EnThis report expounds some results of N. Teleman on the smoothing problems for PL-manifolds.It is proved that the existence of Reimannian metrics with "constant volume density" implies smoothing.This treatment can also be regarded as a "geometric" introduction to smoothing problems.The Appendix is a brief description of the tangent (micro) bundle of a topological manifold

De Cecco, G.

Italian

Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

T : IKj -. M- l -INTRODUZIONEUna varietà topologica M(paracompatta) è detta triangolabile se esiste unomeomorfi smodetto triangolazione, tra il sostegno di un complesso simpliciale localmente fi-nito(-)K ela varietà stessa. Il poliedro P - IKI si può pensare sottoinsieme diqualche spazio euclideo RN. Un'applicazionemf : P -> Rè detta lineare a tratti (o PLcpiecewise linear) se esiste una decomposizion~r(f:,}(aeA,aO ::. r ::. m) di K •per CU1r Rm: Ò ->aè un'applicazio~e affine~ = {( U. ,~ . ) ). I è dettol 1 l erper ogni simplesso òClPL se ogni omeomorfismoE K(--). Un atlante di Me PL~. o 6~l: ~.(u.nu.) -> ~.(u.nu.)J l 11 J J1 Jper la struttura lineare canonica di Rm. Una PL-varietà e una copp1a(M,4» dove è un atlante PL massimale per M. Si dice anche che euna PL-struttura per M.Ogni PL-varietà (M,~) ha una triangolazioneT : P -> Mtale che ogn1 applicazione seguente è PL-1 -lT o~. : ~.(U.) -> pl l 1(t) Cioé in ogni vertice concorre un numero finito di simplessi (potendo essereil compl~sso anche infinito).~.. ) Cioé • r 1: r Lse a. sono l ve:rtici di ò e x = t.a.e 6 con t. - l , .11-•l Cl l l l Cl l l•lora f{x) - h.f{a.).l l l- 2 -Una varietà PL con una triangolazione fissata, compatibile con la struttura PL, è detta combinatoria. Da quanto procede segue che ogni varietàPL ammette almeno una struttura combinatoria, la quale in generale non èunica; ogni varietà combinatoria poi induce una struttura PL. Perciò levarietà PL e combinatorie spesso vengono confuse tra loro. Il loro stu-dio forma l'oggetto della topologia combinatoria.Si può considerare la categoriatà PL e i morfismi le applicazioniPL e detta PL-isomorfismo.PL i cui oggetti sono le varle-PL. L'equivalenza nella categoriaIntuitivamente una varietà PL è una varietà di dimensione m con unaclasse d'equivalenza di triangolazioni. Storicamente sono state formulatele seguenti congetture:1) Congettura della triangolazione:Ogni m-varietà topologica ammetteuna struttura PL, o più in generale una triangolazione.2) Hauptvermutung per le varietà:Due PL-varietà qualunque omeomorfe sono PL-equivalenti.Si è dimostrato (Poincarè, Rado, Papakyriakopoulos, Moise) che le duecongetture sono vere per m < 3. Invece R.C.Kirby e L.C. Siebenmann [4] han-no costruito esempi in cui le due congetture sono false per m~ 4.Se M è invece una varietà differenziabile,la congettura l) è vera.Più precisamente Cairn CD ha dimostrato che ogni varietà differenziabilepuò essere triangolata, anzi Whitehead L14 J ha provato l'esistenza (e l'un.1-cità a meno di isomorfismi PL) di una triangolazione differenziabile campabile con la struttura differenziabile. Cioè su M esiste una triangolazioneT : IKI -+ Mtale che per ogni simplesso t::. E K, l'applicazione- 3 -è un diffeomorfismo con l'immagine rispetto alla struttura differenziabiledi M.Sorge allora spontaneo il problema inverso: data una varietà combinato-rla M, è possibile trovare su M una struttura differenziabile compatibi-le con la struttura PL, in breve uno "smussamento" (in inglese "smoothing")?Munkres 1111 ha dimostrato che Cl sono ostruzioni a11 'esistenza di unastruttura differenziabile su una varietà M combinatoria e queste sono clas. d' l' Hi(M,r i - l ) d 'l d' M rh 'lsllcoomoogla ove 1= , ... ,m= 1m e el gruppoh-ldei diffeomorfismi della sfera S modulo il sottogruppo invariante dei diffeomorfismi che si estendono a diffeomorfismi del di,sco oh.Ricordiamo che i gruppih = 1,2, ... ,6. (Invece per es.hr sono abeliani finiti7 '" 8 '"r = 7l 28 , r =71 2 ).Vh e hr - O perLa teoria dello smussamento ha come oggetto il problema di studiare l'esistenza di smussamenti di varietà PL e di classificarli.Se indichiamo con V~66 la categoria delle varietà differenziabili econ Top la categoria delle varietà topologiche, le situazioni che si presentano possono essere illustrate schematicamente dal seguente diagrammaw, PLFI Topdove F è il funtore dimenticante e W il funtore di Whithead che ad unadata varietà differenziabile associa la varietà PL avente lo stesso so-stegno e la struttura PL assicurataci dal teorema di Whithead.Per ogni categoria si va allora alla ricerca di insiemi completi di inva-rianti che caratterizzino le classi d'equivalenza di varietà. Spesso la dif-ficoltà essensiale nel passaggio da una categoria a11 'altra risiede nel tra-- 4 -durre adeguatamente i concetti propri di una categoria in concetti signi-ficativi anche per l'altra. Un esempio di ciò è il concetto di microfibr~to introdotto da Milnor (1961), indispensabile nella teoria dello smussa-mento. (lO)In questi appunti, che espongono risultati recenti di N. Te1eman [1~,Sl affrontano gli aspetti analitici delle varietà PL • •1n una nuova V1S10-ne diversa da quella seguita da Munkres, Hirsch, Lashof, Rothenberg. Infa!ti estendendo la nozione di metrica riemanniana su varietà combinatorie, sidimostra che le metriche così introdotte definiscono una generalizzazionedel concetto di smussamento, caratterizzando nello stesso tempo qualidelle tali metriche inducono uno smussamento nel senso usuale. Cioè si di-mostra che su una varietà combinatoria M gli smussamenti sono in corri-spondenza biunivoca con le metriche riemanniane generalizzate a "densità divolume costante" su M.La presente trattazione può essere considerata anche un'introduzione"geometrica" ai problemi dello smussamento. Infatti si dà anche una rea-lizzazione geometrica dello spazio PL(m)/O(m) che gioca un ruolo fonda-mentale nella teoria ormai classica dello smussamento. Esso risulta fibradel fibratof(M) - UxeMrxe 10 spazio topo10gico di tutte le metriche "riemanniane norma-dove rx1i zzate" l n x.Allora la varietà combinatoria M ammette una struttura differenziabilese e soltanto se esiste una sezione globale continua di r(M). Ogni seZlOne continua in r(M) definisce uno smussamento.(lO) Cfr. l'Appendice.

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