Micelli, G.

Italian

Università del Salento: ESE - Salento University Publishing

- l -n. l - Lo spazio fibrato dei riferimenti proiettivi associato ad una varietàdifferenziabile M.Sia M una varietà differenziabile di classe eoo e dimensione n, se pe un punto diT (M) {O}PM, con T (M)Pla relazione il<si denoterà lo spazio tangente inCOS1 definita:p ad M; 1 nX,Y e T (M) - {O}P P P(X R Y )~(=> ( ~Àe R -{O} ')'P PY =À X )P Pe una relazione di equivalenza, l'insieme quoziente D (M) = T (M) - {O}/~ ep pl'insieme delle direzioni nel punto p della varietà M; se X eT (M) - {O}P Pla classe di equivalenza da esso individuata, che si denoterà nel seguito conD (X ), si chiamerà la direzione nel punto p individuata dal vettore tangen-p pte X.PL'insieme Tp(t~) = Tp( 1) U DpU'1) Sl può munire di una struttura di spaziogeometrico proiettivo ad n dimensioni; a tale scopo si consideri una carta locale M tale che p e U •e Sla {( a )}ax1 p l<i<n- -la base naturaledi T (M) rispetto a tale carta; indicato con pn lo spazio numerico proie!pt , d d" .. ·.Rn+l_{O}··pn1VO a n lmenS10ne e con ~ ~nl'applicazioneK : T (M) ... pnp pla surgezione canonica,COS1 definita:~ (l,nl 2 nÀ,À, ... ,À)per ogm X eT (M)p P ed•per ogn1-K(D(X))P P PDp(Xp) e Dp(M) edl 2 n- • (O,À, À , •.. ,À )naax i) P- 2 -e una bigezione e definisce quindi su ., (M) una struttura di spaZl o geome-ptrico proiettivo ad dimensioni, rispetto ta l e struttura ., (M) • chian a Slp --ma lo spazio proiettivo tangente • ad M e la bigezione K chiama1n p Slpsistema coordinato in p relativo alla carta (U,~) prefissata 1n M.essendo-Si osservi che il riferimento proiettivo relativo a K è la (n+2)-plaa p.,..,) ), ... ,ax p-O = D ((n p , questo riferimento si chiamerà il rife-rimento proiettivo nel punto p della varietà M, relativo alla carta (U,~)prefi ssata.Si a ora S'( p) l'insieme dei riferimenti proiettivi in peM e Sla1(M) l'insiemequesto insieme risulta lo spazio totale di uno spazio fibrato principale differenziabile avente come varietà di base la varietà M e come proiezione l'appli~ : q(M) + M che al riferimento proiettivo•caZ10nespondere il punto p stesso;u , l n peMpper la costruzione di un tale fibratofa corrisi consideri nel gruppo lineare GL(n+l,R) la relazione ov così definita:A,BeGL(n+l,R) (AovB)< >(jpeR-{O} ~, B A)., - pov è una relazione di equivalenza, l'insieme quozienteovG - GL(n+l,R)/ovun gruppo rispetto alla legge di • • interna:e compos1 Zloneov ov ovG x G + Gov ov ,,(A B) + A • B,ov ovove si sono ilndicatil conA, B le classi di ov-equivalenza rappresentate da- 3 -A e B ri spetti vamente e con A· B i l prodotto ri ghe per co lonne di A per B.'ùSul gruppo G si consideri la struttura di varietà differenziabile de-finita da11 'atlante.A - {tu , ~ )}OaB aB <a,B<n'ù 'ùUNB ={A e G/A - (a )~ yo O<y, o<n se (y,o) - (a,B)}~aB : UaB ~ (U ) C Rn(n+2)aB aB -'ùA ( aQQ ,aaB-, ... , l , ... ,~)aaB'ùrispetto a tale struttura G è un gruppo di Lie.Sull' insieme q(M) dei riferimenti proiettivi associati ad M Sl costruisce "per incollamento" una struttura di varietà differenziabile; a tale scoposia peM edl'applicazione(U,~) una carta locale di M tali che peU, sia inoltre ~U-1 'ù~U : n (U) ... U X Gche al riferimento proiettivo u e n-l(U) fa corrispondere la copp1a ordi na tap-(p,A) essendo A una matrice di GL(n+l,R) che rappresenta il cambiamento diriferimento proiettivo nel passaggio dal riferimento proiettivo in p relativoa11 a carta al riferimento up; questa applicazione ~U e una bigezioneSl considera allora su n-l(U) la struttura di varietà differenziabile rispet-- -to alla quale $U è un diffeomorfismo; si può osservare che se (U,~) è un'al-tra carta locale di M per ladifferenziabile indotta da $-Oquale risultasu n-l(unO)un U # ~, a11 ora 1a strutturaè la stessa di quella indotta- <\ -da $u; resta così definita globalmente sudifferenziabile che induce su ciascun apertoq(M) una struttura di varieta-l C'• (U) di s(M) la strutturadifferenziabile rispetto alla quale $U è un diffeomorfismo; la dimensionedi 'S(M) e n(n+3).Per . - che segui rà, sarà utile osservare che per .-l(U)C10 ogm u e es 1-P-stono tre carte locali: (W,e) 'S(M), (V,'!') • M, (U"s,$"s) G, tali1n 1n 1nche $U(W) = V x U ,inoltre posto"sl 2 n'l'(p)=(x ,x , ... x ) ,"\,$"s(A) - (too,tol,···,t"s,···,tn n)' Sl ha:"\,Il gruppo G opera differenzialmente a destra su '5'(M) tramite l'applicazione"\,'l':'?(~1) x G"\,'l'(u ,A)P'?(M)"\,-7- 'l'(u ,A)Pcosì definita: siamento proiettivo- nK : T (M) -7- P il sistema coordinato relativo al riferi-p pu e q(M), indicata con T: pn -7- pn la trasformazione li-pneare omogenea invertibile rappresentata dalla matrice"\,A, 'l'(u ,A)Pè i l rife-rimento proiettivo u'p relativo al sistema coordinato- -K' - ToK •P PPrima di terminare questo numero, si troverà l'espressione delle funzionidi transizione relative ad un ricoprimento di aperti coordinati della varietà- -M; siano (U,$) e (U,$) due carte locali di M tali che U("\U f (3 e Sla- 5 -.uo l'applicazione:-.u ii : Ulì UPdove la matrice Cu ii e quella che fa passare da l riferimento proiettivo- -• re l ati vo alla carta (U,.) que 11 o relativo alla carta (U,.) ;1n p a Sl nco-nosce facilmente che la famigl ia (·U U} e la famiglia delle furutioni di transizione del fibrato subordinata al ricoprimento (U} di M; l'espressionedell a ma tri ce Cu ii• facilmente i n quanto (OT (M)'Sl scnve sepa a n aD (( axr)p) , ••• , D (( axn)p)' Ll ( axr)p) è i l riferimento proiettivo 1np p t=p relativo alla carta (U,.) ee' quello relativo alla carta (U,.), allora poichè risultao .ax layl )(p) ...rax- ( ays) (p)(c U ii _lo••••si ottiene:(•••axn( ayr)(p) ...oax l( ayn) (p)nax( ayn) (p)

Lo spazio fibrato dei riferimenti proiettivi associato ad una varietà differenziabile M

http://siba-ese.unile.it/index.php/quadmat/article/download/9747/8947

Lo spazio fibrato dei riferimenti proiettivi associato ad una varietà differenziabile M

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Università del Salento: ESE - Salento University Publishing