Masato Kodaka

Toshio Fukaya

小高 正人

深谷 俊夫

Traditional Chinese

RISM (Repository of the Institute of Statistical Mathematics) / 統計数理研究所 学術研究リポジトリ

164 統計数理 第35巻 第1号 1987 計量的指標の選定では，個体が計量化しにくい形状などの場合には，その形態学的特徴をいかに計量的に表現するか，換言すれば採用した指標が現実の形態識別を良く表現しているか否かが問題とたる． サンプリング法では，今回は甲状腺腫の典型的な特徴を表す濾胞をサンプリングし，検討を行ったが，甲状腺腫，腺腫様甲状腺腫では同一腺腫内でも，部位によって分化が異なるため多様な濾胞が存在する．とのような部位を何カ所サンプリンクすればよいか  サンプリンク法は重要な課題である．                 参考 文 献1）Fawcett，D．W．（1986）．λτe肋。o々げ挑CoZo馴，11th ed．（eds．D．W．Fawcett and W．B1oom）， Phi1adelphia，W．B．Samders Company，500－511．2） 中村清美，他（1986）．甲状腺腺腫と腺腫様甲状腺腫の濾胞胚の計量学的解析，臨床病理，34，206－210．3）Wi11iam，A．M．and Shie1ds，W．（1969）．Tmmoκヴ肋e T伽。倣αmゴ，2nd ed．，Washingt㎝D．C．， Armed Forces Institute of Patho1ogy，43－50．     二次元原子分子の駐車問題化学技術研究所天然有機化学部深谷俊夫・小高正人 1．緒   言 原子・分子レベルに立ち戻って化学反応を見てみると，個々の反応はランダムた事象であり，一般的た化学での取り扱いはそのランダム性には立ち入らたいで，単にそれらの統計量を用いて解析する場合が殆どである． しかし，例えば結晶格子点への分子吸着，蒸着やCVDのようにある種のランダム性が二次元表面に固定化されたもの，あるいはこれらのランダム性の統計的性質を積極的に触媒設計や膜透過制御等に応用しようとするアイデアを具体的に考察するには，原子・分子レベルに立ち戻ったランダム性の追究が必要であろう． この種の問題解決の一つの糸口として“駐車問題”がある1）．すたわち，一次元の“駐車問題”とは，r同じ長さの棒を一直線上に互いに重なることなくランダムに並べる場合，ぎっしり詰まった場合の何割の密度まで詰め込めるか？」という乱れた一次元系に対する統計的性質を求める問題の一つであり，車の駐車に例えられている．この問題の答えは，まず計算機によって，約0．7476倍の密度までであると調べられ，その後解析的に厳密解が得られている． この問題を二次元，そしてさらには三次元へ拡張することにより，より現実に近い統計的性質を持つ乱れた系のモデル化が期待される． 近年，高性能の計算機能とディスプレイ機能を持つ計算機を長時間占有できるようになり，種々のシミューレーション実験が気軽に行たえるよう一になった．しかしたがら，’、駐車問題”は一次元の場合ですら4桁までの信頼度を得るためには，膨大なシミュレーション計算を行ない，その平均値と標準偏差値から求めるので，例えばNEC社製16bitパーソナルコンピュータPC－9801FのBASIC言語を用いる場合でいえば，二昼夜は優にかかる計算量とたる．またこの種の問題は，解析的に解こうとする場合，一見正しい推論から異なる結果を導く危険性が多く，パラドックス問題の宝庫である．その点，シミュレーションによる方法は，予測や推論の入り込む余地は少なく，安全・確実な実証法といえる．幾何学的構造・空間バターンと統計 165 二次元に拡張する場合，本来なら自由平面上に設定した’’駐車場”に，種々形状の’’車”をランダムに配置する問題としてシミュレートすべきであろうが，最初の試行計算実験としては障壁が大き過ぎる．ただし，“車”の形状が円や球の場合は，比較的容易にシミューレートでき，文献1〕の2．11章には，それらの計算結果による考察がまとめられている． 今回，二次元格子点よりたる“駐車場”を想定し，種々の“車”の形状を格子点を占める手順により定義する簡易化法により，二次元における’’駐車問題”をシミュレートする方法を提案する．実際，上記例示の問題の大半はこのような簡易化法によっても十分にシミュレートできると思われる．“車”の形状の違いによる密度変化やクラスタの形成に関して，二三の興味ある結果を得た2〕一4〕．2．実   験 シミュレーション計算には，主に富士通KK社製FM－110S－9のBASIC09を用いた．マルチウインドウ，マルチタスク，コンパイラゆえの高速性などがその採用理由で，この計算に計算機が占領されないためでもある． グラフィック画面上に100×100個の正方格子点を設定し，隣り合った2点以上の格子点を一㈹ω｛C，ω②ln図1．Typical examples of photographs of c1ose－Packed Pattem＆166 統計数理 第35巻 第1号 1987表1．