Miccoli, M. M.

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Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

I BI-IDEALI NEI SEMIGRUPPI REGOLARI E NEGLI ORTOGRUPPI.Introduzione.Il concetto di bi-ideale, che generalizza quello classico di ideale, è statointrodotto nel 1952 da Good e Hughes e si è in seguito rivelato molto utile.Infatti vari autori (Lajos, Steinfeld, Kuroki, Szàsz, .•.. ) hanno ripropostouno studio più approfondito dei semi gruppi regolari e loro sottoclassi attrave~so i bi-ideali, ottenendo tra l'altro delle interessanti caratterizzazioni.Recentemente Steinfeld [10J ha dimostrato che la completa regolarità di unsemi gruppo è sufficiente a garantire la completa regolarità di ogni suo bi-ide~le. In questo lavoro si dimostra invece che la regolarità di un semi gruppo nonè sufficiente a garantire la regolarità di ogni suo bi-ideàle.Si prova inoltre che esiste un isomorfismo tra i semi gruppi B(S) e B(S/H)dei bi-ideali di 5 e S/H, quoziente di 5 rispetto alla relazione di Green H.,ove 5 sia un semigruppo regolare ed H sia una congruenza.Spesso i citati autori hanno utilizzato il semi gruppo B(S) dei bi-idealidi 5 per caratterizzare alcune classi di semigruppi. Analogamente qui si pervi~,ne a delle caratterizzazioni di alcune sbttoclassi di ortogruppi mediante pro-cprietà di B.(S), caratterizzazioni che tra l'altro evidenziano il legame esi-ostente tra &(5) e la banda E degli idempotenti ,dell 'ortogruppo 5; in partic~lare si è provato che esiste un isomorfismo tra B (5) e B (E).DEFINIZIONE 1 - Un sottosemigruppo B(#~) di un semi gruppo 5 si dicebi-ideale di 5 se BSB cB.-E' noto che se 5 è regolare BSB - B, per ogni bi-ideale B di S.TEOREMA 1 -Se ogni bi-ideale principale di un semi gruppo 5 è regolare, allora 5 è co~pletamente regolare.Dim.Sia a un elemento di un semi gruppo S, si consideri il bi-ideale principale- 2 -enerato da a, (a)b. Poiché (a)b è per ipotesi regolare eo un elemento x di (a)b ed un elemento s di S tali che aue che a è un elemento completamente regolare di S.(a)b = aSa, esisto-2 2= axa = a sa . Se-In [10J Steinfeld ha dimostrato che la completa regolarità di un semi gruppoquivale alla completa regolarità di ogni suo bi-ideale. Da questo risultato e.al Teorema 1 segue immediatamente che la regolarità di un semi gruppo non garan-.isce la regolarità di ogni suo bi-ideale, anzi neppure la regolarità di ogni suoi-içeale principale.Il seguente teorema fornisce una proprietà dèi bi-ideali di un semi gruppo reolare .,TEORE~1A 2Ogni bi-ideale di un semi gruppo regolare S è unione delle H-classi dei suoilementi.Dim.Sia B un bi-ideale di un semi gruppo regolare S. Evidentemente B è contenuton b~B Hb; inoltre, se x è un elemento di b~B Hb, esiste un elemento b' ditale che x Hb', cioé tale che xS = b'S ed Sx = Sb'. Da ciò e dalla regola-i tà di S seguex = xax - b'sx = b's'b' (con a,s,s' opportuni).Usualmente si denota con B(S) il semi gruppo dei bi-ideali di un semigruppo S.TEORE~ 3Sia S un semi gruppo regolare con H congruenza. Allora i semigruppi B(S)B(S/H) sono isomorfi.Di m.Sia S un semi gruppo regolare con H congruenza e sia--3 -f : B(S) ~ B(S/H)l'applicazione cos, definita: f(B) = HB ove HB = {Hb}beB' L'applicazione fè ben posta. Infatti, se b1,b2 sono due elementi di B ed s è un elemento diS,con b1sb2 elemento di B,è un bi-ideale di S/H.per cui Hb1H Hb è un elemento di HB, che pertantos 2Si dimostra che f è i somorfismo. Siano B e B' due bi-ideali di S tali cheHB = HB,; allora, per il teorema 2, B = B', cioé f è iniettiva.D'altra parte, se T è un ~ottoinsieme di S tale che H = {Ht}teT è un bi-idèle di S/H, t~T Ht è un bi-ideale di S. Infatti, se x,y sono due elementi di~T Ht ed s è un elemento di S, esistono t 1,t2 elementi di T tali che x sta inHt e y sta in Ht e, poiché H è un bi-ideale di S/H1 2ove t' è un elemento di T. Pertantoxsy e Ht 1cioé t~T Ht è un bi-ideale di S e quindi f è suriettiva.Siano infine B e B' due bi-ideali di S e siano b un elemento di B e b' un ele•mento di B'; allora Hb Hb, = Hbb , e quindi HBHB, ~ HBB ,.Inoltre sia x un elemento di BB' e siano b un elemento diB e b' un elemento di B' tali che x = bb'. Allora, se h è unhS = bb'Selemento di HxSh = Sbb' .