Chung, Pham Van

Hungarian

EKE Repository of Publications

PHAM VAN CHUNG EGY KLASSZIKUS PROBLÉMA ÁLTALÁNOSÍTÁSA II. Abstract (A generalization of a classical problem II.). In the present paper we solve a generation of a classical problem. The problem was dawn first up in the "Annales de Math." ([8], p. 220.). Since that time this problem, i.e. the solution of the congruence x2 = x (mod mk), was investigated by several authors, the first solution of it was given by M. Tédenant [8] in 1814. Our purpose is to generalize this problem by solving the congruence x" = axs (mod m ), where n,a,s,m and k are given natural numbers. We give the number and the explicite form of the solutions; and show some properties of them in some special cases. For example, in the case (n - 1 ,<p(m)) = 1 we solve the congruence xn = x (modw*) and give some properties of this. 1814-ben az,Annales de Math." c. folyóirat azt a problémát vetette fel, hogy „Melyek azok a természetes számok, ame-lyeknek négyzete ugyanarra a k -jegyű számra végződik, mint 53 az eredeti szám?". Ezt M. Tédenant [8] oldotta meg és igazol-ta, hogy két nem triviális megoldásának összege 10*+1. Azóta többen foglalkoztak ilyen, illetve hasonló problémával (lásd L. E. Dickson [4]). Ez a probléma az x2 = x (mod mk) kongruencia pozitív megoldásának keresését jelenti. [10]-ben foglalkoztunk egy általánosabb problémával, nevezetesen megoldottuk az x2 = ax (mod mk) kongruenciát; megadtuk a megoldások számát és a megoldások explicit alakját, valamint egy eljárást a kongruencia numerikus megoldására. A probléma még a következőképpen általánosítható: »Melyek azok a természetes számok az m-alapú számrend-szerben, amelyeknek az w-edik hatványa ugyanarra a k-jegyű számra végződik, mint az eredeti szám 5 -edik hatványának a-szorosa?", azaz keressük az JC" = axs (mod 10*) kongruencia pozitív egész megoldásait A kongruencia speciális eseteivel sokan foglalkoztak, külö-nösen az m = 10 esettel. Egy általános eredményt C. P. Popovici [7] adott meg, mégpedig az xn = x (mod mk) kongruencia megoldásainak explicit alakjával. Altalános m esetén az xn = x (mod kongruenciával P. Kiss [5] foglalkozott. Megadta a kongruencia megoldásainak számát és a megoldások explicit alakját Többen foglalkoztak a kongruenciánk x" = x (mod n) spe-ciális esetével a pszeudoprimszámokkal kapcsolatban. (Pél-dául R. D. Carmichael [2], A Korselt [6], M. R. Chapson [3] és P. Bachmann [1].) Ebben a II. cikkben explicit alakban megadjuk a 54 xn = axs (mod mk) kongruencia nem túl nagy abszolút értékű megoldásait, vala-mint a megoldások számát Megmutatjuk, hogy az 5 = 1 eset-ben elegendő az n < <p(mk) esetet, továbbá az a-1 és (n-l,<p(m)) = l együttes fennállása esetén az n = 2 esetet megoldani. Ezután vizsgáljuk a megoldásokat általában. Mielőtt rátérünk az (1) x" = axs (mod tri) kongruencia megoldására, néhány speciáüs esettel foglalko-zunk. 1. Tétel: Ha (a,m) = 1 és n - k<p(m) + r ((p az Euler-függvény) és 0 < r < (p{m), akkor a következő két kongruencia ekvivalens (2) x" = ax (mod m) (3) xr = ax (mod m). Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az első kongruencia meg-oldásai kielégítik a másodikat és viszont Legyen x0 egy megoldása a (2) kongruenciának, továbbá (x0,m) = d. Ezek alapján léteznek x, és mx egészek, melyekre x0 = dxx, m = dml és (Xj,mx) ~ 1. Ezeket (2)-be helyettesítve és d -vei osztva x"dnA = ŰX, (mod/«,). De (x1,m1) = l miatt mindkét oldalát XJ-gyel osztva kapjuk, hogy (Xjd)n~l = a (mod mx). Ez csak úgy állhat fenn, ha (x^Wj) = 1, mivel (a,m) = 1. 55 Mivel (d,m1) = 1 folytán <p(m) = (pid)-^^), így a bal oldal tovább alakítható, felhasználva az Euler-Fermat tételt (.xxd)n l = (xld)'**^\xldy-1 = (jc1ú?)r_1(mod m,). Tehát a fenti kongruencia a következőre redukálódik: (xxd)r~l = ö (mod Wj). Itt d-vel szorozva mindkét oldalt és a modulust is, majd xx-gyel szorozva a két oldalt és , ill. rn^ d helyébe visszaírva *0-t, ill. m-et, az kongruenciát kapjuk, mivel igazoltuk a tételt az egyik irány-ban. Ha x0 megoldása a (3) kongruenciának, akkor az előzőek-hez hasonlóan látható be, hogy megoldása a (2)-nek is. Ezután bebizonyítjuk a következő tételt, amely bizonyos esetekben egyszerűsítheti a számításokat 2. Tétel: Ha (n - 1, <p{m)) = 1, akkor az (4) xn = Jt (mod m) kongruencia ekvivalens. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy x0 megoldása a (4) kongru-enciának. Mivel (n - \,(p(m)) = 1, léteznek olyan v és u természetes számok, amelyekre Mint az előző tétel bizonyításában, ha (x0,m) = d és a felhasz-nált jelöléseket tartva (4) átalakítható Xq = axQ (mod m) x2 = x (mod m) (6) v-(n - 1) = u-(p(m) +1. (7) ( V ) = ! ( m o d m \ ) 56 alakra, ahol (xxd)*t~v> = 1 (mod mx) (6)-ot a (7)-be helyettesítve 1 = (xxd)v{n~X) = (x.dy^1 s [(x^^J-xxd ® xxd (mod m), mert (AC1^ ,m1) = l miatt (p{m) = (p{mxd) = <p(d)-<p(mx), amiből (V)9*"0 = 1 (mod wij). Tehát = 1 (mod m^. Ezt </-vel végigszorozva, azután mind a két oldalt jq-gyel szorozva és xxd helyére x0-t visszaírva xl = x0 (mod m) adódik, amivel a tétel első részét bebizonyítottuk. Viszont, ha x0 megoldása az (5)-nek, akkor ez kielégíti a (4)-et is. Ugyanis x\ = x0 (mod m) miatt n > 2 esetén jCg = Xq 2 • x] = x""2x0 = =••• = jc0 (mod m). Megjegyzés: 1. Tetszőleges a-ra az (n - l,(p(m)) = 1 feltétel teljesülése esetén nem mindig ekvivalensek az xn = ax (mod m) és x2 = ax (mod m) kongruenciák. Például a- 3, n- 4 és w=10 esetén x4 = 3x (mod 10) és x2 = 3x (mod 10) nem ekvivalensek. Hiszen x = 8 (mod 10) megoldása a második kongruenciának, de nem elégíti ki az x4 = 3x (mod 10) kongruenciát 2. Ebből a tételből következik, hogy az (ni- l,(p{m)) = 1 esetén minden x2 = x (mod m) kongruenciára vonatkozó té-tel érvényesül az xn = x (mod m) kongruenciára is. Ezért