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Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

- 25 -2.4. Rappresentazione della misura di Lebesgue.Useremo ora il Teorema di Loeb per rapprèsentare la misura di Lebesguesu [0,1"1, come è stato fatto da Anderson [9] ,[lOJ. Tale rappresentazionesi e rivelata utile, perché è in un certo senso una rappresentazione "di-screta", come preciseremo più avanti.Sia e si divida l'intervallo "[O, l] (dove si pensa Oidentificato con l) con una partizione ,,-finita in w partil l 2l[o,-); [-, );w w w... [ v , _'0.:.......:.+...:1--,); •••w w[ w - lw, w)}Sia f3 l'algebra dei blocchi interni (unioni i:-finite di tali intervalli)generata da tale partizione. Si definisca una probabilità uniforme m su japonendol'0 +1--'----'-l -w w•Il teorema di Loeb dà una misura o-additiva L(m) definita sulla o-alg~bra L(.B).Si consideri allora,!'={X:XcDimostriamo che:-l[O, l] , st (X) e L( f3)}( i )( i i )è unaDefinendosgue.o-algebra contenente i Boreliani-lA(X) = L(m)(st (X)) , si ha che A è la misura di Lebe-Diamo solo uno sketch della dimostrazione di (i) e (ii); per i dettaglivedere [9J ,[lOJ, [llJ ' dove si prova che ogni misura di Radon su uno spaziocompatto si può rappresentare analogamente a quanto si fa per la misura- 26 -di Lebesgue.In [27J si trova una discussione di quali • gl i • topologici XSlano span per-l porta tloreliani di X insiemi che stanno in L(·4'(X)) •CUl stx lnDimostrazione di (i). Per semplicità supporremo w - n!, conè una a-algebra poiché lo è L(ja). Basta allora vedere che conti ene intervalli della forma [a,b). Poiché esistono successioni di numerl raZlOnalitali che• • •• • •< a <- n-'5 b <- m-•••• • •< a-< b-[a ,b) _nneN UN [a ,b )me n m ,-l hè sufficiente dimostrare che, per a,b razionali, st [a,b) e L('p).Osserviamo ora che, se mnerO, l] , mnvwcon O ~ v ~ w , essendown•e t-l. Denoti amo, per x e [0,1],q(x) = (y : y e ·[0, l), y < x, Y ~ xlSia [a,b) c [0,1] ,con a,b razionali per cui a - , b -w w. AlloraPoichéVlF 'w w ) e f3 , è sufficiente dimostrare che, per ogni razionale- 27 -o < a ~ 1, q(a) € L( /3).Si prendaNe seguek € N tale che 1O < k < a '"e v € N tale che a-vwwv - -q(a) =n~ k[--w....:n,--,per cui q(a)€L(f;3).•Per dimostrare (ii) S1 tiene conto del fatto che per ogni intervallo[a,b) è À[a,b) = b - a, e p01 si procede in modo ovvio.La rappresentazione sopra descritta si è rivelata utile (vedi [10J [131) perla costruzione del moto Browniano e per una dimostrazione del tutto combinato-ria della congettura di Edworth. L'utilità viene proprio dal Teorema 6 e dalfatto che, se g: [O,lJ + R è misurabi1e secondo Lebesgue, allora,. '"0g _ st. g: [O,lJ + R e L(m)-misurabile ed è costante sugli intervalli[ vw'0+1, -'-'-).w

Rappresentazione della misura di Lebesgue

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