The method of modeling of stationary stochastic process with given two-dimensional distribution is considered. The using of modeling of quasi-deterministic harmonic oscillation with given parameters underlies. By the instrumentality of modification the connection of characteristic function with given two-dimensional distribution is determined.Рассмотрена методика моделирования стационарного случайного процесса с заданным двухмерным распределением. В основе моделирования лежит использование квазидетерминированного гармонического колебания с заданными параметрами. Модификацией указанного колебания установлена связь характеристической функции модели с заданным двумерным распределением

L. Danilova V.

V. Danilov A.

В. Данилов А.

Л. Данилова В.

Russian

V. A. Danilov

L. V. Danilova

В. А. Данилов

Л. В. Данилова

Journal of the Russian Universities. Radioelectronics / Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника

N. E. Koltsov Saint Petersburg Electrotechnical University "LETI" E. N. Nosov, S. A. Grenkov, L. V. Fedotov Institute of Applied Astronomy of Russian Academy of Sciences (Saint Petersburg)Measuring signal parameters in wideband receiving and recording channelsThe built-in system of parameter measurement for wideband (up to 512 MHz) receiving and recording channel of ra­dio interferometer is considered. The estimation of measurement accuracy and the precision alignment of group delays in the receiving channel are investigated. In addition, this system provides the control of receiving channel frequency response and phase response functions.Radio telescope, digital wideband signal processing, signal group delay and signal spectrumСтатья поступила в редакцию 11 апреля 2016 г.УДК 621.396.9В. А. ДаниловСеверокавказский филиал Московского технического университетасвязи и информатики (Ростов-на-Дону)Л. В. ДаниловаРостовский государственный университет путей сообщенияСвязь распределения огибающей квазигармонического случайного процесса с порождающим двумерным распределениемРассмотрена методика моделирования стационарного случайного процесса с заданным двухмерным распределением. В основе моделирования лежит использование квазидетерминированного гармониче­ского колебания с заданными параметрами. Модификацией указанного колебания установлена связь ха­рактеристической функции модели с заданным двумерным распределением.Гармоническое колебание, вероятностное моделирование, порождающее распределение, характеристическая функцияКвазидетерминированное гармоническое ко­лебание (ГК )y (t) = A cos (ш/ + ф), (1)где A, ю, ф - случайные величины с заданными плот­ностями вероятностей Wa (A ), W0 (ш ), ^ф (ф ),часто используется в практике радиотехнических расчетов [1]. Колебание y (t) может быть, напри­мер, использовано для вероятностного моделирова­ния стационарных случайных процессов по задан­ным одномерной плотности вероятности щ (x) и корреляционной функции (КФ ) Bx (т ) [2]. Не­сколько модифицировав процесс (1), можно также обеспечить требуемую двумерную плотность ве­роятности щ  (x i, Х2) для совокупности сосед­них отсчетов {x i = x (t), Х2 = x (t + т )} стационар­ного случайного процесса x (t). Заданную дву­мерную плотность вероятности (П В) будем назы­вать порождающим распределением.В  настоящей статье рассмотрен способ моди­фикации процесса ( i), при котором обеспечивает­ся заданное двумерное распределение. Также ис­следованы вероятностные характеристики модели на примере моделирования гауссовских и негаус­совских случайных процессов.Основные функциональные соотношения. Квазидетерминированное ГК  ( i)  определяет стаци­онарный случайный процесс при условии незави­симости случайных величин A, ю, ф и при равно­мерном распределении начальной фазы ф на интер­вале [0, 2л] [2]. При этом условии в [1] получены© Данилов В. А., Данилова Л. В., 2016 25фундаментальные соотношения между распределе­нием мгновенных значений щ (у ) ГК  и распреде­лением его амплитуды Wa (A ) , (A > 0) , из кото - рых следует, что характеристическая функция (ХФ ) Qi (v ) для плотности щ (у ) и функция Wa (A )/A связаны парой преобразований Фурье-Бесселя: юWa  (A)/A  = J  Q  (v) J 0 (Av) vdv, (2)0Qi (v ) = J  Jo  (Av) AdA, (3) 0 Aгде J q (0 - функция Бесселя нулевого порядка.