Murciano Gabriella, M.

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- 44 -APPENDICE14. Semi-bande.In anni recenti di versi autori (Benzaken-Mayr (1975) I~ol, Howie ('977) 1111,Piochi (1981) Iltl, ..... ) hanno studiato con tecniche diverse i semigruppigenerati daiidempotenti (o semi-bande).Vogl iamo qui indicare un diverso metodo d i approccio allo studio di una semi-banda, un metodo semplice, "diretto", che, comunque, permette di ottenererapidamente qualche primo risultato.Premettiamo le seguenti definizioni e i seguenti Teoremi già noti.Sia S un semi gruppo senza annullatori diversi da zero (si può supporreche ogni semigruppo soddisfi a questa condizione l'~i), allora S ha la se-guente decomposizione disgiunta (decomposizione sinistra di Szép) :5S - .U O S., = ,doveS -{aeS!aScS e 3xeS,xfO)' ax-O}o(1)S, - {a eS! aS = S e j y eS, yfO " ' ay = O}S2 - {a e S-(So U S,) / aS c S e 3. x, ,x 2 e S, x1 t- x2 e ax, = ax 2}S3 - (a e S-{S U S ) / aS = So 1- 45 -Dualmente si definisce per S la decomposizione destra di Szép5S - .Uo D.1 ~ 1 (2 )Siano ora S. ('D. ~ C..1 J lJe f~ {C ..L· 01 5lJ 1,J= , , ... ,5e i sottoinsiemi C.. sono non vuoti, allora essi sono sttosemigruppi dilJ5 e risulta:5S ~ . U O C.. , Cl·J· n Chk - 01,J~ lJ se (i ;j) F (h,k) (3)La decomposizione (3) di un semi gruppo S viene detta la f-decomposizionedi 5.Teorema 14.1. La f-decomposizione di una banda 5 è la seguente:1) se 1 e S, allora S5 ~ D5 - {1} ; C25 - C52 - 02) se 1 t 5, alloraa) se 55 F 0, C52 - S5' C25 ~ 0,5 ~ CooU CO2 U C20 U C22 U 55dove 55 [D51 ' se non è vuoto, è una banda zero-destra[sinistra] , eC.. (i,j ~ 0,2) è l'unione di bande rettangolari.lJQ:i:o~ v. I13 I ,pag. 14.- 46 -Teorema 14.2. Un semi gruppo 5 è una banda sse la sua decomposizione sinistradi Szép è così data:2) 55 è rettangolare e in esso ogni elemento è unità sinistra;3) S. - Us L (i=1,2), dove le classi La sono sottosemigruppi rettangolaril ae. aldi S.Dim. v. 11il, pago 9.Sia ora 5 una semi-banda, ossia un semi gruppo generato dall 'insieme Edi idempotenti. Ogni elemento s e 5 si può dunque scrivere nella formae. . ... e. ,1 2 \k > 1, e•le E.Se consideriamo i sottosemigruppi e.Sldi 5 (i e I), si ha, evidentemente,Sia 5* - (ìieI e.S .15 - 'U I e.S..1e 1- - -Dim. Sia 5*, • E, po ic hé e.S, • • has e per ogn1 e. e s e S1 e.s - S.1 1 1- -Dunque anche qualsiasi elemento 5 • ha c i oé •per un s e S1 ss - s, s e unodestra • S. Viceversa, è destro di S, • hazero a 1n se So uno zero S1 e.s - so'l oVe. e E, dunque s e e.S, quindi,1 o 1anche é.S - 5*.1In conclusione, il Teorema 14.3 dice che 5* è costituito.da tutti e soli gli(eventuali) zeri destri della semi-banda S.- 47 -Teorema 14.4. La semi-banda S non ha elementi accrescitivi sinistri [destri].Dim. Sia a = e1••• en un elemento accrescitivo sinistro di S. Alloraesiste un sottoinsieme Mc S t.c. aM = S, cioé e1(e 2... en1'1l = S. Poichée1, idempotente, non può essere un elemento accrescitivo,Proseguendo con lo stesso ragionamento, si avrà alla fineperché e e E.ne M= S: assurdo,nTeorema 14.5. Gli elementi u e S tali che uS - S [Su - S] sono tutte esole le unità sinistre [destre} di S.Dim. Se u è una unità sinistra di S, ovviamente uS = S. Viceversa, siau e S tale che uS - S. Sia u (k ) 1). Con lo stesso ragionamentousato nel Teorema '4.4 si ha che---)--- S ===) ... ===) ekS - S,da cui risulta che ek è unità sinistra di S (poiché ek e E).Ma allora, analogamente, e1e2•.• ek_1S = S ===) ek_1S = S, quindi ancheek_,(eE) è unità sinistra di S. Pertanto, proseguendo con questo ragionamento,si ha che e1,e 2 , •••• ,ek sono unità sinistre di S e quindi u = e1e2···ek = ek,cio~ u e E. Ma allora se uS = S ed u e E, u è una unità sinistra di S.In termini di"decomposizione sinistra di Szép" di S, S = 5,UO S., il Teore-1= 1ma '4.5 afferma che S5 è costituito da tutte e sole le unità sinistre di S;infatti per il Teorema 14.4 è S, U S3 = 0, quindi \ è l'insieme di tùtti esoli gli elementi u e S t.c. uS = S.Dualmente è D, U D3 - 0 e 05 è costituito da tutte e sole le unità destredi S.- 48 -Teorema 14.6. S - S5 è un sottosemigruppo di S. ID-D 5 è un sottosemi-gruppo].Dim. Siano a,b e S-S5. Per assurdo, Sla abeS5. Allora (ab)S - S,cioé a(bS) = S. Se bS = S, per il Teorema 14.5 b e E, e anzi b e S5' ciòche è escluso; dunque bS c S; ma allora a è accrescitivo sinistro, controil Teorema 14.4. Dunque ab e S-S5.

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