Congedo, G.

Lepore, A.

Italian

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- 10 -4. ESISTENZA DELLA SOLUZIONE DEL PROBLEMA (1),(2), CON IL METODO DELLEAPPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE.Con le stesse ipotesi del teorema precedente e con il medesimo significato per T e per S, poniamo:per n = 0,1,2, ....Tenendo presente il significato di T • ha:SIr ru dt+uZ -l,l ) l oo(10) x x (x {~ t 1lZ = - uo1J!(t)dt+al u dt+ u d~ u ~ ( - ) dt + u2,1 a2 l o . o ~ l') )l o o o oe, in generaleZl,n+l(x) -JoZ (t)dt+u2, n o+uloool f~(t) 'zl (t)dt+a ,(XZ2 (t)dt+:l (~)d~3 2 ,n l,n ,n) )o- -Z2 l(x) =,n+l(11 )Dalle (lO), (Il), si ha- 11 -IZl l(x) - zl O(x) - fXul dt, ,(12) o(x fXI u ~(t)dt+a u dt+) o l lZ2 1(x)-z2 O(x)=\' ,l- -o o o o )(Z (x)-z (x)= rrz (t)-z2 (t)]dt1,n+1 l,n L 2,0 ,0-1o(13)z2 l (x)-z2 (x)=,n+ ,u fX[z (t)-z (t)]~(t)dt+all,n 1,0-1 r [z2, Il (t) -z2, n-l (t)}o+rX[z (~::-z _ (O]d~f\(t)Z (t)dt+fXzl _l<Od~f~[Zl (t)-zl _l(t)].) l,n 1,nl ç l,n ,u ,u ,uo o o ot ì~(~)dtJ .Applicando all'ultimo integrale la formula di inversione di Dirichlet, le(13) diventano:(zl (x)-z (x)=,0+1 l,n Ix [Z2 (t)-z (t)]dt,u 2,n-1ofx [zl (t)-z l(t)h(t)dt+a fX [z2 (t)-,n l, n- l, n(14)z2 (X)-Z2 (x)-,0+1 ,nl- -- -a2o o(x-z2 (t)]dt+! [z <O-z <oJd~,n-l ) l,n l,n-lo ofx [z <0-- l, no- zl,n_l(~)]d~ fX~( ~~)z (t)dtl n-l,Pertanto, dalle (12) e dalle (14) si ha- 12 -(15)((xI lu Idt+.I l"(xr Izl l (x)-zl (x) I ~ I Iz2 (t)-z2 (t) Idt,n+ ,u ) ,U ,n-1o(16)I z2 (x)-z2 (x) 1~ _l::.........,n+1 ,n la2 1x(IIz (t)-z (t)lol1/J(t)ldt+/allJ l,n 1,n-1orXI IZ2 (t)-.I , nooo(x rF; (x-z2 l(t)/dt+ I IZ 1 (O-zl 1m1dF; I 1<p(!)lo/z1 (t)ldt+llz1 m-, n- J' n , n- ) ç;: , n J , no(x F; ì-zl,n_1 m / d F; J1H"t)/olzl,n_l(t)ldtjF;e successivamente(17)(lz1 l(x)-zl (x)1 ~ ~iz (t)-z l(t) I jdt,n+ ,n Jl n n-oIZ 2 +1(x)-z2 (x)1l ,n , n+- 13 -(X O E;. , ]II<;>(-)\'Iz (t),dt '11z (E;)-z mlldE;J t l,n-l n n-lE;dove Il z (x)-z (x) Il = maxl(I" (x)-z ) I, I"2 (x) -z2 (x) ILn n-l l, n l, n-l , n ,n-l r,Sia(a = max 11, •Dalle (15) risulta(Iz (x)-z (x)1l,l l,O(l8)(xI dt)o(x (x 2l lz (x)-z (x)1 ~ a-Iu I I llj;(t)ldt+a!u Il dt+alu I2,1 2,0 o J l J oo oAnalogamente, dalle (17) si ha( (xIz (x)-z (x)1 < al I Izn(t)-zn_{t)1 Idt,1,n+1 l,n Jo(19)(x ( (E;tI:: (x)-z (x)l < ! {al1jJm I + a + a R I 14>(-) Idt+,2,0+1 2,0 J E;l o(X O+ a R I 14>(~)ldt -llz (O-z mil-dE;J t n n-l.~PoniaIOO :(x (E;. tI dE;I 14>(-) IdtJ J E;o ()h(x)(x= a'lu I I IljJ(t)1 dt +o )o- 14 -(x 2a' Iu. Il d t +a' In :l ) oo(X (~I d~ I l,t( ~)I) ) ,o odt,g(x)- alljJ(x)j(x+ a + a R J Ij>(~) Id t + a'0(xoRII~(~)ldt)x(xG(x) = I g(t)dt.)oDalle (18) e dalle (19) consegne(20) 11\ (x) - zo(x)ll ~ h(x)(21)(xllz (x)-z (x)ll ~ I G'co'llz CO-z colld~; n=1,2,3,ooon+ l n ) n n-loDimostriamo che(22) llz (x)-z (x) Il <n+1 n '[G(x)]n . h(x) _n!(x [GcoJnI h' COd~) n!ota (22) è vera per n=l. Infatti per la (21) e la (20)II z2 (x)-zl (x) Ilx(~IG'(OII)ox(~ I G'(~;oh(~)d~ = G(x)h(x) -)ox(I G(~) oh' COd~)oo- 15 -Ammesso vero che[G(x)jn-lIlzn(x)-zn_l (x) Il ~ _:..:...0.=__(n-l) ![Cm1n-l(n-l) ! 'h'(Od~ ,dalla (21), tenendo presente che h'(x) > O, risultaIlz (x)-z (x) Il ~ f\'(On+l no'h(Odf; -(n-l)!n!(x. h(x)- JoIndicati con L e M due numeri reali positivi tali che G(x) ~ L eh(x) ~ M per o < x <, , x ,odalla (22) risultaIl z (x)-z (x) Il <n+1 n 'nL'Mn! •Pertanto la seriez + {z (x)-z } + {z2(x)-zl(x)} + ..•.....o l ola cui .n+l-esima sonnna parziale è z (x), è totalmente convergente inn[o, x l .oSia z(x) la somma di tale serie.Risulta z es.Ripetendo il medesimo ragionamento fatto per pervenire alla (21), si ottiene:- 16 -(xII zn+l (x)-Tz(x) II ~ j g(E;)'llzn(E;)-z<olld~onPertanto z ------> T z e quindi, poichénossia z è soluzione del sistema (3),(4).nz ------> z,nsi ha Tz - z,lnfine, posto z = (zl,z2)' la funzione u(x) - zl(x) è soluzione delprob lema (l), (2).------------------------------

Esistenza della soluzione del problema (1), (2), con il metodo delle approssimazioni successive

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