Dans le procédé du rotomoulage, le phénomène physique majeur lors de l’écoulement des poudres est la coalescence et densification des grains. La coalescence est la formation d’une seule particule elliptique à partir de deux particules sous l’effet de la température et des forces de tension surfacique. Nous intéressons dans cette étude en particulier au mécanisme de coalescence des grains de poudre de PVDF. Les résultats de cette étude permettent de déterminer des paramètres tel que la vitesse de la coalescence pour l’optimisation du procédé

DELMOTTE, Michel

DOUADJI, Lyes

DU, Weiwei

MAZABRAUD, Philippe

TCHARKHTCHI, Abbas

French

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Science Arts & Métiers (SAM)is an open access repository that collects the work of Arts et Métiers ParisTechresearchers and makes it freely available over the web where possible.This is an author-deposited version published in: http://sam.ensam.euHandle ID: .http://hdl.handle.net/10985/6627To cite this version :Weiwei DU, Lyes DOUADJI, Michel DELMOTTE, Philippe MAZABRAUD, Abbas TCHARKHTCHI- Modélisation du mécanisme de coalescence des grains de polymère - 2007Any correspondence concerning this service should be sent to the repositoryAdministrator : archiveouverte@ensam.eu  Modélisation du mécanisme de coalescence des grains de polymère.   Weiwei DU1, Lyes DOUADJI2*, Michel DELMOTTE2, Philippe MAZABRAUD3,  Abbas TCHARKHTCHI2  1 Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures (LaMCoS), INSA de Lyon, Bâtiment Jean d'Alembert, 18-20, rue des Sciences, 69621 VILLEURBANNE CEDEX 2 Laboratoire d’Ingénierie des Matériaux (LIM), ENSAM, 151, bd de l’Hôpital 75013 Paris *(auteur correspondant : lyes.douadji@paris.ensam.fr) 3 Laboratoire des matériaux Organiques et Diélectriques (LOD) du CEA, Centre du Ripault  Résumé : Dans le procédé du rotomoulage, le phénomène physique majeur lors de l’écoulement des poudres est la coalescence et densification des grains. La coalescence est la formation d’une seule particule elliptique à partir de deux particules sous l’effet de la température et des forces de tension surfacique. Nous intéressons dans cette étude en particulier au mécanisme de coalescence des grains de poudre de PVDF. Les résultats de cette étude permettent de déterminer des paramètres tel que la vitesse de la coalescence pour l’optimisation du procédé.   Nomenclature  VOF Volume de fluide  A Vitesse de monter en température, K.s-1 B constante, K X Longueur de Neck, m r Rayon d’un grain sphérique, m t Temps, s Tf Température de fusion, K Tg Température de transition vitreuse, K R Constante des gaz parfaits, J.mol-1.K E Energie d’activation, J.mol-1 TC Température critique, K Symboles grecs 0η  Viscosité lorsque la température tend vers l’infini, Pa.s η  Viscosité du matériau, Pa.s γ  Tension superficielle, Nm-1 0γ  Tension superficielle à 0°C, Nm-1 τ  Temps de relaxation du polymère, s  1. Introduction  Le rotomoulage est une technique de fabrication qui permet, à partir de poudre de polymère, de fabriquer des pièces creuses [1-5]. Un des phénomènes importants qui gouverne le procédé de rotomoulage est la coalescence des grains. La coalescence est la formation d’une seule particule elliptique à partir de deux particules sous l’effet de la température et des forces de tension superficielle. Ce phénomène est déjà largement étudié dans les domaines de la céramique et des matériaux métalliques. Mais dans le cas des polymères, en particulier, au cours du procédé de rotomoulage, la littérature reste encore modeste.   Le matériau que nous utilisons pour cette étude est poly fluorure de vinylidèns (-CH2-CF2). Les propriétés du PVDF conviennent à la fabrication de conteneurs de produits chimiques. Ses bonnes propriétés chimiques et électriques sont les principales raisons de son utilisation.  Cette étude concerne la modélisation du mécanisme de coalescence des grains de poudre de PVDF dans le rotomoulage. Les résultats de cette modélisation permettent de déterminer des paramètres tels que la vitesse de la coalescence pour l’optimisation du procédé. Plusieurs Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007  modèles mathématiques ont été proposés [6-13]. Dans ce travail nous avons utilisé le modèle de LONTZ qui tient compte de l’aspect viscoélastique du polymère. Le choix de PVDF comme matériau d’étude est en raison de son aptitude au rotomoulage et pour sa granulométrie sphérique adaptée au modèle Lontz qui nous a servi à déterminer en particulier les vitesses de coalescence de poudre.  L’étude de l’écoulement du matériau au cours de la coalescence des grains de poudre de PVDF a été rapprochée de l’écoulement d’un fluide non-newtonien. Un modèle numérique de calcul par Volume of Fluid (VOF) a été utilisé à l’aide de FLUENT (un logiciel de CFD), pour permettre le calcul du comportement bidimensionnel d’un fluide au cours de la coalescence. Une étude expérimentale a été réalisée pour valider cette modélisation.   2. Le phénomène de la coalescence et le modèle de Lontz  Un des problèmes majeurs des rotomouleurs est la présence de porosités dans les pièces. Elles nuisent à leur aspect et aux propriétés mécaniques du matériau. L’air emprisonné entre les grains conduit à la formation de bulles dont il est difficile de se débarrasser en absence de pression (figure 1). A haute température et proche du point de fusion, les particules de poudre commencent par fusionner entre elles réduisant ainsi leur surface totale. Ce phénomène entraîne une diminution du volume de la poudre. En théorie la densification de la poudre se déroule suivant deux étapes, la coalescence des particules, suivie de la formation et de la dissolution des bulles.    Figure 1 : Empilement de grains au contact d’un support chauffant  Le phénomène de la coalescence commence à la température de diffusion du polymère. Il passe par quatre phases. A la première phase, les deux particules de poudre sont soit en contact, soit rapprochées, et la température de chauffage est inférieure à la température de fusion du polymère. A la deuxième phase, la température des grains atteint le point de fusion; c’est alors le début du phénomène de la coalescence. Ce phénomène physique est gouverné par le poids et la tension superficielle des particules. Les grains commencent à fusionner entre eux. Il se forme un pont reliant les particules (une interface commune) qui s’appelle le Neck. La troisième phase est caractérisée par la croissance de cette interface. Dans la dernière phase, la particule acquiert sa forme finale et pendant laquelle la vitesse de croissance du Neck diminue. La forme de la particule peut ensuite évoluer encore sous l’influence de son propre poids et des forces de tension superficielle.  Figure 2 : Les deux grains du modèle Lontz  Lontz a proposé un modèle où le phénomène de coalescence est lié aux propriétés viscoélastiques du polymère [8].  )1(2)3(2τηγtetrX−−=      (1) Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007  avec r le rayon de la graine, X la longueur de Neck,  la tension superficielle,  la viscosité et  temps de relaxation  3. Application du modèle de Lontz sur le PVDF  La maîtrise de l’élaboration des pièces en polymères par le procédé de rotomoulage nécessite de connaître préalablement le polymère en question. Comme mentionné précédemment, le matériau que nous utilisons pour cette étude est le PVDF. Les propriétés du polymère de notre étude sont présentées dans le tableau 1, et les évolutions de la viscosité et la tension superficielle du PVDF en fonction de la température sont données dans la figure 3.    Tf Tt  kg.m-3 K K PVDF 1,76.103 à 1,78.103 438 à 451 231 à -254 Tableau 1 : Les caractéristiques thermiques de PVDF  4100415042004250430043504400445045004550446,5 447 447,5 448 448,5 449 449,5 450 450,5 451 451,5Température (K)Viscosité (Pa.s)14,214,2514,314,3514,414,45Tension superficielle (mJ.m-²)ViscositéTension superficielle Figure 3 : La viscosité et la tension superficielle en fonction de la température de PVDF  Dans cette étude, la relation de l’évolution de la température en fonction de temps, les relations de la viscosité et de la tension superficielle du PVDF en fonction de la température sont données respectivement par les relations (2), (3) et (4). Dans cette condition, le modèle de Lontz peut être représenté par l’équation (5).  