Paracelli, C.

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- 5 -Le condizioni CUl deve soddisfare un metodo k-step del secondo ordine sono:ka) .E Cl. - OJ=o Jk kb) .E 8 - .EljCl .J=o J J= Jk l k .2c) j8.r= "2 j~lJ Cl.j=l J J§3. Alcune considerazioni sul e-metodo ed estensione a una classe di meto-di lineari multistep A-stabili.La classe di metodi lineari ad un passo del prlmo ordine e data da3. lusualmente chiamata "e-metodo".Tale metodo è A-stabile se e solo se e <si ritrova il metodo di Eulero, per le = -2l (3)2 ; ln particolare per 8= Ola regola del trapezio risultando solo in questo caso del secondo ordine.Se la f soddisfa alla condizione (1.2) risulta:3.2 V n € N •Infatti componendo scalarmente la (3.1) con f - f si ha:n+l nO >((l-e)f l+ef ,f l-fn)=(2e-l)(f,f 1)-e1if 11 2 +(l-e)11f 1112- n+ n n+ n n+ . n n+e tenuto conto che 2e-l < O e chelI(x,y)l < llxll 'I! yll :: "2( Il xll2' +11 y1l2)s i ha:S'iX ,y € R- 6 -< - f )n< O •Se la f é strettamente monotona si ha:La (3.3) consente di dire che la successione {II f Il} é convergenten neNed é tale cheV n e Ne quindi la successione {YnlneN é limitata. Inoltre S1 ha:3.4 lim Il Yn+l - Yn Il = On_-Indicato con Y il limite della successione convergente {Y lk neNnConsiderando la (3.1) relativamente allaestratta dalla per la (3.4) anche -converge a y.e passando al limiteper n -> - -segue che necessariamente y é il punto di equi--librio e per l'unicità di esso anche {Yn}neN converge a y .Si consideri ora la classe di metodi a k-passi3.5kYn+k - Yn+i = h jEo B. f .J n+J per -•e S1 pongaSi dimostra che se il metodo (3.5) é A-stabile ed f soddisfa alla (1.2),esiste una matrice G di ordine k reale simmetrica e definita positivatale che:3.6 •Infatti componendo scalarrnente la (3.5) con p(E)fnsi ha:(Yn+k-Yn+i,fn+k-fn+i) = h(o(E)fn,p(E)fn) ~ Oed essendo il metodo A-stabile quindi G-stabile [2] esiste una matriceG simmetrica e definita positiva tale che :- 7 -e pertanto è verificata la (3.6).Si noti che per il e-metodo e k - l e G - 1§4. Una classe di metodi lineari mu1tistep G-stabi1i del secondo ordine.Si consideri la classe di metodi a k-passi, k > 24. 1 Yn+k -Yn+ì = h[a(f k+f .)+Bn+ n+1k-1.1: 1J=l+i-lf "+ r "n+j . j~o f .]n+J O<i<k-1. --m < n.m.1: sono da ritenersi nulle quandoJ= nSi vogliono ricercare metodi G-stabili dalla (4. l) e di ordine massimo.con la convenzione che leSi verifica facilmente che le condizionib) k - i - 2a + B(k - i - l) + Y ic) k2 .2-12 - (k+i )a+ Bk-l1: jj=i + l + Yi-l1:j = lJsono soddisfatte se e solo se Y - O e 2a + (k-i-l)B = k-i.In questo caso i polinomi p(,) e 0(,) associati al metodo (4.1) peri F O hanno divisori comuni e pertanto la classe di metodi (4.1) è r1con-ducibi1e alla seguente classe4.2 Y = h[ a(f k+f)n n+ nk-l1:j=lf . ]n+J •Per lo studio di tali metodi si consideri la matrice G reale e sifTllle-trica di ordine k/ 2 8 .... B B \a II •,I B 2a B B IG I l- , • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •II • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •\ B B B 2a,

Alcune considerazioni sul $\theta$ -metodo ed estensione a una classe di metodi lineari multistep A - stabili

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