External evaluations of trajectories for a stationary two-parameter discrete system with interval coefficients were obtained, with the use of which a constructive method of management, resulting in a minimum set of solutions in a neighborhood of a given polyhedron, was proposed.Для стационарной двухпараметрической дискретной системы с интервальными коэффициентами получены внешние оценки ее траекторий, с помощью которых предложен конструктивный способ построения управления, приводящего совокупность решений в минимальную окрестность заданного многогранника

I. Gaishun V.

V. Goryachkin V.

V. Krakhotko V.

В. Горячкин В.

В. Крахотко В.

И. Гайшун В.

I. V. Gaishun

V. V. Goryachkin

V. V. Krakhotko

И. В. Гайшун

В. В. Горячкин

В. В. Крахотко

Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук

5ВЕСЦІ НАЦЫЯНАЛЬНАЙ АКАДЭМІІ НАВУК БЕЛАРУСІ № 3 2014СЕРЫЯ ФІЗІКА-МАТЭМАТЫЧНЫХ НАВУКМАТЭМАТЫКАУДК 517.977И. В. ГАЙШУН1, В. В. ГОРЯЧКИН2, В. В. КРАХОТКО2ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ  С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1Институт математики НАН Беларуси2Белорусский государственный университет (Поступила в редакцию 11.07.2014)Введение. Многомерные дискретные системы находят широкое применение в различных разделах науки и техники (см., напр. [1-4]). Ряд теоретических результатов, относящихся к та-ким системам, изложен в монографии [4]. Предлагаемая статья посвящена многомерным дис-кретным системам, у которых коэффициенты точно неизвестны и могут изменяться произволь-ным образом в некоторых интервалах.В работе приняты следующие обозначения. Если A – матрица с действительными элемента-ми aij, то запись A ≥ 0 (A > 0, A ≤ 0, A < 0) означает, что aij ≥ 0 (aij > 0, aij ≤ 0, aij < 0);  |A | - это ма-трица с элементами |aij|.1. Многомерные дискретные системы с неопределенными коэффициентами. Пусть A0, D0, B0 – фиксированные матрицы с действительными элементами размеров n×n, n×n, n×m; ∆A, ∆D, ∆B – заданные неотрицательные матрицы таких же размеров. Рассматриваются многомер-ные дискретные системы  x (t + 1, s) = Ax (t, s + 1) + Dx (t, s) + Bu (t, s), (1)коэффициенты которых неизвестны и удовлетворяют неравенствам  |A – A0| ≤ ∆A, |D – D0| ≤ ∆D, |B – B0| ≤ ∆B. (2)Независимые переменные t и s изменяются в множестве Z+ – положительных целых чисел и в множестве Z целых чисел соответственно. Функция u: Z+ × Z → Rm трактуется как управле-ние, принимающее значения в множестве U ⊂ Rm.При любом начальном условии x(0, s) = a(s) и при фиксированных матрицах A, D, B и фикси-рованном управлении u(t, s) система (1) имеет единственное решение, которое определяется сле-дующим образом [5]:  x(t, s) =0( , ) ( )tjG t j s j=a + +∑  1 10 0t t ii j- - -= =∑∑ G(t – i – 1, j)Bu(i, s + j), (3)где матрицы G(i, j) находятся из рекуррентных соотношений G(i + 1, j) = AG(i, j – 1) + DG(i, j), (4)  G(0, 0) = E, G(i, j) = 0 ( j < 0 или i < j). Далее предполагается, что начальное условие a(s) может изменяться согласно неравенству |a(s) – a0(s)| ≤ ∆a(s), (5)где a0(s) и ∆a(s) – известные n-вектор функции, при этом ∆a(s) – вектор с неотрицательными компонентами.6Выберем какое-либо управление u = u(t, s). Совокупность всех решений системы (1), когда матрицы A, D, B независимо пробегают неравенства (2), а функция a(s) – неравенство (5), обозна-чим через X(t, s, u) и назовем пучком