)Iとなり曲線Cが0'.2の湘地線であるための条件として,この微分方程式(E)■を得る｡皿.(E)'の姓何学的意味ここでは,微分方程式(E)lがどのような蝕何字的意味を衷すかを示す｡Mを〝+1次元の曲率 Cの定曲率空間,MをMの中に等長に埋入された〝次元Riemann多様体とする｡F(〟)とF(〟)はそれぞれのMとMの正規直交横綱のつくるEiberbund)eSを表す.- 64-石41石 B^(-一石 Lu)IAIB=1･2･･･〃+1は･MのF〝)上における基本 1次微分形式と接続 1次微分形式とする｡棟柵(x,eh".,C.)∈F(M)に対し,集合B=(b=(I,eh‥.,e- C..1);e.十Iを点xにおけるMの単位法線ベク トル)は自然な方法でF(M)の中にimmerseされ る｡ このimmer8ionがB上 に&^,訂^B,から折凍する1次の線分形式を,それぞれ W^ .u B^で表す｡いま,Mは〟の極小超曲面で主曲率の個数がいたるところで2佃であるとして,これを1,Ftであらわす｡1の塵襟度が乃11, ILの虎襟度が 1とすれば平均曲率〃=0より(17-1)1+FL=0 (2-1)Blこくb=(x.C,..,C..I)∈B :eb..Cr.がえの固有ベクトル)上でw Ln.1=九wo o=1,..,刀-1u)州.1=JW.=-(〟-1)1W. (2-2)である｡いこ対応する固有ベク トルのつくる〃-1次元の分布の領分多様体を局所的にW L(I)で表す｡丁=_1と仮定し,M=tT'l⊂F'2=Rn'2として考える｡このとき.次の定理を得るC定曳Mを曲率Cの〃十1次元定曲率空間M内の極小用曲面とする｡その超曲面の主曲率の府政が至るところ2佃で,うち1僻は単純であるとする｡このとき次のことが成り立つ｡(1) M仕N-1次元の動部分多様体血rlの軌跡である｡重複度が〝･lの主曲率1はhrlに沿って定数である.加rL(V)はMの中で至るところumbilicで.定曲率 (Oogli)I)2←1211の定曲率空間である0 日ま2階の常微分方程式人"一票(1')2+叫 (n-1)12-71-0を補足しているO(2)MごH ･l⊂陀"十2のとき加rl(V)tま陀M◆2内のn次元の定平面Fに 平行な〃次元平面EYv)とH''1との交わりfL山.=E-(tJ)nH '1に含まれる｡fTJL,の中心qは,Fに垂直で陀肘2の原点を通る平面E3上の平面曲線を描く｡定理の(2)の場合の点qの描く平面曲線を規H･･1⊂陀肘2=陀〝×陀2と考え.(71,.リ丁.)揺Rrの原点における動正規直交基を表すものとする｡陀2上の曲線Cを睡接線座標(t,x(E))で表せば.楳線の方向角がLの点q(t)はq-e'l(I-i)(1(I)'uJ()Jで与えられる｡ここに陀2を複素平面とみなした｡陀～'2においてC ..1-e･'.C.A-e･(I+I)とおくとq=q(I)についてq-xr7..1l∫丁 ..2,dq=7 ..1¢+∫'pLいま曲鼻Cが単位円内に含まれていると仮定し,補助関数,-JW -声 ;了石 下 を使い,曲集Cに対応して〃次元多様休〟'(C)をfT-+1内に♪-q+pT {-pJt1+1'7..I-XT..2の軌跡として定義する｡p'丁.小竹〝)I..Ia,a-pa,朋 a'.IJ示 2･(H I")2とおき.dJ)=∑LWβJである.すると,ひ.eh-.eI)は〟r(C)の点タでの正規直交滞積である｡また､u +)内でのN (C)の単位法線ベクトルは,e･･1-舌 OT.+x'T【+1)-Ji7 7【･2であり,〟e･招-7折 -PT･-x'丁 .･lHT .･2をN'lの点pでの単位法線ベクトルとして用いることにすると,(el.…,e..2)と(71,.,7..2は同じ向きを持つ正規直交基であるOー 65 -これらからw m.lニー くeo,DC..1>ニ <ーeo,de..I)J=-市 oldよって(2-2)からA=-/i二才同様にして:完 芸 若 である｡したがって.先に構成 したW (C)がH ◆lの極小超曲面である条件(〟-1)1+〟=0に代入すると,nx(1十x2)告十(普)2+(1.,2)(肘 2十1)-0(E)■となる｡ このようにして微分方程式(E)-が(2)の点qの描く平面曲農の条件として得られる｡nl.alI地線 との関係V=cuとするとZ/.=C.zJl=0より微分方程式(Ill)杏71たすのでO',2の測地貞則こなっている｡