Konačnodimenzionalne algebre s dijeljenjem

Abstract

U ovom radu proučavamo neka osnovna svojstva konačnodimenzionalnih algebri s dijeljenjem. Najprije dokazujemo slavni Frobeniusov teorem, koji kaže da (do na izomorfizam) postoje točno tri realne konačnodimenzionalne algebre s dijeljenjem: Realni brojevi $\mathbb{R}$, kompleksni brojevi $\mathbb{C}$ te kvaternioni $\mathbb{H}$. Nadalje, dokazujemo Wedderburnov strukturalni teorem koji opisuje strukturu konačnodimenzionalnih poluprostih algebri; svaka takva algebra je izomorfna konačnom direktnom produktu matričnih algebri nad algebrama s dijeljenjem. Time se većina pitanja vezana uz konačnodimenzionalne poluproste algebre reducira na analogna pitanja vezana uz konačnodimenzionalne algebre s dijeljenjem.In this thesis we explore some basic properties of finite dimensional division algebras. We first present the proof of the celebrated Frobenius theorem, which states that (up to an isomorphism) there exist precisely three real finite-dimensional division algebras: Real numbers $\mathbb{R}$, complex numbers $\mathbb{C}$ and quaternions $\mathbb{H}$. Next, we present the proof of the Wedderburn’s structure theorem which describes the structure of semisimple finitedimensional algebras; any such algebra is isomorphic to a finite direct product of matrix algebras over some division algebras. In this way most questions concerning semisimple finite-dimensional algebras are reduced to the analogues questions for finite-dimensional division algebras