Sempi, Carlo

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Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

La lezione mancataLa formula dide Moivre – StirlingCarlo Sempi Dipartimento di Matematica e Fisica Ennio De Giorgi, Università del Salento, ItalyNel numero precedente di questa rivi-sta Giampaolo Co’ [1] ha utilizzatola formula di Stirling in una versio-ne adeguata all’uso che se ne riprometteva.Poiché ho scoperto che molti di coloro chela usano non ne hanno mai visto una dimo-strazione, in questa Lezione mancata ne dòuna dimostrazione completa, seguendo quel-la data da Robbins [2]. In primo luogo uncommento sul nome: l’ho chiamata formuladi de Moivre–Stirling anche se è comunemen-te detta formula di Stirling. Tuttavia essa èessenzialmente dovuta a de Moivre; l’impor-tante contributo di Stirling si limita al calcolodella costante√2pi. Si veda in proposito [3].La formula dà una stima asintotica di n!, o, ciòche è lo stesso, di lnn!. Ora lnn! = ln∏nj=1 j =∑nj=1 ln j; d’altro canto, poiché x 7→ lnx è unafunzione strettamente crescente, come illustratonella Figura 1, risulta∫ jj−1lnx dx < [j − (j − 1)] ln j <∫ j+1jlnx dx;da questa relazione, sommando per j =1, 2, . . . , n, scende∫ n0lnx dx < lnn! <∫ n+11lnx dxonde, poiché∫lnx dx = x lnx− x+ c,n lnn− n < lnn! < (n+ 1) ln(n+ 1)− n.j-1j j+1log(x)Figura 1Questa doppia diseguaglianza suggerisce diparagonare lnn! alla media aritmetica del primoIthaca: Viaggio nella Scienza XII, 2018 • La formula dide Moivre – Stirling201e dell’ultimo termine. Tale media èAn =12[n lnn− n+ (n+ 1) ln(n+ 1)− n]=12[n lnn− 2n+ (n+ 1) lnn+(n+ 1) ln(1 +1n)]=(n+12)lnn− n+ an ,ovean :=12ln(1 +1n)n+12ln(1 +1n),che tende a 1/2 al tendere di n a+∞. Si studieràcosì la differenzasn := lnn!−(n+12)lnn+ n . (1)Ora, èsn − sn+1 = lnn!−(n+12)lnn+n− ln(n+ 1)!+(n+12)ln(n+ 1)+ ln(n+ 1)− n− 1=(n+12)lnn+ 1n− 1 ;e poichén+ 1n=1 +12n+ 11− 12n+ 1,si hasn − sn+1 = 12(2n+ 1) ln1 +12n+ 11− 12n+ 1− 1 . (2)Com’è noto, per |t| < 1 vale il seguente sviluppoin serieln(1 + t) = t− 12t2 +13t3 + . . .=∑n∈N(−1)n+1 tnn(3)dal quale, sostituendo −t a t, si ricavaln(1−t) = −t− 1 t2− 13t3−· · · = −∑n∈Ntnn. (4)Sottraendo la (4) dalla (3) si ottieneln1 + t1− t = 2(t+13t3 + . . .)= 2∞∑j=0t2j+12j + 1.In virtú di quest’ultima relazione, la (2) si puòscrivere nella formasn − sn+1 = (2n+ 1)∞∑j=01(2j + 1)(2n+ 1)2j+1− 1=∞∑j=11(2j + 1)(2n+ 1)2j=13(2n+ 1)2∞∑j=03(2j + 3)(2n+ 1)2j.(5)I termini di quest’ultima serie sono maggioratidai termini della serie geometrica di ragione (2n+1)−2 < 1 (per n > 2); scende cosí dalla (5)0 < sn − sn+1 < 13(2n+ 1)211− (2n+ 1)−2=131(2n+ 1)2 − 1=112(n2 + n)=112n− 112(n+ 1).(6)Si vede, intanto, che la successione (sn) è decre-scente è, perciò, ammette limite ξ ≥ −∞; d’altrocanto, pure dalla (6), scendesn − 112n< sn+1 − 112(n+ 1)e, pertanto, la successione (sn−1/12n) è crescen-te ed ammette perciò limite. Di conseguenza,esiste finito ξ := limn→+∞ sn. Segue allora dalla(1) chelimn→+∞n!(n/e)n eξ√n= 1 ,onden! = eξ nn√n e−n eθn . (7)L’eq.(7) è già sufficiente per molte applicazio-ni: mancano il valore della costante eξ e la sti-Ithaca: Viaggio nella Scienza XII, 2018 • La formula dide Moivre – Stirling202ma dell’errore che si commette sostituendo a n!l’espressione eξ nn√n e−n. Incominciamo subi-to dalla stima dell’errore. Dimostriamo ora che0 < θn <112n .Si ricava dalla (5) chesn−sn+1 > 13(2n+ 1)2>112(n+ 1)− 112(n+ 2)e, di qui, che la successione (sn − 112(n+1)) decre-sce. Poiché si è visto che (sn − 112n) cresce, si hala doppia diseguaglianzaξ +112(n+ 1)< sn < ξ +112nsicché, tenendo conto della (1), riesceeξ nn√n e−n exp(112(n+ 1))< n!< eξ nn√n e−n exp(112n).Ciò mostra che nella (7) è 0 < θn < 112n .Il modo piú semplice per calcolare la co-stante eξ consiste nell’utilizzare la (7) per l’ap-prossimazione dei termini della distribuzionebinomialepn,k = P(Sn = k) =(nk)pk (1− p)n−k(k = 0, 1, . . . , n)che è la probabilità P(Sn = k) di ottenere kvolte testa lanciando n volte una moneta perla quale è p la probabilità di testa. La varia-bile aletoria Sn, che conta il numero di testein n lanci, ha media E(Sn) = np e varianzaV (Sn) = np(1−p). Riducendo o, come spesso di-cono i fisici, standardizzando, la variabile aleatoriaSnSn − np√np (1− p)e ignorando il fattore di correzione eθn che tendeuniformemente a 1, si arriva all’espressionelimn→+∞ P(a ≤ Sn − np√np(1− p) ≤ b)=1eξ∫ baexp(−x22)dx .Quest’ultima equazione è il contenuto del teore-ma integrale di deMoivre–Laplace. Ovviamente,si deve avereP(Sn ∈ R) = 1 = 1eξ∫ +∞−∞exp(−x22)dxciò che porta al valore della costante di norma-lizzazione eξ =√2pi. Abbiamo cosí la formuladi de Moivre–Stirlingn! =√2pi nn√n e−n eθn(θn ∈]0,112n[).Z M Y[1] G. Co’: “La lezione mancata. Statistica, entropia etemperatura”, Ithaca XI (2018) 125–132.[2] H. Robbins: “A remark on Stirling’s formula”, Amer.Math. Monthly 62 (1955) 26–29.[3] D.R. Bellhouse: Abraham de Moivre: setting the stage forclassical probability and its applications. CRC Press, BocaRaton FL (2011).\ d [Ithaca: Viaggio nella Scienza XII, 2018 • La formula dide Moivre – Stirling203

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