T = at + b      (2)  −=RTEexp0ηη       (3) 9110 1 ~~−=cTTγγ       (4) t)te(102 b)R(atEexp911)cTbat(103 r2X−−~~++−=    (5)  Avec a = 1 °C.min-1, b = 447 K (Issu des conditions d’essais), Tc = 873 K,  = 0.5s, 0=0.03 Pa.s, 0 = 34.6 N/m et E/R = -3887.5 K (déterminé par des essais de rhéologie).  Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007  4. Etude expérimentale de l’écoulement de la coalescence  Pour étudier expérimentalement la coalescence, il faut un dispositif apte à faire des observations à l’échelle du micron et un logiciel pour prendre des mesures précises à l’échelle du micron également. L’expérience se déroule comme suit : Sur un support en aluminium nous étalons la poudre de PVDF et puis nous introduisons le tout dans la micro platine chauffante. Nous imposons à cette dernière une rampe de température de 10 °C/min jusqu’à 165°C, puis une seconde de 1°C/min jusqu’à la température de fusion du matériau. A l’aide de microscope optique nous observons les différentes phases du phénomène de la coalescence et à l’aide de la caméra nous enregistrons ce que nous observons.  5. Simulation numérique de l’écoulement de la coalescence  Pour modéliser l’écoulement de la coalescence nous avons choisi deux modèles. Un modèle du transfert thermique représenté par l’équation de l’énergie suivante : [ ] hjeffjjeffT svjhTkPEVEt +	+−∇∇=+∇+∂∂ ).()(.)(τρρ   (6) et un modèle VOF (Volume Of Fluide) représenté par l’équation de conservation de la fraction volumique (7) et l’équation de conservation de quantité de mouvement (8) nann nSvt ραα=∇+∂∂      (7) [ ] Fgvvpvvtv T ++∇+∇∇+−∇=∇+∂∂ ρµρρ )().()(   (8) Dans les équations de conservation, les propriétés comme la densité et la viscosité sont déterminées à partir des propriétés intrinsèques de chaque phase en chaque point du domaine. Dans un écoulement bi-phasique, par exemple, de phase 1 et 2 respectivement, si la fraction volumique de la seconde phase est connue [14], la densité en chaque cellule est indiquée par :  1222 ).1(. ραραρ −+=      (9)  Nous avons besoin pour la simulation des caractéristiques thermiques du polymère, de la plaque chauffante et de l’environnement (tableau 2).    Cp K η  Mm  k g m - 3 Jkg-1K-1 W m -1K-1 Kgm-1s-1 Kg.mol-1 PVDF 1780 1214.17 2 2.7528 à T= 444k 2.5280 à T= 447k 64 Air  1.225 1006.43 0.0242 1.7894e-05 28.966 Support 2719 871 202.4   Tableau 2 : Les caractéristiques thermiques du polymère, de la plaque chauffante et de l’environnement (air). 6. Résultats et discussions   Les figures 4 et 5 représentent respectivement les résultats expérimentaux et les résultats de la modélisation de l’évolution des phases au cours de la coalescence.   La figure 5 représente l’évolution des phases au cours de la coalescence pour un domaine ‘ouvert’. Nous avons défini le domaine de calcul comme un tuyau d’air et on a défini que les vitesses aux frontières gauche et droite sont nulles, les pressions aux frontières gauche et Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007  droite sont à 1 atm. Pendant le calcul on a remarqué que les deux grains sont chauffés moins vite à cause de la perte de la chaleur. D’après la forme ellipsoïde finale des grains, les résultats de ce calcul sont plus proches des résultats expérimentaux. Vu les difficultés de mise en oeuvre des expériences, ces résultats ont été obtenus sur un plan horizontal différent de notre simulation en vue de face (plan vertical). Pour cette raison que on ne voir pas la bulle d’air sur les résultats expérimentaux.   Figure 4 : Résultats de la coalescence obtenus par l’expérience    Figure 5 : Résultats de la coalescence obtenus par la modélisation                 Figure 6 : l’évolution du rapport de rayon de Neck sur le rayon du grain en fonction du temps  La vitesse de la coalescence obtenue par modélisation a été effectuée en deux dimensions. Elle ne prend pas en compte les effets volumétriques dans la troisième direction existant dans le modèle réel. Ce ci explique le fait que la vitesse de la coalescence obtenue lors de la simulation CFD est supérieure par rapport au modèle théorique de Lontz et aux essais expérimentaux.  La figure 6, représente l’évolution du rapport de rayon de Neck sur le rayon du grain en fonction du temps. On remarque sur cette figure que le modèle de Lontz, au bout d’un certain temps, ne présente pas l’évolution de rayon de Neck. Car comme a été expliqué précédemment que ce rayon doit être diminué.  Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007  Conclusion  Cette étude concerne la modélisation par volume finis de la coalescence des grains de polymère dans le procédé du rotomoulage a permit de tirer les conclusions suivantes. L’application du modèle de Lontz qui prend en compte l’aspect viscoélastique du polymère du matériau choisi pour cette étude est bien représentative de la réalité et aux résultats expérimentaux. La vitesse de la coalescence obtenue par la CFD est supérieure aux vitesses obtenues par le modèle théorique de Lontz et les essais expérimentaux. Cette modélisation a été effectuée en deux dimensions. Elle ne prend pas donc en compte les effets volumétriques dans la troisième direction effets qu’ils existent dans le processus réel (expérimental). La simulation de la coalescence des grains de polymère par volume finis en utilisant FLUENT, ne prend pas en considération les modèles mathématiques proposés dans la littérature. L’intégration de ces derniers dans le logiciel va permettre de bien simuler la coalescence et de la comparer aux essais. Les résultats des simulations en deux dimensions obtenues sur FLUENT dans cette étude sont une première. Il n’existe pas à notre connaissance des travaux similaires. Nous disposons d’une série des résultats expérimentaux mais les résultats théoriques doivent être approfondir. Les résultats obtenus dans cette étude sont représentatifs de la coalescence de deux grains, mais ils restent à les améliorer. La modélisation de la coalescence des grains de polymère par volume finis, exige un temps trop long qui va jusqu'à des semaines et nécessite un outil informatique très puissant.  Cependant le point faible est utilisation d’un logiciel commercial qui a notre avis reste une boite noire sans donner l’accès au programme de simulation. Nous envisageons de réaliser ce programme de simulation par nous même en deux et trois dimensions.  Références   [1] Abbas Tcharkhtchi, Rotomoulage de pièces en matière thermoplastique, AM3 706-1, Techniques de l’Ingénieur. [2] Crawford R.J., "Rotationnal Moulding of Plastic", Research Studies Press LTD, J. Willey & Sons Inc., Second  Edition, Chap. 1, 3 and 9, 1996 [3] Aramazotti D., "Rotational Moulding", Plastics Products Design Handbook, ed. E. Miller, Marcel Dekker, New York, 1983 [4] Zonszain I., "Rotomoulage peu connu mais performant", Plastiques modernes et élastomères, Vol. 50, N° 9, 1998 [5] Oliveira M. J., Cramez M. C.,"Rotational molding of polyolefins: Processing, morphology, and properties", J. macromol. sci., Phys., Vol. 40, N° 3-4, 457-471, 2001 [6] J. Frenkel, J. Phys. (USSR) 9 (1945) 385. [7] J. Frenkel. Viscous flow of crystalline bodies under the action of surface tension. Journal of Physics, IX (5):385–391, 1945. [8] Xu L., Crawford R. J., "Analysis of the formation and removal of gas bubbles in rotationally moulded thermoplastics", J.  Mat. Sci., 28, 2067-2074, 1993 [9] Rao M.S., Throne J.L. "Theory of Rotational Molding-Part II: Sinter melting and degradation", SPE-ANTEC tech. p 759-671, 1972 [10] Liu S. J., "A Study of the Sintering Behavior of Polyethylene", Rotation, p 20-31, winter 1996 [11] Spence A.G., Crawford R.J., "The Effect of Processing Variables on the Formation and Removal of Bubbles in Rotationally Molded Products", Poly. Eng. & Sci. 36, p 993-1009, 1996  [12] Hopper RW (1984) Coalescence of two equal cylinders: exact results for creeping viscous plane flow driven by capillarity. Comm Am Ceram Soc 67:C262–C264 [13] C.T. Bellehumeur, Polymer sintering and its role in rotational molding, thesis, Hamilton, Canada, 1997  [14] Fluent 6.2 User’s Guide, January 2005. Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007

Modélisation du mécanisme de coalescence des grains de polymère

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Weiwei DU, Lyes DOUADJI, Michel DELMOTTE, Philippe MAZABRAUD, Abbas TCHARKHTCHI
- Modélisation du mécanisme de coalescence des grains de polymère - 2007
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Modélisation du mécanisme de coalescence des 
grains de polymère. 
 
 
Weiwei DU1, Lyes DOUADJI2*, Michel DELMOTTE2, Philippe MAZABRAUD3,  
Abbas TCHARKHTCHI2 
 
1
 Laboratoire de Mécanique des Contacts et des Structures (LaMCoS), INSA de Lyon, Bâtiment Jean 
d'Alembert, 18-20, rue des Sciences, 69621 VILLEURBANNE CEDEX 
2
 Laboratoire d’Ingénierie des Matériaux (LIM), ENSAM, 151, bd de l’Hôpital 75013 Paris 
*(auteur correspondant : lyes.douadji@paris.ensam.fr) 
3
 Laboratoire des matériaux Organiques et Diélectriques (LOD) du CEA, Centre du Ripault 
 
Résumé : Dans le procédé du rotomoulage, le phénomène physique majeur lors de l’écoulement des 
poudres est la coalescence et densification des grains. La coalescence est la formation d’une seule 
particule elliptique à partir de deux particules sous l’effet de la température et des forces de tension 
surfacique. Nous intéressons dans cette étude en particulier au mécanisme de coalescence des grains 
de poudre de PVDF. Les résultats de cette étude permettent de déterminer des paramètres tel que la 
vitesse de la coalescence pour l’optimisation du procédé.  
 
Nomenclature 
 
VOF Volume de fluide  
A Vitesse de monter en température, K.s-1 
B constante, K 
X Longueur de Neck, m 
r Rayon d’un grain sphérique, m 
t Temps, s 
Tf Température de fusion, K 
Tg Température de transition vitreuse, K 
R Constante des gaz parfaits, J.mol-1.K 
E Energie d’activation, J.mol-1 
TC Température critique, K 
Symboles grecs 
0η  Viscosité lorsque la température tend vers 
l’infini, Pa.s 
η  Viscosité du matériau, Pa.s 
γ  Tension superficielle, Nm-1 
0γ  Tension superficielle à 0°C, Nm-1 
τ  Temps de relaxation du polymère, s 
 
1. Introduction 
 
Le rotomoulage est une technique de fabrication qui permet, à partir de poudre de 
polymère, de fabriquer des pièces creuses [1-5]. Un des phénomènes importants qui gouverne 
le procédé de rotomoulage est la coalescence des grains. La coalescence est la formation 
d’une seule particule elliptique à partir de deux particules sous l’effet de la température et des 
forces de tension superficielle. Ce phénomène est déjà largement étudié dans les domaines de 
la céramique et des matériaux métalliques. Mais dans le cas des polymères, en particulier, au 
cours du procédé de rotomoulage, la littérature reste encore modeste.  
 
Le matériau que nous utilisons pour cette étude est poly fluorure de vinylidèns (-CH2-
CF2). Les propriétés du PVDF conviennent à la fabrication de conteneurs de produits 
chimiques. Ses bonnes propriétés chimiques et électriques sont les principales raisons de son 
utilisation. 
 
Cette étude concerne la modélisation du mécanisme de coalescence des grains de poudre 
de PVDF dans le rotomoulage. Les résultats de cette modélisation permettent de déterminer 
des paramètres tels que la vitesse de la coalescence pour l’optimisation du procédé. Plusieurs 
Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007
  
modèles mathématiques ont été proposés [6-13]. Dans ce travail nous avons utilisé le modèle 
de LONTZ qui tient compte de l’aspect viscoélastique du polymère. Le choix de PVDF 
comme matériau d’étude est en raison de son aptitude au rotomoulage et pour sa 
granulométrie sphérique adaptée au modèle Lontz qui nous a servi à déterminer en particulier 
les vitesses de coalescence de poudre. 
 
L’étude de l’écoulement du matériau au cours de la coalescence des grains de poudre de 
PVDF a été rapprochée de l’écoulement d’un fluide non-newtonien. Un modèle numérique de 
calcul par Volume of Fluid (VOF) a été utilisé à l’aide de FLUENT (un logiciel de CFD), 
pour permettre le calcul du comportement bidimensionnel d’un fluide au cours de la 
coalescence. Une étude expérimentale a été réalisée pour valider cette modélisation.  
 
2. Le phénomène de la coalescence et le modèle de Lontz 
 
Un des problèmes majeurs des rotomouleurs est la présence de porosités dans les pièces. 
Elles nuisent à leur aspect et aux propriétés mécaniques du matériau. L’air emprisonné entre 
les grains conduit à la formation de bulles dont il est difficile de se débarrasser en absence de 
pression (figure 1). A haute température et proche du point de fusion, les particules de poudre 
commencent par fusionner entre elles réduisant ainsi leur surface totale. Ce phénomène 
entraîne une diminution du volume de la poudre. En théorie la densification de la poudre se 
déroule suivant deux étapes, la coalescence des particules, suivie de la formation et de la 
dissolution des bulles. 
 
 
 
Figure 1 : Empilement de grains au contact d’un support chauffant 
 
Le phénomène de la coalescence commence à la température de diffusion du polymère. Il 
passe par quatre phases. A la première phase, les deux particules de poudre sont soit en 
contact, soit rapprochées, et la température de chauffage est inférieure à la température de 
fusion du polymère. A la deuxième phase, la température des grains atteint le point de fusion; 
c’est alors le début du phénomène de la coalescence. Ce phénomène physique est gouverné 
par le poids et la tension superficielle des particules. Les grains commencent à fusionner entre 
eux. Il se forme un pont reliant les particules (une interface commune) qui s’appelle le Neck. 
La troisième phase est caractérisée par la croissance de cette interface. Dans la dernière phase, 
la particule acquiert sa forme finale et pendant laquelle la vitesse de croissance du Neck 
diminue. La forme de la particule peut ensuite évoluer encore sous l’influence de son propre 
poids et des forces de tension superficielle. 
 
Figure 2 : Les deux grains du modèle Lontz 
 
Lontz a proposé un modèle où le phénomène de coalescence est lié aux propriétés 
viscoélastiques du polymère [8]. 
 
)1(2
)3(2
τη
γ
t
e
t
r
X
−
−
=      (1) 
Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007
  
avec r le rayon de la graine, X la longueur de Neck,  la tension superficielle,  la viscosité et 
 temps de relaxation 
 
3. Application du modèle de Lontz sur le PVDF 
 
La maîtrise de l’élaboration des pièces en polymères par le procédé de rotomoulage 
nécessite de connaître préalablement le polymère en question. Comme mentionné 
précédemment, le matériau que nous utilisons pour cette étude est le PVDF. Les propriétés du 
polymère de notre étude sont présentées dans le tableau 1, et les évolutions de la viscosité et 
la tension superficielle du PVDF en fonction de la température sont données dans la figure 3. 
 
  Tf Tt 
 kg.m-3 K K 
PVDF 1,76.103 à 1,78.103 438 à 451 231 à -254 
Tableau 1 : Les caractéristiques thermiques de PVDF 
 
4100
4150
4200
4250
4300
4350
4400
4450
4500
4550
446,5 447 447,5 448 448,5 449 449,5 450 450,5 451 451,5
Température (K)
Vi
s
co
s
ité
 
(P
a.
s)
14,2
14,25
14,3
14,35
14,4
14,45
Te
n
s
io
n
 
s
u
pe
rfi
c
ie
lle
 
(m
J.
m
-
²)
Viscosité
Tension superficielle
 
Figure 3 : La viscosité et la tension superficielle en fonction de la température de PVDF 
 
Dans cette étude, la relation de l’évolution de la température en fonction de temps, les 
relations de la viscosité et de la tension superficielle du PVDF en fonction de la température 
sont données respectivement par les relations (2), (3) et (4). Dans cette condition, le modèle 
de Lontz peut être représenté par l’équation (5). 
 
T = at + b      (2) 





 −
=
RT
E
exp0ηη       (3) 
9
11
0 1 


~~


−=
cT
Tγγ       (4) 
t
)
t
e(102 
b)R(at
E
exp9
11
)
cT
bat(103 
r
2X
−
−



~~


+
+
−
=    (5) 
 
Avec a = 1 °C.min-1, b = 447 K (Issu des conditions d’essais), Tc = 873 K,  = 0.5s, 
0=0.03 Pa.s, 0 = 34.6 N/m et E/R = -3887.5 K (déterminé par des essais de rhéologie). 
 
Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007
  
4. Etude expérimentale de l’écoulement de la coalescence 
 
Pour étudier expérimentalement la coalescence, il faut un dispositif apte à faire des 
observations à l’échelle du micron et un logiciel pour prendre des mesures précises à l’échelle 
du micron également. L’expérience se déroule comme suit : Sur un support en aluminium 
nous étalons la poudre de PVDF et puis nous introduisons le tout dans la micro platine 
chauffante. Nous imposons à cette dernière une rampe de température de 10 °C/min jusqu’à 
165°C, puis une seconde de 1°C/min jusqu’à la température de fusion du matériau. A l’aide 
de microscope optique nous observons les différentes phases du phénomène de la coalescence 
et à l’aide de la caméra nous enregistrons ce que nous observons. 
 
5. Simulation numérique de l’écoulement de la coalescence 
 
Pour modéliser l’écoulement de la coalescence nous avons choisi deux modèles. Un 
modèle du transfert thermique représenté par l’équation de l’énergie suivante : 
[ ] h
j
effjjeffT svjhTkPEVEt +
	




+−∇∇=+∇+
∂
∂
 ).()(.)(

τρρ   (6) 
et un modèle VOF (Volume Of Fluide) représenté par l’équation de conservation de la 
fraction volumique (7) et l’équation de conservation de quantité de mouvement (8) 
n
a
n
n n
S
v
t ρα
α
=∇+
∂
∂ 
     (7) 
[ ] Fgvvpvv
t
v T 

++∇+∇∇+−∇=∇+
∂
∂ ρµρρ )().()(   (8) 
Dans les équations de conservation, les propriétés comme la densité et la viscosité sont 
déterminées à partir des propriétés intrinsèques de chaque phase en chaque point du domaine. 
Dans un écoulement bi-phasique, par exemple, de phase 1 et 2 respectivement, si la fraction 
volumique de la seconde phase est connue [14], la densité en chaque cellule est indiquée par : 
 
1222 ).1(. ραραρ −+=      (9) 
 
Nous avons besoin pour la simulation des caractéristiques thermiques du polymère, de la 
plaque chauffante et de l’environnement (tableau 2). 
 
  Cp K η  Mm 
 k g m - 3 Jkg-1K-1 W m -1K-1 Kgm-1s-1 Kg.mol-1 
PVDF 1780 1214.17 2 2.7528 à T= 444k 
2.5280 à T= 447k 
64 
Air  1.225 1006.43 0.0242 1.7894e-05 28.966 
Support 2719 871 202.4   
Tableau 2 : Les caractéristiques thermiques du polymère, de la plaque chauffante et de 
l’environnement (air). 
6. Résultats et discussions  
 
Les figures 4 et 5 représentent respectivement les résultats expérimentaux et les résultats 
de la modélisation de l’évolution des phases au cours de la coalescence.  
 
La figure 5 représente l’évolution des phases au cours de la coalescence pour un domaine 
‘ouvert’. Nous avons défini le domaine de calcul comme un tuyau d’air et on a défini que les 
vitesses aux frontières gauche et droite sont nulles, les pressions aux frontières gauche et 
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droite sont à 1 atm. Pendant le calcul on a remarqué que les deux grains sont chauffés moins 
vite à cause de la perte de la chaleur. D’après la forme ellipsoïde finale des grains, les 
résultats de ce calcul sont plus proches des résultats expérimentaux. Vu les difficultés de mise 
en oeuvre des expériences, ces résultats ont été obtenus sur un plan horizontal différent de 
notre simulation en vue de face (plan vertical). Pour cette raison que on ne voir pas la bulle 
d’air sur les résultats expérimentaux. 
 
 
Figure 4 : Résultats de la coalescence obtenus par l’expérience  
 
 
Figure 5 : Résultats de la coalescence obtenus par la modélisation  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figure 6 : l’évolution du rapport de rayon de Neck sur le rayon du grain en fonction du temps 
 
La vitesse de la coalescence obtenue par modélisation a été effectuée en deux dimensions. 
Elle ne prend pas en compte les effets volumétriques dans la troisième direction existant dans 
le modèle réel. Ce ci explique le fait que la vitesse de la coalescence obtenue lors de la 
simulation CFD est supérieure par rapport au modèle théorique de Lontz et aux essais 
expérimentaux. 
 
La figure 6, représente l’évolution du rapport de rayon de Neck sur le rayon du grain en 
fonction du temps. On remarque sur cette figure que le modèle de Lontz, au bout d’un certain 
temps, ne présente pas l’évolution de rayon de Neck. Car comme a été expliqué 
précédemment que ce rayon doit être diminué. 
 
Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007
  
Conclusion 
 
Cette étude concerne la modélisation par volume finis de la coalescence des grains de 
polymère dans le procédé du rotomoulage a permit de tirer les conclusions suivantes. 
L’application du modèle de Lontz qui prend en compte l’aspect viscoélastique du polymère 
du matériau choisi pour cette étude est bien représentative de la réalité et aux résultats 
expérimentaux. La vitesse de la coalescence obtenue par la CFD est supérieure aux vitesses 
obtenues par le modèle théorique de Lontz et les essais expérimentaux. Cette modélisation a 
été effectuée en deux dimensions. Elle ne prend pas donc en compte les effets volumétriques 
dans la troisième direction effets qu’ils existent dans le processus réel (expérimental). La 
simulation de la coalescence des grains de polymère par volume finis en utilisant FLUENT, 
ne prend pas en considération les modèles mathématiques proposés dans la littérature. 
L’intégration de ces derniers dans le logiciel va permettre de bien simuler la coalescence et de 
la comparer aux essais. Les résultats des simulations en deux dimensions obtenues sur 
FLUENT dans cette étude sont une première. Il n’existe pas à notre connaissance des travaux 
similaires. Nous disposons d’une série des résultats expérimentaux mais les résultats 
théoriques doivent être approfondir. Les résultats obtenus dans cette étude sont représentatifs 
de la coalescence de deux grains, mais ils restent à les améliorer. La modélisation de la 
coalescence des grains de polymère par volume finis, exige un temps trop long qui va jusqu'à 
des semaines et nécessite un outil informatique très puissant. 
 
Cependant le point faible est utilisation d’un logiciel commercial qui a notre avis reste une 
boite noire sans donner l’accès au programme de simulation. Nous envisageons de réaliser ce 
programme de simulation par nous même en deux et trois dimensions. 
 
Références  
 
[1] Abbas Tcharkhtchi, Rotomoulage de pièces en matière thermoplastique, AM3 706-1, Techniques 
de l’Ingénieur. 
[2] Crawford R.J., "Rotationnal Moulding of Plastic", Research Studies Press LTD, J. Willey & Sons 
Inc., Second  Edition, Chap. 1, 3 and 9, 1996 
[3] Aramazotti D., "Rotational Moulding", Plastics Products Design Handbook, ed. E. Miller, Marcel 
Dekker, New York, 1983 
[4] Zonszain I., "Rotomoulage peu connu mais performant", Plastiques modernes et élastomères, Vol. 
50, N° 9, 1998 
[5] Oliveira M. J., Cramez M. C.,"Rotational molding of polyolefins: Processing, morphology, and 
properties", J. macromol. sci., Phys., Vol. 40, N° 3-4, 457-471, 2001 
[6] J. Frenkel, J. Phys. (USSR) 9 (1945) 385. 
[7] J. Frenkel. Viscous flow of crystalline bodies under the action of surface tension. Journal of 
Physics, IX (5):385–391, 1945. 
[8] Xu L., Crawford R. J., "Analysis of the formation and removal of gas bubbles in rotationally 
moulded thermoplastics", J.  Mat. Sci., 28, 2067-2074, 1993 
[9] Rao M.S., Throne J.L. "Theory of Rotational Molding-Part II: Sinter melting and degradation", 
SPE-ANTEC tech. p 759-671, 1972 
[10] Liu S. J., "A Study of the Sintering Behavior of Polyethylene", Rotation, p 20-31, winter 1996 
[11] Spence A.G., Crawford R.J., "The Effect of Processing Variables on the Formation and Removal 
of Bubbles in Rotationally Molded Products", Poly. Eng. & Sci. 36, p 993-1009, 1996  
[12] Hopper RW (1984) Coalescence of two equal cylinders: exact results for creeping viscous plane 
flow driven by capillarity. Comm Am Ceram Soc 67:C262–C264 
[13] C.T. Bellehumeur, Polymer sintering and its role in rotational molding, thesis, Hamilton, Canada, 
1997  
[14] Fluent 6.2 User’s Guide, January 2005. 
Congrès Français de Thermique, SFT 2007, Ile des Embiez, 29 mai - 1 juin 2007


http://sam.ensam.eu/bitstream/10985/6627/1/PIMM_2007_DELMOTTE.pdf

Modélisation du mécanisme de coalescence des grains de polymère

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