Factorisation in Z [x]

Abstract

Tema ovog rada je faktorizacija polinoma u Z[x]. Polinomi su matematički izrazi koji sadrže varijable i konstante povezane računskim operacijama zbrajanja, oduzimanja i množenja, te nenegativnih cijelobrojnih potencija. Pokazat ćemo da postupak faktorizacije u Q[x] polinoma iz Z[x] završava u konačno mnogo koraka, kao i dokaz da je polinom ireducibilan u Q[x]. Iznijet ćemo dvije ideje koje će nam pomoći učiniti postupak faktorizacije polinoma izvedivijim. Najprije ćemo uvesti pojam granične vrijednosti za koeficijente koji su djelitelji danog polinoma kojeg želimo faktorizirati. U postupcima traženja graničnih vrijednosti za korijene i koeficijente koristit ćemo metodu bisekcije i Newtonovu metodu. Potom ćemo naći učinkoviti način faktorizacije polinoma modulo M, gdje je M dovoljno velik modul. Pri tom ćemo koristiti Berlekampov algoritam faktorizacije i Henselovu metodu faktorizacije.The theme of this paper is the factorization of polynomials in Z[x]. In mathematics, a polynomial is an expression consisting of variables and coefficients, that involves only the operations of addition, subtraction, multiplication, and non-negative integer exponents of variables. We will show that finding a factorization in Q[x] of a monic polynomial of degree n in Z[x], or showing that polynomial is irreducible in Q[x], takes finitely many steps. We will present two ideas that will make factoring process more feasible. Foremost, we will introduce the concept of bound for the coefficients of polynomials of a given polynomial. Thereat we will use the method of bisection and Newton’s method. Thus, we will find an efficient way to factor a polynomial modulo M for M a suitably large modulus. For that process we will use Berlekamp’s Factoring Algorithm and the Hensel Factorization Method