- 4 -Da ciò e dalla rego1arit~ di 5, segueh = hah = bb'sh = bb's'bb'ove a,s,s' sono opportuni elementi di 5. Pertanto h è unInoltre se k è un altro elemento didi s, è bb's"b Hbb's'b. Allora-H , k = bb's"bb', conxelemento di Hbb's'bHb"s" opportuno elementoPastijn in [6J ha dimostrato che se 5 è regolare B(5) è una banda narmale,'(cioé per ogni A,B,C in 5(5), ABCA = ACBA) se e solo se 5 è intraregolare.Da questa propriet~ di B(5) e da una caratterizzazione di Lajos (cioé, 5 è re-golare e intrarego1are se e solo se 8(5) è una banda) (cfr. [9J) segue irrme-diatamente il seguente teorema.TEOREMA 4Un semi gruppo 5 è regolare e intrarego1are se e solo se B(5) è una banda normale.Poiché un ortogruppo è un particolare semigruppo regolare e intrarego1are,se 5 è un ortogruppo 8(5) è una banda normale. Per questa classe di semi--gruppi è interessante ricercare la relazione esistente tra la banda dei bi-idea-li e la banda degli idempotenti.TEOREMA 5Un semi gruppo 5 è un ortogruppo se e solo se ogni bi-ideale di 5 è un orto-gruppo.Dim.5ia 5 un ortogruppo e sia B un bi-ideale di 5, allora è noto che B è comp1e- 5 -tamente regolare (cfr. [10J). Inoltre, se e ed f sono idempotenti di B, e fè un idempotente di B perché l'insieme degli idempotenti di S e B sono so!tosemigruppi di S.Il viceversa è immediato.COROLLARIO 6Un semi gruppo S è un ortogruppo con la banda degli idempotenti di tipop, ove P è uno qualsiasi dei tipi di banda classificati in [7], se e solo seogni bi-ideale di S è un ortogruppo con la banda degli idempotenti di tipo P.Se S è un ortogruppo con H congruenza, 1~ bande E ed S/H sono isomor-fe. Allora dal Teorema 3 segue che le bande E(S} e S(E} sono isomorfe.Però, se S è un ortogruppo, l'isomorfismo tra E(S} e E(E} esiste anche se ilnon è una congruenza. Vale infatti il seguente teorema.TEOREMA 7Sia S un ortogruppo con banda degli idempotenti E. Allora le bande E(S}e E(E} sono isomorfe.Dim.Sia S un ortogruppo con banda degli idempotenti E e siaZ : E(S} -.. E(E}l'applicazione così definita: Z(B) = E(B), ove E(B} è la banda degli idemplÌl-tènti di B. L'applicazione Z è-ben posta. Infatti, se B è un bi-ideale di Sed e, f sono due elementi di E(B) _e g è un elemento di E, efg sta inE{B)~erché E è una banda e B è un bi-ideale di S; pertanto E(B) è un bi-idealedi E.Si dimostra che Z è un i somorfismo. Siano B e B' due bi-ideali di S tali cheE(B) = E(B') e sia b un elemento di B. Per il teorema 5, esiste un elemento x- 6 -di B tale che b = bxb e xb - bx; allora, essendo bx un idempotente di B equindi di B',b = bxb = bxbxbè un elemento di B'. Analogamente si prova che, se b' è un elemento di B', b'è un elemento di B. Pertanto B - B', cioé Z è iniettiva.Sia ora B un bi-ideale di E e sia B' il bi-ideale di S generato da B. Al~·lora ogni elemento di B è un idempotente di B'; inoltre, se 'e è un idempoten-te di B', poiché B' = BSB, esistono b1,b 2 elementi di B ed s elemento di S talichequindi e è un elemento di B. Pertanto B' è un bi-ideale di S la cui banda de-gli idempotenti è B, cioé Z è suriettiva.Siano infine B e B' due bi-ideali di S; allora, evidentemente, E(B)E(~) c E(BB'), -Inoltre, se e è un elemento di E(BB'), esistono b e b' elementi rispettivamentedi B e B' tali che e = bb'.