For some classes of interval discrete two-dimensional systems conditions of robust and interval observability are established. Для некоторых классов интервальных дискретных двухпараметрических систем установлены условия робастной и интервальной наблюдаемости.

I. Gaishun V.

V. Goryachkin V.

В. Горячкин В.

И. Гайшун В.

I. V. Gaishun

V. V. Goryachkin

И. В. Гайшун

В. В. Горячкин

Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук

6ВЕСЦІ НАЦЫЯНАЛЬНАЙ АКАДЭМІІ НАВУК БЕЛАРУСІ № 2 2016СЕРЫЯ ФІЗІКА-МАТЭМАТЫЧНЫХ НАВУКМАТЭМАТЫКАУДК 517.977И. В. ГАЙШУН1, В. В. ГОРЯЧКИН21РОБАСТНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ1Институт математики Национальной академии наук Беларуси, Минск, Беларусь, e-mail:gaishun@im.bas-net.by 2Белорусский государственный университет, Минск, Беларусь, e-mail: gorvv@bsu.byДля некоторых классов интервальных дискретных двухпараметрических систем установлены условия робаст-ной и интервальной наблюдаемостиКлючевые слова: двухпараметрическая дискретная система, интервальный анализ, робастная наблюдаемость, интервальная наблюдаемость.I. V. GAISHUN1, V. V. GORYACHKIN2ROBUST AND INTERVAL OBSERVABILITY OF TWO-DIMENSIONAL DISCRETE SYSTEMS  WITH INTERVAL COEFFICIENTS1Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, Belarus e-mail: gaishun@im.bas-net.by 2Belarusian State University, Minsk, Belarus, e-mail: gorvv@bsu.byFor some classes of interval discrete two-dimensional systems conditions of robust and interval observability are establishedKeywords: two-dimensional discrete system, interval analysis, robust observability, interval observability.Введение. Во многих прикладных задачах коэффициенты исследуемых систем точно не из-вестны, а заданы лишь интервалы, в которых они принимают значения. Это приводит к необхо-димости исследовать различные классы уравнений с интервальными коэффициентами. Изучать такие уравнения можно как в рамках интервального анализа [1, 2], рассматривая их как единый математический объект, так и исследовать все системы, получаемые при различных реализациях коэффициентов. В первом случае мы говорим об интервальных свойствах уравнений, во вто- ром – о робастных свойствах.Предлагаемая работа посвящена вопросам интервальной и робастной наблюдаемости двух-параметрических дискретных систем [3] с интервальными коэффициентами.1. Элементы интервальной арифметики. Пусть IR – множество замкнутых интервалов 1 2[ ] [ , ]a a a=  на вещественной прямой R (равенство 1 2a a=  не исключается; в этом случае интервал называется точечным и обозначается a). Пусть * – одна из арифметических операций (сложение, вы-читание, умножение, деление) во множестве вещественных чисел R. Для любых [ ], [ ]a b ∈ IR положим [ ] [ ] { : [ ], [ ]}a b a b a a b b∗ = ∗ ∈ ∈  (если * – операция деления, то предполагается, что 0 [ ]b∉ ). Легко убедиться, что [ ] [ ]a b∗ ∈ IR.© Гайшун И. В. , Горячкин В. В., 20167Определенные таким образом операции на IR обладают следующими свойствами: сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, а точечные интервалы 0 [0, 0], 1 [1,1]= =  – един-ственные их нейтральные элементы. Интервалы, не являющиеся точечными, не имеют обрат-ного ни по сложению, ни по умножению, но 0 [ ] [ ]a a∈ −  и 1 [ ] :[ ]a a∈  и [ ] [ ] [ ] [ ]a b c b+ = +  влечет [ ] [ ]a c= . Закон дистрибутивности на IR, вообще говоря, не выполняется, справедливо лишь свойство субдистрибутивности [ ]([ ] [ ])a b c+ ⊆[ ][ ] [ ][ ]a b a c+ . Если 0bc ≥ , для всех [ ], [ ]b b c c∈ ∈ , то [ ]([ ] [ ]) [ ][ ] [ ][ ]a b c a b a c+ = + .Абсолютная величина [ ]a  интервала [ ]a ∈ IR определяется как число 1 2max{ , }.a a  Оче-видно, что [ ] [ ] [ ] [ ]a b a b+ ≤ +  и [ ][ ] [ ] [ ]a b a b≤ .