Meansandtheirdeviationswhicharederived   from averaging lOO simulations．shapeaVerageσ2×10■5 shapeaVerageσ2×10－5一 0．917281．097 ∫ 0．724132．413｝ 0．853151．981 」 0．719422．310J 0．838251．372 、 0．750114．141舳 0．813863．025 十 O．709643．118J O．779262．651 ｝ 0．7311912．28で 0．773092．223 撒 0．6712416．01コ 0．766404，132 実 0．6595723．29∫ 0．763643．096 自 0．6530533．17出 0．787134．623 薯 O．6455533．62O．738653．638 言 0．5824679．82J 0．731142．484 轡 0．5735652．96定の手順で占めてゆく方法によって，“車”の形状と“駐車”を定義した．駐車場所と車の方向を乱数により選択し駐車していき，満車に近くなって，空きスペースの検索に500回（場合によって1000回）失敗した時点で，個々の格子点について残ったスペースの有無を検討して埋めていく方式とした．計算途中の状態を常時ディスプレイに表示させ，・確認できるようにした． 3．結果と考察 最終的に“車”が密に詰まった時の様子を図1に例示する．“車”の形状によってかたり異なるパター一ソとなる． まず“車”の形状と密度の関係を求めた．壁の影響を避けるため，中央の80x80個の格子点について密度の統計を求めた．各形状に対して，100回の試行についての平均結果を表1に示す．表には平均値と標準偏差値を記した．ただし，平均値の信頼度は標準偏差値によって異たり，その下位の数値にはあまり意味がたい．例えば信頼度αで真の平均値mが存在する信頼区間を求めるには，各試行値が平均値xと標準偏差値σで規定される正規分布を示すと考え，正規分布の数値表あるいは（3．1）式から信頼度αに対する係数広を求め，（3．2）式により信頼区間が求められる5〕．たお信頼度95％では，左。。＝1．96である．（3．1）（3．2）去∫：1・州竹一α一    σ      一    σX一左α一＜m＜X＋・左α   〃      〃ここに，X＝（X、十X。十X。十…十X、）／mである．隣り合った2格子点による“車”の場合，例えばエチレンは古金の2．5サイトを占めるという結果6〕から類推される密度O．8に比較して，予想以上に高い密度とたった．その他，少ない格子点から構成される“車”において，概ね予想を上回る高い密度となった．幾何学的構造・空間バターンと統計 また“車”の形状に方向性がある場合，同一方向に集落を作る傾向が見られた．集落の大きさを見積もるため，長方形のI“車”を代表例としてその自己相関を求めてみた．自己相関は，’’車”が縦に置かれた格子点を1，空き格子点と“車”が横に置かれた格子点を0とした2枚の同一バターンを用意し，その内の1枚は中央の50×50個の格子点部のみを用いて，2枚のバターンが一致する原点を中心に，上下または左右に位置をずらせながら両パターンの重なり積分を求めていく方法により求めた．また各試行による統計誤差を少なくするために，100回平均とした． “車”の長さが50x50のウインドウの大きさに比して長い場合は，自己相関関数の端まで求まらず，逆に短い場合は，中央に凝縮した関数となる．格子点数にして10前後の場合，比較的自己相関の収まりが良く，長さが10，幅が1，2，3，4，5，10の6種類の形状について自己相関を求めた．図2にその結果の一部を示す． いずれの場合も，ほぼ長さ方向と同じ位の大きさの集落を作る．すなわち，長方形の“車”は，幅方向にも長さと同じ位の影響力を持つことが分かった．たお，“車”の幅が2以上で，自己相関の肩部に中間ピークがみられるのは，“車”の間に隙間が生ずるためである．また，自己相関が左右対称でないのは，統計誤差である． 次に，図3に示すようだ二次元平面内において互いに異性体となる形状に注目し，異性体同士の混合駐車に関する計算機実験を行なった．目。5巴05曽8ちく冒○句3曽058ちく167、＼ShaPeノ  ヘ1．0O，5@0P．0O．5@0ご一rhape一’ ハ ’010目〇釣でヒ0588目く図2、（a）（b）（C〕    DistanceAuto－correIation functions ofclusters of rectangu1ar1y shapedcars． Thin and thick lines indi－cate  1ongitudina1 and  1atera1directions，respective1y．（a） 1×10 （b） 3×10 （c） 5×10 図4で例示するように，比較的少ない格子点より構成される“車”の場合には，一方の異性体のみでランダムに駐車し満車にした後でも，他方の異性体に対してはまだ駐車スペースが残っている．また，一方の異性体のみによる駐車密度は，双方の異性体を同確率でランダムに駐車した場合の密度に較べて，一般には低いものとなる．表2に100回平均の結果をまとめて示す．Iは，一方の異性体のみの場合の密度，IIは，その後で他方の異性体が入り込む密度，IIIは，双方の異性体が同確率の場合の密度である．