•Denotate con b' l'unità della H-classe di B' contenente b' e con b l'unitàdella H-classe di B contenente b, si ha~ ~ ~ ~ fteb = bb'b - bb'b = beb e E(B).~ ~, ~ A A Ab'e - b'bb' = b'bb'b' = b'eb' e E(B').-1Allora, se b è l'inverso di b nella H-classe di B che lo contiene e seb,-1 è l'inverso di b' nella H-classe di B' che lo contieneA'" "'"A -'lo AA '" ~ A 2ebb'e - bb'bb'bb' - bb'b'bb'bbb' ;'bb'\b'b) bb' -"" ,. 2- bb'b'bbb' - bb'bb' = e = equindi e è un elemento di E(B)E(B'). Pertanto Z è un omomorfismo.Una banda E è detta regolare sinistra [risp. destra] se, per ogni coppia(e,f) di elementi di E ef = efe [fe = efe}. S. Lajos ([3], [4J) ha caratteriz-- 7 -zato gli ortogruppi con la banda degli idempotenti E regolare sinistra[risp. destra]. Ha infatti dimostrato il seguente teorema, del quale, ovvi amen-te, vale il duale.TEOREMA 8Un semi gruppo 5 è un ortogruppo con la banda degli idempotenti E· rego1~re sinistra se e solo seB(S) è un semi gruppo rego1àre di cui 5 è una unità destra.Il Teorema 9 che segue (del quale vale anche il duale, Teorema 9') caratte-·rizza la stessa classe di semigruppi, mettendo però in evidenza la relazione·che esiste tra le bande B e 6[5).TEOREMA 9Un semi gruppo 5 è un ortogruppo con la banda degli idempotenti E rego-lare sinistra se e solo se B(5) è una banda regolare sinistra.Dim.5ia 5 un ortogruppo con la banda degli idempotenti E regolare sinistrae siano A,X due bi-ideali di E. Allora, se a è un elemento di A ed x.un elemento di X, ax = axa, cioé l'elemento ax di AX sta in AXA e quindiAX ~ AXA. Inoltre, se aa' sono due elementi di A ed x è un elemento di X,axa' = a(xa'x), cioè l'elemento axa' di AXA sta in AX e quindi AXA c AX. Per-tanto B(E) è una banda regolare sinistra. Da ciò e dal Teorema 7 segue cheB(5) è una banda regolare sinistra.Viceversa, sia B(5) una banda regolare sinistra; allora B(5) è un semi-gruppo regolare e B5 = B5B = B per ogni bi-ideale B di 5. Da ciò e dal Teo-rema 8, segue che 5 è un'ortogruppo con la banda deg1 i idempotenti E regolaresinistra.Diciamo che una banda E è normale sinistra [risp. destra] se efg - egf[gfe = fge] per ogni e,f,g elementi di E.- 8 -Evidentemente una banda normale sinistra [risp. destra] è regolare sinistra[risp. destra].TEOREMA 10 [10']Se i l semi gruppore sinistra [destrà],Dim.B(S) dei bi-ideali di un semi gruppo S è una banda regola-allora B(S) è una banda normale sinistra [destra J.Sia B(5) una banda regolare sinistra e siano A,X,Y bi-ideali di S. Allo-raAXY = AXYX = AXAYX c AYXAYX = AYXY = AYAXY c AXYPertanto AXY = AYX, cioé B(S) è una banda normale sinistra.Dai Teoremi 9 - 9' e 10 - 10' si ottengono immediatamente il teorema se-guente ed il suo duale.TEOREMA 11Un semigruppo 5 è un ortogruppo con la banda degli idempotenti E regolaresinistra se e solo se B(S) è una banda normale sinistra.Immediata conseguenza dei Teoremi 9 - 9" è la seguente caratterizzazione,dovuta a Kuroki (cfr. [SJ), degl i ortogruppi nei quali la banda degl i idempo-tenti E è un semireticolo.TEOREMA 12Un semi gruppo 5 è un ortogruppo nel quale la banda degli idempotenti E è unsemireticolo se e solo se B(S) è un semireticolo.Poiché, come si è precedentemente osservato, se S è un ortogruppo B(S)è una banda normale, dai Teoremi 9,10,11,12, e loro duali si ottiene infine ilseguente teorema.- 9 -TEOREMA 12Se un semigruppo S è un ortogruppo con la banda degl i idempmtenti E di tipop ,ove P è uno qualsiasi dei tipi di banda classificati in [7J, allora 8(S)è una banda di tipo P. Inoltre se il tipo p è quello di banda regolare sini-stra, o regolare destra, o semireticolo, allora e solo allora vale il viceversa

I bi-ideali nei semigruppi regolari e negli ortogruppi

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