igaz például a következő: 3. Tétel: Ha (n - 1, <p(m)) = 1 és m = Pxk> • • • P/-, akkor az xn = x (mod m) kongruenciának 57 (i) összes megoldása u9{v) (mod m) alakú, ahol uv-m és (w,v) = 1; (ii) I s inkongruens megoldása van; (iii) az inkongruens megoldások összege 2J~1-gyel kongruens mod m. Bizonyítás: A 2. Tétel miatt elegendő csak az x2 = x (mod m) kongruenciát megoldani. A továbbiakban u és v mindig olyan számokat jelentsen, amelyekre u-v = m és (w,v) = l. (i) Könnyű belátni, hogy x = u*v) (mod uv) megoldása az x2 = x (mod m) kongruenciának. Még azt kell igazolni, hogy minden megoldás u*v) alakban írható (mod m). Valóban ha x0 kielégíti az x2 = x (mod m) kongruenciát, akkor u = (x0,m) jelöléssel vannak y0 és v egészek, amelyekre x = uy0 és m = u-v, ahol (y0,v) = 1. Ezeket az x2 = x (mod m) kongruenciába behelyettesítve az (uy0)2=uy0 (mod u*v) kongruenciához jutunk, amiből (y0,v) = 1 miatt uy0 = 1 (mod v). Innen (w,v) = 1, továbbá y0 = u^'1 (mod v). Tehát x0 = uvly) (mod uv) alakú, amit kívántunk. (ii) A bizonyítás a [10]-ben lévő 4. Tételhez hasonló, (iii) A tétel (i) állítása alapján m=uv, (w,v)= 1 felírással, ha xl = M*v) (mod m) egy megoldás, akkor JK2 = v9{u) (mod m) egy másik megoldás. Mivel (w,v) = 1, így i f ^ + v * 0 = 1 (mod uv). 58 (ii) miatt 2s 1 ilyen megoldáspár van, ezért a megoldásokra Z ^ X 1 ^ 5 " 1 (mod m)-\ Most rátérünk az általános esetre. Oldjuk meg a (8) xn=a-xs (mod m); ( a , m ) - \ kongruenciát Megmutatjuk, hogy elég csak az n> s esetre szorítkozni. Ha ugyanis {a,m)-\y akkor (8) mindkét oldalát a*m)-1-gyel beszorozva a«myi ,xn ( m o d m ) Innen (a,m) = 1 miatt = 1 (mod m). Ezért (8) alakja x5=a'-x" (mod m), ahol a'= a*"0-1 lesz, amelyet kívántunk. A megmaradt n = s esetén a meg-oldás triviális. Tehát a továbbiakban legyen n>s és m- P0k° • Pkl• • • Pk/ (P0 = 2). A (8) kongruencia ekvivalens a xn = axs (mod 2"°) x" =axs (mod / f ' ) / = l,2,...,r kongruencia-rendszerrel. Az (9) xn = oxs (mod / f ) 7 = 1,2, ,/•* kongruenciából (10) xs(xn~s - a) = 0 (mod / f ) . De (xs ,xn s - a) = (x\a) és (m,a) = 1 miatt x5 és xn~s - a kö-zül pontosan csak az egyik osztható />-vel. Ezek alapján (10)-ből (11) xÄ = 0 (mod Pk') 59 vagy (12) (mod i f ' ) -a) Tekintsük a (11) kongruenciát! Nyilván, hogy en-nek megoldása x^Pk-t (mod Pki), ahol v, = k > + s ~ ] L s és t = l,2,...pk'~v', / = 0,1, •••,/•. b) Ezuán (12) következőképpen oldható meg. Ha k0 <2, ill. Pi >2, akkor az x"~s =a (mod pki) kongruencia primitív gyö-kök segítségével visszavezethetők (« - s)yi = bt (mod <p( Pk')) alakú kongruenciára, ahol yi és b sorrendben indexei az je-nek és a-nak. Ezek alapján a megoldások száma d = ((« - s1), cp(Pki)), ha d\bt, 0, különben. k0> 3 esetén legyen c = 2 és c0 = 2k°'2. Ekkor az xn s^a (mod 2*°) kongruenciához létezik b és b0, hogy a = (~l)fc-5b° (mod 2*°), továbbá létezik y és yQ, hogy Un-s)y = b (mod c) (mod