решений. Сечением в точке (τ, σ) ∈ Z+ × Z этого пучка на-зовем множество X(τ, σ, u) ⊂ Rn, полученное из семейства X(t, s, u) при t = τ, s = σ.2. Оценка сечения пучка решений. Пусть X(τ, σ, u) – сечение пучка решений. Рассмотрим задачу построения параллелепипеда P(u) ⊂ Rn с ребрами, параллельными координатным осям, содержащего множество X(τ,σ,u). Для решения этой задачи нам потребуется ряд вспомогатель-ных утверждений. Обозначим через G0(i, j), G|0|(i, j), Ĝ(i, j) матрицы, полученные при A = A0, D = D0; A = |A0|, D = |D0|; A = | A0| + ∆A , D = |D0| + ∆D .Л е м м а  1.  Для любых матриц A, D, удовлетворяющих неравенствам (2), справедливы оценки  | G(i, j) – G0(i, j) | ≤ Ĝ(i, j) - G|0|(i, j);  | G(i, j) | – Ĝ (i, j) ≤ 0; кроме того,  | G0(i, j) | – G|0|(i, j) ≤ 0 (6) (i = 0,1,2,…, j = 0,1,2,…). Д о к а з а т е л ь с т в о.  Докажем неравенства (6). Для этого воспользуемся математической индукцией по индексу i. Очевидно, при i = 0 это неравенство выполняется. Предположим, что оно выполняется при некотором i и проверим его для i + 1. Но это действительно так, поскольку | G0(i + 1, j) | – G|0|(i + 1, j) ≤ | A0|(|G0(i, j – 1)| – G|0|(i, j – 1)) + |D0|(|G0(i, j)| – G|0|(i, j)) ≤ 0. Остальные неравенства, фигурирующие в лемме, доказываются аналогично. Очевидно, ∆G(i, j) = Ĝ(i, j) - G|0|(i, j) ≥ 0, поэтому из леммы 1 следует, что |G(i, j) – G0(i, j)| ≤ ∆G(i, j).Л е м м а  2.  Для любых матриц A, D, B, удовлетворяющих неравенствам (2), имеет место неравенство  | G(i, j)B - G0(i, j)B0 | ≤ (|G0(i, j)| + ∆G(i, j))∆B + ∆G(i, j)|B0|. Д о к а з а т е л ь с т в о   вытекает из следующих соотношений:  | G(i, j)B - G0(i, j)B0 | = | G(i, j)B - G0(i, j)B + G0(i, j)B - G0(i, j)B0 | ≤   ≤ ∆G(i, j)|B| + |G0(i, j)|∆B ≤ (|G0(i, j)| + ∆G(i, j)) ∆B + ∆G(i, j)|B0|. Фиксируем числа τ, σ и введем в рассмотрение вектор-столбцы	 a = (a(σ), a(σ + 1), …, a(σ + τ)), a0 = (a0(σ), a0(σ + 1), …, a0(σ + τ)),  ∆a = (∆a(σ), ∆a(σ + 1), …, ∆a(σ + τ)),  u = (u(0, σ), …, u(0, σ + τ - 1), u(1, σ), …, u(τ - 1, σ)) и матрицы L = (G(τ, 0), G(τ, 1), …, G(τ, τ )), L0 = (G0(τ, 0), G0(τ, 1), …, G0(τ, τ )),  M = (G(τ – 1, 0)B, …, G(τ – 1, τ – 1)B, G(τ – 2, 0)B, …, G(0, 0)B), M0 = (G0(τ – 1, 0)B0, …, G0(τ – 1, τ – 1)B0, G0(τ – 2, 0)B0, . . . , G0(0, 0)B0).В силу лемм 1, 2 справедливы оценки |L – L0| ≤ ∆L , |M – M0| ≤ ∆M , где  ∆L = (∆G(τ, 0), ∆G(τ, 1), …, ∆G(τ, τ )), 7	 ∆M	=	((|G0 (τ – 1, 0)|	+	∆G(τ – 1, 0))∆B	+	∆G(τ – 1, 0)|B0|, …,    (|G0(τ – 1, τ – 1)|	+	∆G(τ – 1, τ – 1))	∆B	+	∆G(τ – 1, τ – 1)	|B0|,   (|G0(τ – 2, 0)|	+	∆G(τ – 2, 0))	∆B	+	∆G(τ – 2, 0)	|B0|, …, (|G0(0, 0)|	+	∆G(0, 0))	∆B	+∆G(0, 0)|B0|). Кроме того, произвольный элемент x(τ, σ, u) сечения X(τ, σ, u) пучка решений может быть представлен в виде x(τ, σ, u) =	La	+	Mu.	Оценим разность | x(τ, σ, u) – x0(τ, σ, u), где x0(τ, σ, u) – решение системы (1) при	A	=	A0, D	=	D0, B = B0, a(s) = a0(s).Воспользовавшись леммой 2, получим | x(τ, σ, u) – x0(τ, σ, u)	|	≤	(|L0|	+	∆L)∆a	+	∆L|a0|	+	∆M|u|.		Это значит, что справедливаТ е о р е м а. Сечение X(τ, σ, u) пучка	решений X(t, s, u) содержится	в	параллелепипеде P(u)	=	{x ∈ Rn : |x – x0(τ, σ, u)	|	≤	g	+	∆M|u|}, где g	= (|L0|	+	∆L)	∆a	+	∆L|	a0|.3. Задача терминального управления. Пусть задан многогранник  F	=	{x ∈ Rn : Kx	≤	f	}, где K – (q × n)-матрица, f	–	q-вектор-столбец. Задача терминального управления заключается в следующем: выбрать такое управление u0	=	u0(t, s), при котором сечение X(τ, σ, u0) в фиксированной точке (τ, σ) содержится в множестве F. Однако, как легко убедиться, сформулированная задача разрешима не всегда. Поэтому поста-вим задачу терминального управления несколько иначе.