Соотношения (2), (3) приняты за основу модели­рования стационарных случайных процессов по за­данным щ  (x) и Bx (т ) [3]. При этом предполагает­ся, что функции щ  (x), Wa (ш ) и Bx (т ) являются четными относительно своих аргументов и опреде­ленными на бесконечном интервале их значений.Колебание ( i)  путем некоторой модификации может быть использовано и для моделирования случайного процесса с заданным двумерным рас­пределением. С этой целью с помощью совокуп­ности значений {x i, x2} сформируем случайную величину видаR  (x1, x2 ) = [ ( x12 + x2 - 2P ixix2 V I1 - P2 (] 1 , (4)где pi (т ) является произвольной функцией, удо- влетворяющей соотношению |pi (т )| < i.С помощью (4) сформируем случайный про­цесс видау  (t) = R (x i, x2)cos(a t + ф ), (5)в котором огибающая R  (x i, x2 ) определена по (4). Определим закон распределения случайной вели­чины R (x i,x 2) для заданной двумерной ПВ. С помощью [4] получим 2лW (R ) = R  cos p J щ  [R  cos (0 - р ), R  sin 0] d0, (6)0где введено обозначение cos Р = i 1 - p2 (т ).Выражение (6) может быть преобразовано в эк­вивалентную форму, если перейти от ПВ щ  (x i,x2)к двумерной ХФ  Q2 ( i ,  V2 ), связанной с П В пре­образованием Фурье [1]:щ  (x i, x2) = 1  (2л)2 хю юх J  J  exP (-iv1x1 - iv2x2 )Q2 (v1,v2 ) dvidv2. (7)-ю -юПодставив (7) в (6), после некоторых матема­тических преобразований с учетом интегрального соотношения [5]:1 2л—  J  exp {-iR  [v  cos (0 - p) + V2 sin 0_}d0 == J 0 (r ( T ^  ),получимW  (R  ) = R  cos р/(2л)х ю ю I Г2— 2 \х J  J  Q2(  V2)Jo [R\jvi + V2 + 2piviv^jdvidv2 . (8)-ю -юНа плоскости (v i, V2) сделаем также замену переменных по формулам перехода к обобщенным полярным координатам (X, а ), определяемым изсоотношений у  = X cos (а  + р ); V2 = X sin а. Принимая во внимание соотношенияdydv2 = XdXdа  cos Р; vp + v| + 2piviv2 = X2 cos2 p,перепишем (8) в видеW  (R ) = R  J  F  (z) J 0 (Rz) zdz, 0где введено обозначение: 1 2лFi (z ) = J  Q2cos (а  + Р) z sin аcos Р cos Р(9)d а. (10)Из (9) следует, что функция W  (R )/R есть трансформанта Фурье-Бесселя нулевого порядка от функции F i( z) , определенной в соответствии с (10). На этом основании можно заключить, что функция F i(z) может быть найдена по формуле обратного преобразования Фурье-Бесселя [i]: ю w  ( R )Fk (z) = J  W r J 0 (Rz) RdR. (11)0 RСопоставив (2) и (9), можно заключить, что функция F i(z) играет роль характеристической при условии идентичности распределений:Wa (A ) = W  (R ). (12)юПоскольку функция (10) определяется с по­мощью исходной ХФ  Q2  ( 1, V2), она включает всебя всю информацию, содержащуюся в задан­ном двумерном распределении.В  [2] показано, что случайный процесс в форме (5) имеет заданное двумерное распределение, если оно относится к специальному классу эллиптически симметричных (ЭС ) распределений [6], а также в том случае, когда произвольная функция Р1 (т) удовлетворяет соотношению Р1 (т ) = рx (т ), где рx (т) - нормированная КФ  рассматриваемого случайного процесса.Этот факт вытекает из того, что для класса ЭС-распределений наблюдается идентичность функ­ций (12). Во всех остальных случаях моделирова­ние процесса в форме (5) обеспечивает двумерное распределение с тем или с иным приближением к порождающему распределению.Рассмотрим некоторые примеры расчетов по (10), (11). Пусть задан центрированный гауссов­ский случайный процесс с параметрами s2, г  = /| (т ), ХФ  функция которого имеет вид [1]Q2 ( ъ  v 2  ) = exp v1 + v2 +2r1v1v2 ) (13)Подставив (13) в (10), после интегрирования с учетом [5] получим(  ст2 z2 1 - Р11 Л' 2 1 -р21о( ст2 z2 Р1 -r12 1 -р2Л, (14)где I q (-) - модифицированная функция Бесселянулевого порядка.С помощью (9) можно найти распределение W  (R ) случайной величины (4). Подставив (14) в (9), имеем:W  (R  ) = R  1 -р2ст '1 - г12exp R 2 (1 -р1/1)2ст2 (1 - r2 )X I R 2 (р1 - r ) 2ст2 (1 - П2 )(15)Выражение (15) совпадает с аналогичным выражением, приведенным в [4]. При р1 = r1 (14) и (15) соответствуют аналогичным значениям для гауссовского процесса с рэлеевским распределе­нием огибающей.Рассмотрим далее негауссовский процесс в виде квазидетерминированного ГКУ0 ( t) = 4 ) cos (ra0t + Т ) , (16)где A ), Ю) - фиксированные величины; Y  - слу­чайная величина, равномерно распределенная на интервале [0, 2л].ХФ  процесса (16) определяется [1] выражениемQ2у (  .2 )=  J q ( ( (  + V2 + d v . cosmqt), (17)а нормированная КФ  ро (т ) = cos Ю)Т.