c0) x = (-\y-5yo (mod 2*°) (lásd [9]). Ebben az esetben a megoldások száma \d d0, ha d = (n-s,c)\b és d0 = (n-s,c0)\b0, !0, egyébként, ha d - (in - s,c)\b egyébként, és dQ = (n-s,c0)\bQt Az előző jelöléseket használva kapjuk a következő tételt 4 = 60 4. Tétet Az xn=a-xs (mod 2k°- Pk'), (a,m) = 1 kongruencia inkongruens megoldásainak száma M = (Ű0 + P0*0~v)( A + )' -'(A + )• Nézzük meg ezután a (8) kongruencia általános meg-oldását! Először bizonyítás nélkül közlünk két segédtételt, amelyek Kiss Pétertől [5] származnak, 1. Segédtétel. Tetszőleges m > 1 és k természetes számok esetén 2. SegédtéteL Legyen M = q0 -qx-'-qr, ahol qt > 1 és <7oqr páronként relatív prímek, továbbá Q = — . Ekkor Ezután az x"=ax5 (modm1), (a,/w) = l kongruencia így oldható meg: Legyen G, megoldása az x" = axs (mod Pkl) kongruenciának (/ = 0,1,...,r), ahol mk = P0'° P/'---P1/. A h = ( / 0 , t r ) (azaz / 0 , t r legnagyobb közös osztója) jelöléssel /,=/*/;, továbbá M = 2'°-P'{ P'r így Mh = mk. M Vezessük be a T} - ——, j = 0,1,... ,r jelölést A fentiek alapján ^(m*) > k. Z Ö / ^ - 1 (modM*). De az 1. Segédtétel miatt = amiből T ; " !^ ' 0 61 így Mh I P*> • T^''. Tehát ^ ' . x s Q . r " (mod M"). Ezeket 0-tól r -ig összegezve kapjuk Z ^ W l G , ^ ' (mod A/*). v'=i y »=o De a 2. segédtétel miatt JC együtthatója 1-gyel kongruens (mod Mh). Ezzel bizonyítottuk a következő tételt 5. Tétel Az x"=a xs (mod mk) kongruenciának összes megoldása ^ t G r Q Á " ' ] (modm1), j = 0 ahol mk — Gi megoldása az xn=a xs (mod / f ) , M t-t / = 0,l,...,r kongruenciának és Q = — , M = ]~[^f; a Pi ' i=0 f; = / (/0, í,,..., tr) jelölés mellett 62 IRODALOM [1] P. Bachmann: Über Fermat „kleinen" Satz. Archiv. Math, und physik, 21 (1913) 185-187. [2] R. D. Carmichael: Note on a new number theory function; Bull, of Amer. Math. Soc., 16 (1910) 232-238. [3] M. R. Chapron: Sur one proposition erronée Korselt relative aux nombres composes m qui divisent an-a, Bull. Sei. Mat, 80 (1956) 81-83. [4] L. E. Dickson: History of the theory of thenumbers I., Chelsea Publ. Co., New York, (1971) 453-456. [5] P. Kiss. Egy binom kongruenciáról, Acta Acad. Paed. Agr.-Nova Eger, XIV (1978) 453-464. [6] A. Korselt Le probéme chinois ..., Interm. des Math., VI (1899) 143. [7] C. P. Popovici: Sur une équation arith. de D. Pompeiu; Bull. Math, de La Soc. Sei. Math. R.S.R., 9 (1967) 92-97. [8] M. Tédenant Probléme d arith., Anales de Math., 5 (1814) 809-821. [91 I. M. Vinogrodov: A számelmélet alapjai. Tankönyvki-adó, Budapest (1968) [10] P. V. Chung: Egy klasszikus probléma általánosítása. Acta Acad. Pead. Agr.-Nova, Eger, XX (1991) 3-13. 63 : • . ' • • ' ' 

Egy klasszikus probléma általánosítása. II.

http://publikacio.uni-eszterhazy.hu/4208/1/Chung_53-63.pdf

Egy klasszikus probléma általánosítása. II.

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

EKE Repository of Publications