Пусть e – q-вектор с неотрицательными координатами и Fε = {x ∈ Rn : Kx		≤			f		+		e} - e-окре ст-ность множества F. Требуется указать такое управление u*	=	u*(t, s), что X(τ, σ, u*) ⊂ Fe и сумма e1 + e2 + … + eq - минимальна. Минимальность суммы e1 + e2 + … + eq означает следующее: если для некоторого другого управления  ( , )u u t s=  справедливо включение  X(τ, σ, u ) ⊂ Fη, то e1 + e2 + … + eq < h1 + h2 + … + hq.Сформулированная задача попадания в минимальную окрестность множества F является достаточно сложной. Поэтому рассмотрим более простую задачу о включении параллелепипеда P(u), построенного в предыдущем разделе, в минимальную окрестность Fε. Ясно, что условие P(u) ⊂ Fε обеспечивает требование X(τ, σ, u) ⊂ Fε, т. е. разрешима задача терминального управления.Используя результаты работ [6, 7], нетрудно прийти к выводу, что задача включения парал-лелепипеда P(u) в множество Fε эквивалентна задаче нелинейного программирования	 e1 + e2 + … + eq → min, (7)	 KM0u	+	|	K|∆M|u|	–	e	≤	f	–	KL0a0 - |	K|g	=	x, 	 e	≥	0, u ∈ U, где минимум берется по переменным u, e.В случае, когда U многогранник, следуя [7], введем в рассмотрение задачу линейного про-граммирования	 e1 + e2 + … + eq → min, (8)	 KM0u	+	|	K|∆Mw	–	e	≤	x, 	 e	≥	0,	|u|	≤	w, u ∈ U, в которой минимизация проводится по переменным u, e,	w.	Связь между задачами (7) и (8) опи-сывается следующими утверждениями, доказанными  работе [7, с. 145].1. Пусть P1 и P2 – множества планов задач (7) и (8). Тогда P1 есть ортогональная проекция множества P2 на подпространство переменных u, e, w.2. Оптимальный план u*, e*, w* задачи (8) существует, при этом пара u*, e* является решением задачи (7).Сформулированные утверждения дают конструктивный способ решения задачи терминаль-ного управления попадания в минимальную окрестность множества F.Литература1. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2 кн. М., 1982. Кн. 1.2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: в 2 кн. М., 1982. Кн. 2.3. Kaczorek T. Two-dimensional linear systems. Berlin, 1985.4. Гайшун И. В. Многомерные системы управления. Минск, 1996.5. Гайшун И. В., Горячкин В. В. // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1989. № 4. С. 3–8.6. Ащепков Л. Т. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980. № 2. С. 510–513.7. Ащепков Л. Т., Бадам У. Модели и методы повышения живучести управляемых систем. Владивосток, 2006.I. V. GAISHUN, V. V. GORYACHKIN, V. V. KRAKHOTKOESTIMATES OF SOLUTIONS OF TWO-PARAMETER DISCRETE SYSTEMS WITH INTERVAL COEFFICIENTSSummaryExternal evaluations of trajectories for a stationary two-parameter discrete system with interval coefficients were obtained, with the use of which a constructive method of management, resulting in a minimum set of solutions in a neighborhood of a given polyhedron, was proposed.

ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

https://vestifm.belnauka.by/jour/article/download/90/91

ОЦЕНКА РЕШЕНИЙ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТНОЙ СИСТЕМЫ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук