Josip Juraj Strossmayer University of Osijek. Department of Mathematics. Chair of Pure Mathematics. Algebra and Calculus Research Group.
Abstract
Tema ovog rada je faktorizacija polinoma u Z[x]. Polinomi su matematički izrazi koji
sadrže varijable i konstante povezane računskim operacijama zbrajanja, oduzimanja
i množenja, te nenegativnih cijelobrojnih potencija. Pokazat ćemo da postupak faktorizacije u Q[x] polinoma iz Z[x] završava u
konačno mnogo koraka, kao i dokaz da je polinom ireducibilan u Q[x]. Iznijet ćemo dvije ideje koje će nam pomoći učiniti
postupak faktorizacije polinoma izvedivijim. Najprije ćemo uvesti pojam granične vrijednosti za koeficijente koji su djelitelji danog polinoma kojeg želimo faktorizirati. U
postupcima traženja graničnih vrijednosti za korijene i koeficijente koristit ćemo metodu bisekcije i Newtonovu metodu. Potom ćemo naći učinkoviti način faktorizacije polinoma modulo M, gdje je M dovoljno velik modul. Pri tom ćemo koristiti Berlekampov algoritam faktorizacije i Henselovu metodu faktorizacije.The theme of this paper is the factorization of polynomials in Z[x]. In mathematics,
a polynomial is an expression consisting of variables and coefficients, that involves
only the operations of addition, subtraction, multiplication, and non-negative integer
exponents of variables. We will show that finding a factorization in Q[x] of a monic
polynomial of degree n in Z[x], or showing that polynomial is irreducible in Q[x], takes finitely many steps. We will present two ideas that will make factoring process more feasible. Foremost, we will introduce the concept of bound for the coefficients of
polynomials of a given polynomial. Thereat we will use the method of bisection and Newton’s method. Thus, we will find an efficient way to factor a polynomial modulo M for M a suitably large modulus. For that process we will use Berlekamp’s Factoring Algorithm and the Hensel Factorization Method