Величины 1 2([ ]) ( ) / 2a a aa = +  и 2 1([ ]) ( ) / 2a a ab = −  называются центром и радиусом интерва-ла [ ]a . Элемент [ ]a ∈ IR неотрицателен, [ ] 0a ≥ , (положителен [ ] 0a > ), если 1 10 ( 0)a a≥ > . Матрица ,[ ] ([ ])i jA a=  размера m n×  над множеством IR называется интервальной; если все ,[ ]i ja  – точечные интервалы, то [ ]A A=  – точечная матрица. Радиус, центр и абсолютная вели-чина интервальной матрицы вычисляются поэлементно. Матрица ,[ ] ([ ])i jA a=  неотрицательна (положительна), если , ,[ ] 0 ([ ] 0)i j i ja a≥ > для всех i, j. Сложение m n×  и умножение m q×  и q n×  интервальных матриц определяется следующим образом:, ,[ ] [ ] ([ ] [ ])i j i jA B a b+ = + ,  , ,1[ ][ ] [ ][ ]qi k k jkA B a b= =    ∑ . Умножение матриц не является, вообще говоря, ассоциативным. Однако если матрицы [ ]B  и [ ]C симметричны, т. е. [ ] [ ]B B= −  и [ ] [ ]C C= − , то [ ]([ ][ ]) ([ ][ ])[ ].A B C A B C=  2. Двухпараметрические системы наблюдения. Пусть A , D  – n×n-матрицы над полем R.Двухпараметрической дискретной системой [3] называется соотношение x(t+1,s) = Ax(t,s) + Dx(t,s+1) (1)для определения неизвестной функции x(t,s) (t = 0, 1, 2, …; s = 0, ±1, ±2, …). Очевидно, что для любой последовательности ( )sg  существует единственное решение x(t,s), удовлетворяющее на-чальному условию (0, ) ( )x s s= g . Далее в качестве начальных последовательностей будем рассма-тривать финитные функции, обращающиеся в нуль вне некоторого конечного множества [3]. Пусть к системе (1) присоединена выходная r – вектор-функцияy(t,s) = Cx(t,s). (2)Система (1) называется наблюдаемой по выходу (2), если по известной выходной последова-тельности y(t,s) можно однозначно восстановить начальную финитную последовательность, поро-дившую решение x(t,s) (более строгое определение наблюдаемости можно найти в монографии [3]). Согласно [3, §11; 4], наблюдаемость имеет место тогда и только тогда, когда ( )rank0, 1iC A mDni n +=  = −  (3)хотя бы при одном m∈ R.3. Наблюдаемость двухпараметрических дискретных систем с интервальными коэффи-циентами. Пусть [A], [D] и [C] – интервальные (n×n)- и (n×r)-матрицы. Рассмотрим дискретную систему[x(t+1,s)] = [A][x(t,s)] + [D][x(t,s+1)] (4)над множеством (IR)n с выходной функцией [y(t,s)] = [C][x(t,s)]. (5)8Ясно, что всякая интервальная финитная последовательность [ ( )sg ] однозначно определяет решение [x(t,s)], понимаемое в смысле интервальной арифметики.Система (4) называется робастно наблюдаемой по выходу (5), если для любых A∈[A], D∈[D], C∈[C] наблюдаема система (1) по выходу (2). Значит, робастная наблюдаемость имеет место тогда и только тогда, когда для любых A∈[A], D∈[D], C∈[C] выполняется условие (3).Рассмотрим вопрос об интервальной наблюдаемости. Если начальная финитная последова-тельность [ ( )sg ] задана, то по уравнениям (4), (5) однозначно находится последовательность [y(t,s)], …, [y(t,s+N+n–1)], [y(t+1,s)], …, [y(t+1,s+N+n–2)], …, [y(t+n–1,s+N)], (6)связанная с функциями [x(t,s)], [x(t,s+1)], …, [x(t,s+N+n–1)] (7)некоторыми «линейными» соотношениями, которые не приводятся из-за их громоздкости. Здесь N – «длина» носителя [4] функции [ ( )sg ]; выбор числа n в данных последовательностях объясняется тем, что такое число элементов (6) достаточно для ответа на вопрос: является или нет робастно наблюдаемой система (4).О п р ед е л е н и е. Система (4) интервально наблюдаема по выходу (5), если по последователь-ности (6) можно однозначно определить последовательность (7).Использовать данное определение непосредственно не представляется возможным, поскольку связывающая последовательности (6), (7) система интервальных уравнений чрезвычайно сложна из-за особенностей интервальной арифметики, представленных в пункте 2. Поэтому далее мы ограничимся исследованием некоторых частных случаев системы (4), (5). Отметим, что робастная и интервальная наблюдаемость – это разные свойства.П р и м е р. Пусть n = 2, r = 1, 0 [2,  4][ ]0 0A =   , [D] = 0, [C] = (1, [1, 3]).