よって温点_を通る測地魚が原点 を通 る_直見_に_なっ ていji.,OL2の線素と,1で述べた極小超曲面W(C)陀■+2=陀〝×陀2と考え任意の点P(～,V)∈D2に対 し陀〝内の原点を中心として半径p-Ji+uiH)の乃-1次元球㌻ l(p)を対応 させる｡D2内の任意の曲線Cに し, nで考えるH-◆1のn次元超曲面W (C)が定まる｡このとき,W (C)の〃次元的体積は.tJtMl(C))=1-JN･(C)a･l∧..∧a'=C._I∫c√-I-(dp)2+dtJ2+dv2dL(3-1)で与えられる｡ただ し, C_Iは〝-1次元単位球51-Iの体積を表す｡(311)の右辺の積分兼に対しp2J-2(-(dp)2+dl12+dv2)=(1+y2+U2)〝~2f(1+V2yu2-2uvdfLdu+(1+u2yu21である.これは,曲曲面族遡二4iEJg)変分間鹿をl_2次元空間の胤地象旦固鰻に直 して考えることができるーことを示 している｡Cが原点を通る直弟のとき,つま りu-cuとおけるときtanE-烹 -Cとなるので定数 となりⅢにおいてW に含まれるH_である (これは全軋地助_鮎分多感体で､圭曲率の 個M Liの値が0_の場合である｡Ⅳ.(E)-の解の性質微分方程式(E)■を, 1階の微分方程式系に直すと血~訂=y"I(1+x2)意--y2I(I.x2)(n,2+1: (4-1)(4-1)の解α,州 こ対 して,(1)∫≠0(2)yt0(3) (4-1)より2y(12+72.1)i(x2.y2+1)- nl(1十12)r2+y2+1≠0 であるから両辺Lで積分するとよって lo官(x2+,2+1).-log撃y2--ト x2+a(掌 )‡(グラフ1)次に0'.2の解曲鼻の方複式(1-1)を原点を通〟=rcos8,が=rsin8とおくと次の2階常微分方程式を得るo- 6 6 -Y(1+r2)砦-((～'2y2+21(忠)2ィ2(1+′2)(nr2+1)≡0これを1階の常微分方程式系に直すと,dr苗=W%-% W2.,(n,2.1)これから2(〃′2.1)意(譜忘 1--市布一方2(〝2.1)ま(Th 1--両:市である｡よって第 1領分として(i)2-clr.(1'r2)".,2(I.,2)を得る｡4.頼果ここでは, 3. 1-Ⅳで得 られた結果についてまとめた｡(1)OL2の測地線の微分方程式は(1･u2+V2)忠-～(- 2'(1･V2-2u度･(1･W2)(f )21であり,これに対し任意の測地線の支持関数x(i)の満たす練分方程式は.nx(1+x2)告 +(普)2.(1.x2)(nx2.1)-0であるO(2)微分方捜式(E)-はR.'2内のn次元の定平面E'に平行なれ次元平面F(V)とSか lとの交わりN '),の中心qの描く平面曲線を規制する条件である｡(3)原点を通る測地線が原点を通る直線になっている｡(4)Lt''1の〃次元超曲面族N (C)の変分間掛 ま2次元空間0'.2の沸地顔の間籍に直して考えることができる｡(5)Cが原点を通る直線の時,〝次元超曲面M'(QはH''1に含まれるHlであり,N (C)は全測地的部分多様体で.主曲率の個散が l個,主曲率の値が0である｡これ らが,0'.2の性質について調べた結果である｡今回調べることのできた性質については.付俺に載せている大槻多様体の性質と比較すると.o'.2の類似した性紫やほぼ平行した性質を持っていることが分かるoまた(I)から,01.2の測地線の方程式が余次元 2の極小曲面に関連 して現れる微分方程式に一致 している｡ これ らのことから,0…と0'.2は平行して研究されるべき多様体であると思われる｡今回.時間の都合上あま り多くの性質について調べることが出来なかった｡ したがってまだより多くの類似点や平行な性質を示すことが出来ていたのではないかと思 う｡これからこの研究で得た経験を,穀何教育に役たてていきたい｡主要参考文献〔日 付上信吾 者 『穀何概論J) (数学選書 7) 1984 裳華房〔2] 丹野修吉 事 『多様体の微分幾何』1976 実教出版[3] 大槻官之助 :微分幾何に登場 したある微分方程式について日本数学学会編集 『敢学』 第25巻第2号 97-109 1973-67-付録3I.大槻多様体の性質l'.0三の測地線0.2の軌地線の微分方程式は(1-〟2-〝2虐-"(-= 穏 )【トy2+2u嘘 +(ト"2嘘 )2(1-1)Iである｡0三の任音の曲線Cに対 し,その支持開放をx(I)とするとき,叫 1-∫2濫 +(告)2+(ト'2)(A.2-1)-0(E)となり曲線Cが0芝の軌地線であるための射 牛として,牡分方捜式(E)を得る.u'.