即ち，一般的には，異性体同士の方が，同性体同士よりも密に詰まり，易いと言える．しかしたがら，表2の上から6番目あるいは10目番のような異性部分が2箇所あるとみられる形状に関しては，むしろ同性体の方が密に詰まり易い傾向がみられた．4．総   括 “駐車問題”は，その出典である非晶質物質の乱れた系のモデル化を抜きにして語れたいであろう．今のところ，一つの基礎的理論モデルに過ぎない．今後，例えば二種類の“車”の“駐車問題”を考えることによって，相形成だとの，モデル化による解析が可能と思われる．168 統計数理 第35巻 第1号 1987∴L二＿■’1＿＿」＿＿L」＿二■∴L   」「  ■＿L 」＿ 図3． 図4．表2、I II m1 L一 0．7824 0．0232 0．79732 」一 0．76240．0194 0．78133 」H一 O・一7382 O．0219 0．75304 ｝し O．71710．0139 0．72515 「｝ O．72420．0246 0．7421・H 0．7245 0．0125O．72617 じ」 0．73230．0186 O．7490・H一 O．7268O．0217O．7450・仁＿ 0．5195 0．01590．5308   ＝@  1P0 L山r        ミ 0．4631 0．0053 0．447711＿上 0．46440．0120 0．4747 従来よりランダムた性質を持つバターンの解析には，フーリェ変換による解析が多用される．例えば，宮崎らは7），合金の相形成の計算機シミュレーシ目ソ実験において，フーリェ解析によって簡略化に成功している．また筆者らも8〕，フーリェ変換領域で周波数フィルターを掛けることによって，種々の統計的性質をもつランダムパターンが得られることを見出した． しかし，本報のようにパター．ソ面で直接ランダム性を導入するランダムバターンの発生方法の場合，単なる統計量では評価しきれたい細部にわたる考察が可能となる．また，例えば銀塩写真の銀粒子による粒状性のシミュレーションのように9），粒子の重なりを認める方法に較べ幾何学的構造・空間パターンと統計 169て，“車”同士に相互作用などの“意志”を持たせる第一歩として本報の意義は大きいと考える． さらに，“車”同士に斥力・引力だとの相互作用の導入，動きの導入，異なる形の“車”の混合駐車，更には格子点での駐車という制隈を外して，自由平面での解析，そして三次元での解析等を通じて，より現実に近いシミュレーションが可能であろうし，より広い分野における各種の問題に応用できると考えられ，今後に残された課題は多い．               参考文 献米澤・渡部課（1982）．ザイマソ，乱れの物理学，丸善，41．深谷（1985）、第46回応用物理学会秋季大会，3a－ZA－13．深谷，小高，吉川（1986）．化技研報，81，265．深谷，小高（1986）．第33回応用物理学会春季大会，2a－D－1、数学ハンドブック編集委員会編（1960）’．数学ハンドブック，丸善，297．本尾 哲（1983）．電気化学協会主催第8回電気化学セミナー予稿集，30．宮崎 亨，小坂井孝生（1984）．日本金属学会会報，23，757．Fukaya，T．and Tsujiuchi，J．（1975）．Nom．Rm，0財力m，6，317．Tanaka，K．and Uchida，S．（！983）．∫C枇∫oc．λm．，73．1312．一般化ボロノイ領域とその応用            統計数理研究所種村正美 1．序 空間の有限領域γに散布するN個の粒子の位置座標を（α、，α。，…，伽）とする．空間の次元は任意で良いが，便宜上以下の議論を二次元平面において進める． 平面上の任意の点κに対して，それに最近接の粒子αゴが定義できる．それをm（κ）：αゴと表すことにする．これとは逆に粒子α。を与えたとき，∬（αゴ）＝｛κ；m（x）＝α。｝とする．半平面κゴを              凡。＝／x：1工一α一＜1打α。l／で定義すれば                  ∬（α｛）＝∩兄ゴ                      ゴ羊ゴどたり，∬（α｛）は一般に半平面で囲まれた凸領域で，しかも1∬（α。），～＝1，…，M｝は空間を隙間たく，事た重なりなく分割する．∬（α｛）はα｛のボロノイ領域と呼ばれる．またボロノイ領域による空間の分割をボロノイ分割と呼ぶ．2．一般化ポロノイ領域 上のボロノイ領域の概念は以下のような一般化が可能である．上と同様に（α、，α。，…，α〃）を平面上の粒子座標とする．前記のボロノイ領域は平面上の各点を最近接の粒子に割り振ることによって得られたが，これを拡張して平面上の各点を第后（＝2，3，…）近接までの粒子集合に割り振ることを考えてみよう．これと逆に任意の后個の粒子集合に対して∬（α1，α。，…，α島）＝｛κ；m尾（X）＝α、，α。，一，α庖｝が定義できる．これを后次のボロノイ領域という．

二次元原子分子の駐車問題 (統計数理研究所 研究活動 (研究会報告 幾何学的構造・空間パターンと統計))

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