Подставив (17) в (10), после математических преобразований с учетом [5] получимF  (z) =2л г Г1 - р1ро- ( - ро ) cos2t=2 л 0 Jq  {  Aqz 1 - р2it. (18)При р1 = ро из формулы (18) получим ХФ  в форме F ( z) = Jq  (Aq z), соответствующей ана­логичной функции из [1] для процесса (16).Рассмотрим далее процесс вычислений по (10) для случайного процесса в виде суммы:X (t) = у0 (t) + n (t) , (19)где уо (t) - колебание вида (16); n (t) - гауссов­ский шум (ГШ ) с дисперсией ст и коэффициен­том корреляции r1 (t). Случайные процессы уо (t) и n ( t) будем считать стационарными и незави­симыми, поэтому ХФ  суммы (19) равна произве­дению ХФ  слагаемых:Q2x (  v2 ) = Q2у (v1, v2 ) Q2n (  v2 ) , (20) где Qjy (v1, v2) и Q2n (v1, v2) определяются фор­мулами (17) и (12) соответственно.Заметим, что расчеты по (9) с учетом (20) для суммы (19) выполнены в общем виде в [4]. Поэтому функция F  (z) из (10) может быть найдена по фор­муле (11) при подстановке в нее функции W (R )/R , определенной в [4]. Для упрощения математических выкладок рассмотрим два крайних случая задания произвольной функции р1 (т) , входящей в (4):р1 (т) = cos ю0 т; р1 (т) = 1  (т) . (21)Подставив (20) в (10), с учетом (12), (17) и первого равенства в (21) после вычисления инте­грала с помощью [5] получимF (z) = exp ( _  2_2(  2 2 л Л ст z 1 -р1/x 1о ст z р1 - П 1 -р22 1 -р2ЛJ о (A )z). (22)Выполнив аналогичные выкладки с учетом второго равенства (21), найдем:F i(z) = expа 2 z2  ^а  zл 2л^  J )2л 0 0I1 - pipo - (p i - po ) cos2t1 -p2dt. (23)Полученные результаты (22), (23) соответ­ствуют ранее найденным формулам (14), (18) и сводятся к ним при соответствующих значениях параметров pi и A ).СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫНа основании изложенного можно заключить, что моделирование случайного процесса в форме (5) может обеспечить идентичность двумерных распределений для класса ЭС-распределений. В  остальных случаях моделирование по (5) за­ключается в предварительном определении функ­ции F i(z) по (10) и дальнейшем определениипреобразования Фурье-Бесселя по (9) на основании найденной функции. Соответствие двумерных распределений процесса (5) и заданной ПВ может быть оценено с помощью информационного кри­терия, введенного в [3].1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.2. Данилов В. А. Вероятностное моделирование ста­ционарных случайных процессов с применением квази- детерминированного гармонического колебания // Ра­диотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 2. С. 270-277.3. Данилов В. А. Вероятностное моделирование негауссовских случайных процессов со спектром уз­кополосного типа // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41, № 8. С. 946-950.4. Данилов В. А. Вероятностные характеристики модуля радиус-вектора точки с коррелированными негауссовскими компонентами // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, № 11. С. 2120-2124.5. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы инте­гралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.6. Mc Graw D.K., Wagner J. F. Elliptically Symmetric Distributions // IEEE Trans. on Inf. Tech. 1968. Vol. IT-14, № 1. P. 110-120.V. A. Danilov North Caucasian Branch of the Moscow Technical University of Communications and Informatics (Rostov-on-Don) L. V. Danilova Rostov State University of Transport CommunicationsThe Connection of Distribution of Envelope of Quasi-Harmonic Stochastic Process with Basic Two-Dimensional DistributionThe method of modeling of stationary stochastic process with given two-dimensional distribution is considered. The us­ing of modeling of quasi-deterministic harmonic oscillation with given parameters underlies. By the instrumentality of mod­ification the connection of characteristic function with given two-dimensional distribution is determined.Harmonic oscillation, probabilistic modeling, basic distribution, characteristic functionСтатья поступила в редакцию 8 мая 2016 г.

Связь распределения огибающей квазигармонического случайного процесса с порождающим двумерным распределением

https://re.eltech.ru/jour/article/download/116/120

Связь распределения огибающей квазигармонического случайного процесса с порождающим двумерным распределением

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Journal of the Russian Universities. Radioelectronics / Известия высших учебных заведений России. Радиоэлектроника