(E)の姓何学的意味口の(*)までは同様である｡丁 =1と仮定 し, さらにM=S^ +1⊂E"'2=R''2を考える｡このとき次の定理が成 り立つ｡1■◆Mを曲串丁の〃+1次元定曲率空間M内の庵小感曲面とする｡その月曲面の圭曲率の個散が至るところ2僻で,うち1僻は単純であるとする｡ このとき次のことが成 り立っ｡(1) Mはnll次元の動部分多様体〟 -】の軌跡である｡重複度が〝-1の主曲率 1はN 'tに沿って定故である｡九｢L(V)はの中で至るところumbilicで,定曲率 ((Jog}i)I)2.}2+】の曲率 空間である｡1は2侍の常微分方程式1′一票 (}')2+nlKn-1)12-7〉-0を満足しているb(2) M=SMl⊂RH2のとき〟■.I(V)はRJ◆2内のガ次元の定平面E-に平行な〃次元平面E.(V)とS-◆1との交わりS"-I.=EI(V)nS'+1に含まれる｡S+I,の中心qは,Fに垂直でR'◆2の原点を通る平面Ee上の平面曲線を描く｡n次元多様体〟'(C)を次のように定義するoR2上の曲線Cが単位円内に含まれていると仮定して,補助 関数 ,･Jこて評 -JTm を使い,曲線Cに対応 してW(C)をS-◆l内に~ I- I~ 一~♪=q+pe'=pC～+Xe肘1-LCM2の軌跡として定義する｡こうして､定理の(2)の塘合の点qの描 く平面曲良を規制するとその条件は,nx(112)告+(普)2+(ト x2)(nx2-1)-0 (E)となる｡u-.軌地魚 との関係PZ:C〟とするとvr=C,V.■=0より微分方程式(2-2)を満たすので0三の耕地魚になっている｡よって原点を適う池地Jiが阻虹円kD戌の直後になって皇上且.OoZの爺薫と, 打■で述べた極小超曲面〟'(C)打◆1=R'xR2と考え任意の点P(～,q)∈D2に対 しR･内の原点を中心 として半径p=Jl-y2-~U2のか1次元球S-I(p)を対応 させるoD2内の任官の曲線Cに対 し, ロ でー考えるS-'lの〃次元埴曲面〟Yoが定まる｡このとき,〟{(C)の〝次元的体積は.V(W (C)-卜 JAP(C)a･l∧･‥∧a･(3-1)-で与えられるOただし. Cかlはか1次元単位球S-iの体積を表すO(3-1)の右辺の頼分乗に対しp2■~2(dp)2+血2+dv2)=(1-IL2-V2)〝~2((1-V2ytL2+2zLVdfLdl′+(1-IL2)血2Iである｡ これ より,超曲面族妊 (!ユの変分間魔を_.2次 元中間の軌地点の閏鹿に直して考えることができるへー 68 -付線Cが直径のとき,つまりu=clとおけるときtaut-慧 -Cとなるので正数とな川 において姓id且地 太且である｡これはま軌地的如分多壌鮎 ⊥放出且の畢合であるolVJ.(E)の解の性質微分方程式(E)揺. 1階の微分方程式系に直すと血~訂=y"x(x2-1)富-72-(.2-1)(〟,2-1) (4-1).(4-1)10)任意の舶(I.y)に対して,(1) x-0ならば,y=±l(2)∫岩±1ならば,y=0(3) x=一定数ならば.J≡0で,1x≡±1または 土~耳(4) x(1-x2)≠Oならば.x2+72≡1であるか常にx2+y2≠1さらに(a) x2+72≡1の場合,x-sin(t+C),y=cos(I+C)(b) x2+y2≠1の場合y2-i-,2-C(等 ｣)与ここに,CとCは積分定数o(4)の(b)場合は(4-1)●からi(i-x2ly2)-蕊 (ト x2ly2)という関係が成り立ち,これから(4)〟(b)を示すことができるd (グラフ2)微分方程式(3-1)の非定散蛎(x(I).y(E))で,単位∩板 :x2+ye<1内にあるものは,周期的であるd解曲線はx軸に関して対称で,点(､仔.0)または(一作 ,0)の周りを回る単純な閉曲線で0三G')測地線の方程式(1-I)■を凧在を油らないものzL=TrCOSO,u=rsinβと置くと,次の2階の常微分方程式を得る｡'(1-'2)藷十(("･2)r2-2鳩 )2十γ2(I-γ2)(れγ2-1)=0これを1階の常微分方程式系に直すと,Lb･~諒 = tL]雷-砦 W2-Y(nr2-i)これの節 1積分として(忠)2-clr4(1-,2)n一′2(i-r2)を得る｡グヲ7 1(C･や 暮.rl-61グヲ7 2 (C叫 1!.H･=)(平成 9年3月31日受理)-69-

大槻多様体に類似した2次元リーマン多様体について

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