Тогда система (4), (5) интервально наблюдаема, но не является робастно наблюдаемой, так как при  1 2,5[ ], (1; 2,5) [ ]0 0A A C C = ∈ = ∈   условие (3) не выполняется.4. Наблюдаемость систем с неотрицательными коэффициентами. Предположим, что ма-трицы [A] и [D], а также финитные начальные условия [ ( )sg ] являются неотрицательными. Тогда, как легко убедиться, центр , ([ ( , )])t s x t sa = a  и радиус , ([ ( , )])t s x t sb = b  вектора [x(t,s)] подчиняют ся точечной системе уравнений 1, , , 11, , , 1( ]) ([ ]) ([ ]) ([ ])([ ]) ([ ]) ([ ]) ([ ])t s t s t st s t s t sA A D DA A D D+ ++ +a a aa b a b        = +        b b bb a b a        , (8)а выход [y(t,s)] определяется равенством ,2 1,2 1[ ]) 0,5( )([ ( , )]),([ ]) 0,5( )([ ( , )])t st sC C Cy t sC C Cy t sa a −a   =     bb +b     (9)где С1 и C2 – точечные матрицы, составленные из левых и правых концов интервалов [ci,j], обра-зующих матрицу [C]. Очевидно, что свойство интервальной наблюдаемости системы (4), (5) эк-вивалентно свойству наблюдаемости системы  (8), (9) в классе финитных последовательностей. Поэтому из [3] следуетТеорема 1.  Система (4), (5) с неотрицательными матрицами [A], [D] интервально наблюда-ема в классе финитных начальных функций [ ( )] 0sγ ≥ , если  ( )rank 20, 2 1iA DP F mF ni n +=  = −  хотя бы при одном m∈ R, где  2 12 1([ ]) 0,5( ) ([ ]) ([ ]) ([ ]) ([ ]), , .([ ]) 0,5( ) ([ ]) ([ ]) ([ ]) ([ ])A DC C C A A D DP F FC C C A A D D α − α β α β   = = =     β + β α β α     5. Наблюдаемость систем с симметричными матрицами [A] и [D]. Предположим, что ма-трицы [A] и [D] симметричны, т. е. [A] = –[A] и [D] = –[D]. Тогда, как легко убедиться, при t > 0 свойством симметричности обладают любое решение [x(t,s)] и каждая выходная последователь-ность [y(t,s)]. Поэтому справедливы соотношения  [y(t,s)] = [ ] [ ( , )]C x t s    .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .   [ ] [ ] [ ( , )][ ] [ ] [ ( , 1)][ ( 1, )] [ ] ( [ ] [ ] ) . . .. . . . . . . .[ ] [ ] [ ( , 1)]A D x t s nA D x t s ny t n s n C A DA D x t s N n  +    + +   + − + =         + + −  , из которых следует, что для точечной последовательности ([ ( , )])y t sβ  имеют место равенства ([ ( , )])y t sβ  = [ ] ([ ( , )])C x t sβ ,   .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .     .   ([ ( 1, )])y t n s Nβ + − + = [ ] [ ] ([ ( , )])[ ] [ ] ([ ( , 1)])[ ] ( [ ] [ ] ) . . .. . . . . . . .[ ] [ ] ([ ( , 1)])A D x t s nA D x t s nC A DA D x t s N n  β +    β + +           β + + −  . Значит, справедлива Те о р е м а  2 .Система (4), (5) с симметричными интервальными матрицами [A] и [D] интер-вально наблюдаема при t > 0, если ( )[ ] ( [ ] [ ] )rank0, 1iC A m Dni n +  = = −  хотя бы при одном m∈ R.Список использованной литературы1. Алефельд, Г. Введение в интервальные вычисления / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер; пер. с англ. Г. Е. Минца, А. Г. Яковлева; под ред. Ю. В. Матиясевича. – М.: Мир, 1987. 2. Шарый, С. А. Конечномерный интервальный анализ [Электронный ресурс] / С. А. Шарый. – Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2013. – Режим доступа: http//www.nsc.ru/interval/Libraly/Inte Books/Shary Book.pdf. – Дата доступа: 10.02.2016.3. Гайшун, И. В. Многопараметрические системы управления / И. В. Гайшун. – Минск: Навука i тэхнiка, 1996. 4. Гайшун,  И. В. Об управляемости и наблюдаемости двухпараметрических дискретных систем / И. В. Гайшун, В. В. Горячкин // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1989. – № 4. – С. 3–8.Поступила в редакцию 11.04.2016

РОБАСТНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

https://vestifm.belnauka.by/jour/article/download/169/170

РОБАСТНАЯ И ИНТЕРВАЛЬНАЯ НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Series of Physical-Mathematical Sciences / Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук