N. Brych V.

V. Golikov F.

V. Pivovarov L.

В. Голиков Ф.

В. Пивоваров Л.

Н. Брич В.

System analysis and applied information science (E-Journal) / Системный анализ и прикладная информатика

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 1–3, 201442 Обработка информации и принятие решенийВ.Ф. ГОЛИКОВ, Н.В. БРИЧ,  В. Л. ПИВОВАРОВО НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ В ЗАДАЧАХ  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ КЛЮЧЕЙ  С ПОМОЩЬЮ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙВведениеВ работах  [1,2] предложено использовать синхронизируемые искусственные нейронные сети (ИНС) для решения задачи распределе-ния ключей криптографической системы меж-ду двумя  абонентами, имеющими не защи-щенный от прослушивания канал связи и не обладающими общим секретом. Предложен-ный метод в дальнейшем анализировался мно-гими исследователями, в том числе и авторами этой работы  [3], особенно тщательный анализ представлен  в [4]. Однако, на наш взгляд, до сих пор не найдены ответы на некоторые очень важные вопросы, такие как: – всегда ли процесс синхронизации по вхо-дам взаимодействующих  ИНС заканчивается выравниванием векторов весовых коэффици-ентов персептронов, входящих в ИНС (значе-ния изначально задаются абонентами случай-но и независимо друг от друга), т.е. является ли процесс сходящимся;– как определить момент наступления пол-ной синхронизации сетей (полного равенства векторов весовых коэффициентов).Основная частьПусть имеются ИНС, состоящие  из К вну-тренних персептронов (рис. 1). Каждый пер-септрон имеет N входов. Значения дискретной входной величины с равномерным распределением обозначено как 1kjx = ± , где 1, 2, , k K= … , 1, 2, , j N= … . Значение на выходе k-го внутреннего персеп-трона отправителя (получателя) обозначено как A B .Индекс /A B означает, что операция ка-сается обеих сетей A  и B , а единичный ин-декс – что операция касается одной сети соот-ветственно. Выходная величина O каждой ИНС:/ / / /1 1 1 1( ) ,K K K NA B A B A B A Bk k kj kjk k k jO y w x= = = = = = σ a = σ   ∏ ∏ ∏ ∑      (1)где /A Bkjw  – весовые коэффициенты (ВК) пер-септронов; /( )A Bkσ a  – модифицированная функция знака.Модифицированная функция знака ///1, ( ) 0,( )1, ( ) 0.A BkA Bk A Bk σ a ≥σ a = - σ a < (2)Если выходы обеих сетей идентичны  A BO O= ,  (3) то векторы весов тех персептронов, для кото-рых / /(  ) 0A B A BkO y⋅ > , корректируются  в соот-ветствии с правилом:Рис. 1. Синхронизируемые ИНСОбработка информации и принятие решений 431–3, 2014 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА [ ] [ ]/ / /1 [ ] [ ]A B A B A Bkj kj kjw i w i x i O i+ = + .  (4)Если /| |A Bkjw L> , тогда /A Bkjw L=  с соответ-ствующим знаком.В процессе синхронизации по открытому каналу передаются только значения входного вектора kjx  и выходных значений /A BO .Сходимость процессаДля сетей с архитектурой, представленной на рис. 1, строгое доказательство сходимости отсутствует и является весьма сложной теоре-тической задачей. На наш взгляд, гораздо про-ще решать эту задачу от противного, т.е. дока-зать, что существуют такие наборы параме-тров синхронизируемых сетей, при которых достижение полной синхронизации становит-ся невозможным. В многочисленных экспери-ментах с сетями (рис. 1) были зафиксированы редкие реализации, в которых в течение дли-тельного времени полная синхронизация так и не наступила. Детальный анализ эволюцио-нирующих величин сетей показал, что в этих реализациях наступает эволюционный «ту-пик» – полная синхронизация не достигнута, а используемое правило корректировки ВК (соотношение (3)) запрещает ее проведение при любых дальнейших наборах kjx . Пусть синхронизируемые сети состоят из одного персептрона с N входами. Согласно коррекция ВК персептронов не проводится, если A BO O≠  или, что тоже самое, если 1 1A By y≠ , что равносильно 1 111 1100Nj jjNj jjABw xw x==≥ <∑∑  или  1 111 1100.Nj jjNAjjBjw xw x==< ≥∑∑  (5)Если существуют такие значения   и 1Bjw , при которых независимо от значений 1 jx  хотя бы одна из систем неравенств (5) справедлива, то коррекция ВК производится не будет, таким образом возникает указанный выше «тупик». Наборы 1 jx  обновляются, а ВК остаются неиз-менными т.е. несогласованными. Найдем част-ное решение (5). Например, пусть:  1 10 A Bj jw w= = ,  j=2,3,…,N.   (6) Тогда (5) примет вид 11 1111 1100.ABw xw x ≥<   или   11 1111 1100.ABw xw x <≥      (7)Для любых возможных значений x11 (±1) одна из систем (7) будет справедлива, если имеет место  11 11* 0A Bw w < .   (8) Таким образом, «тупик» возникает для зна-чений ВК, определяемых (7) и (8). Эти значе-ния весовые коэффициенты могут принять как при генерации начальных значений, так и в про-цессе синхронизации. Найдем вероятность возникновения «тупи-ка» при генерации начальных значений ВК. Это сложное событие, состоящее из суммы N событий, каждое из которых заключается в том, что один из ВК отличен от нуля, а остальные равны нулю. Вероятность этого события равна1NjjP P== ∑ ,где jP  – вероятность того, что j-тый весовой коэффициент не равен 0, а остальные равны 0. Вероятность того, что 11 110, 0, A Bw w≠ ≠  а 1 1 0 A Bj jw w= = ,   j=2,3,…,N, равна()1 12 13 1 1112 13 1 110, 0, , 0, 0, 0, 0, , 0, 0A A A ANB B B BNP P w w w ww w w w= = = … = ≥≥ = = … = < +()12 13 1 1112 13 1 11 0, 0, , 0, 0, 0, 0, , 0, 0 .A A A ANB B B BNP w w w ww w w w+ = = … = << = = … = ≥Поскольку все перечисленные события не-зависимы, то( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )1 12 131 11 12 131 11 12 131 11 12 131 110 0  0 0 0 00  0 0 00 0 0 00  ( 0).A AA A B BNB B A ANA A B BNB BNP P w P wP w P w P w P wP w P w P w P wP w P w P w P wP w P w= = = …= ≥ = = …= < + = = …= < = = …= ≥ Так как для ИНС, состоящей из  одного персептрона, каждый ВК может принять d зна-чений, где 2 1d L= + , то( )/ 11 0A BjP w d -= = ,  ( )/ 111 0 ( 1)A BP w L d -≥ = + , 111 0ABP w Ld -  < =  , и окончательно имеемСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 1–3, 201444 Обработка информации и принятие решений( ) 21 2 1 (2 1) NP L L L -= + + .Аналогично найдем вероятность P2. Это вероятность аналогичного сложного события при котором все ВК персептрона равны 0 за исключением второго. Аналогично находим P3, P4, ..., PN. Окончательно вероятность иско-мого «тупика» равна ( ) 212 1 (2 1)NNjjP P NL L L -== = + +∑ . (9) Для ИНС, состоящей из  К персептронов, где К – нечетное число, несложно найти тупи-ковые значения ВК. Пусть ВК первого персеп-трона каждой сети выбраны согласно (6), (8), что обеспечивает 1 1A By y≠  при любых наборах 1 jx , следовательно, для остальных К-1 персеп-тронов необходимо обеспечить A Bi iy y= , где 2,3, ,i K= … . В этом случае A BO O≠  и коррек-ция ВК не должна проводиться. Для этого мож-но задать, например, следующие значения ВКBijAijw w= ,   2 ,3, ,i K= …  ;  j=1,2,…, N.Рассуждая аналогично, можно найти зна-чения ВК, при которых не будет осущест-вляться их коррекция и при четном количестве персептронов.Определение момента наступления пол-ной синхронизацииЭкспериментальное исследование, приве-денное с помощью имитационной модели, по-казало, что число тактов синхронизации ct , необходимое для наступления равенства ВК, является случайной величиной с законом рас-пределения, зависящим от параметров сетей – L, К, n (рис. 2).Как видно из рис. 2, величина ct  изменяет-ся от 0 до нескольких тысяч тактов. Действи-тельно, 0ct = , если векторы ( )0 , (0)A BW W  изначально оказались равными. Естественно, вероятность этого события очень мала. Напри-мер, если длина векторов  в битах равна d, то вероятность равна ( )( 0 (0)A BP W W= )=1 / 2d .Неопределенность относительно насту-пления полной синхронизации ВК для абонен-тов приводит к тому, что процесс синхрониза-ции может продолжаться уже после выравни-вания ВК. Это предоставляет злоумышленни-ку время на реализцию одной из возможных атак на формируемые ключи [4]. К сожале-Рис. 2. Закон распределения числа тактов синхронизации, необходимых для наступления равенства ВКОбработка информации и принятие решений 451–3, 2014 СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКАнию, в известных нам работах вопрос об оста-новке процесса синхронизации ВК не рассма-тривается. Для решения этой задачи возможен следу-ющий подход. В процессе синхронизации по-ка ( ) ( )A BW i W i≠ , наблюдаются такты, в ко-торых ( ) ( )A BO i O i≠ , и такты, в которых ( ) ( )A BO i O i= . Последние могут образовы-вать непрерывные последовательности и сви-детельствовать о наступлении полной син-хронизации с некоторой вероятностью. Дей-ствительно, как показали эксперименты, до-вольно часто встречаются отрезки тактов длиной до нескольких сотен и более совпаде-ний ( ) ( )A BO i O i= , однако синхронизация еще не достигнута. Введем в рассмотрение случай-ную величину t – длину непрерывной после-довательности тактов, в которых ( ) ( )A BO i O i= , но полной синхронизации не наступило. Мо-делирование показывает, что эта величина из-меняется от 2 до нескольких сотен. Огибаю-щая закона распределения этой величины представлен на рис. 3.В качестве предельно значения t, при кото-ром возможно наступила полная синхрониза-ция, можно выбрать квантиль распределения уровня ℰ случайной величины t. Обозначим эту величину tсинхр. Таким образом, вероят-ность того, что случайная величина  t не пре-высит tсинхр, должна быть не менее ℰ  ℰ.   (10)Решая (10) относительно tсинхр, получим пороговое значение для принятия решения об остановке процесса синхронизации. Рассмотрим  пример. Пусть синхронизи-руемые ИНС имеют параметры:  L = 5, К = 5, N = 5. Зададимся двумя уровнями квантилей 1 20,95, 0,01ε = ε =  и вычислим значения tсинх1 и tсинх2, соответствующие этим уровням. Для этого промоделируем процесс синхронизации и построим закон распределения длин отрез-ков t для сетей с заданными параметрами ( )P t  (рис. 4). При этом оказалось, что:  tсинх1 = 61 , tсинх2 = 82. Т.е. чтобы обнаружить наступление полной синхронизации ИНС с вероятностью ошибки 5% или 1% нужно остановить процесс синхронизации, когда достигнута длина отрез-ка тактов, в которых ( ) ( ) ,A BO i O i=  равная 61 или 82 соответственно. Поскольку предлагаемый способ носит ве-роятностный характер, то в некоторых случаях процесс формирования общего ключа будет Рис. 3. Закон распределения tСИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА 1–3, 201446 Обработка информации и принятие решенийостановлен слишком рано, и абоненты будут иметь несовпадающие ключевые последова-тельности. Поэтому предлагаемый метод может быть дополнен механизмом проверки W A(i) = W B(i). Так как значения W A(i),  W B(i)  являются секретными, и обмениваться ими в открытом виде нельзя, то предлагается обмениваться зна-чениями некоторой функции f (W A/B(i)), которая должна обладать следующими свойствами:1. Если f (W A(i)) = f (W B(i)), то W A(i) = W B(i).2. Зная f (W A/B(i)), вычисление W A/B(i)  пред-ставляет собой задачу огромной вычислитель-ной сложности.3. Зная  W A/B(i), относительно легко вычис-ляется  f (W A/B(i)).Этим условиям наиболее полно соответ-ствуют функции, относящиеся к классу хэш-функций и широко используемые в криптогра-фии. Они, как правило, стандартизованы и хо-рошо исследованы.  Рис. 4. Определение момента наступления полной синхронизацииЛитература1. Kanter, I. The Theory of Neural Networks and Cryptography, Quantum Computers and Computing / I. Kanter, W.Kinzel. − 2005. Vol. 5, n. 1. – P. 130−140.2. Kinzel, W. Neural Cryptography / W.Kinzel, / I. Kanter // 9th International Conference on Neural Information Processing, Singapore, 2002.3. Голиков, В. Ф. Механизм синхронизации весовых коэффициентов в искусственных нейронных сетях Кинцеля и проблемы безопасности / Н.В. Брич, В.Ф. Голиков // Электроника ИНФО. – №6(96). – С.185-188.4. Ruttor, A. Dynamics of neural cryptography / A. Ruttor, I. Kanter, and W. Kinzel // Phys. Rev. E, 75(5):056104, 2007.

О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ В ЗАДАЧАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ КЛЮЧЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

https://sapi.bntu.by/jour/article/download/23/19

О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ В ЗАДАЧАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИПТОГРАФИЧЕСКИХ КЛЮЧЕЙ С ПОМОЩЬЮ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

System analysis and applied information science (E-Journal) / Системный анализ и прикладная информатика