This handing out lifts the problem about parameterization of all controllers that can internally stabilize the given system. Controller parameterization is done as a mean to show that the controller can we shape in so many kinds of parameter. A control problem in this setup is to analyze some specific properties (e.g., stability or performance) of the closed loop system or to design the feedback control K such that the closed loop system is stable in some appropriate sense

Kasbawati, Kasbawati

Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi

 Vol. 3, No.2, 86-95,  Januari 2007  Parameterisasi Pengontrol Yang Menstabilkan  Plant Secara Internal   Kasbawati   Abstract This handing out lifts the problem about parameterization of all controllers that can internally stabilize the given system. Controller parameterization is done as a mean to show that the controller can we shape in so many kinds of parameter. A control problem in this setup is to analyze some specific properties (e.g., stability or performance) of the closed loop system or to design the feedback control K such that the closed loop system is stable in some appropriate sense.  Keywords:  detectable,  pengontrol suboptimal H , stabilizable.  1. Pendahuluan  Ketegaran (kerobustan) suatu sistem terhadap gangguan (disturbance) dan ketidakpastian (uncertainty) selalu menjadi topik pembahasan utama dalam masalah feedback control, khususnya dalam komunitas kontrol (control community) [Zhou, 1998]. Masalah feedback tidak akan menarik tanpa adanya faktor gangguan dan ketidakpastian didalamnya. Agar suatu sistem dapat robust terhadap gangguan kita dapat mendesain suatu pengontrol yang dapat membuat sistem tersebut tahan terhadap gangguan sesuai dengan keinginan.  Desain pengontrol dengan H  kontrol atau H2 kontrol menjamin kerobustan suatu sistem. Desain pengontrol dengan H  kontrol, pada umumnya menghasilkan suatu pengontrol yang berorde tinggi. Di sisi lain pengontrol yang berorde tinggi dapat menyebabkan beberapa masalah diantaranya kesulitan penghitungan numerik dan biaya perhitungan yang cukup mahal [Zhou, 1998]. Masalah tersebut dapat diatasi dengan melakukan parameterisasi terhadap semua pengontrol yang dapat menstabilkan plant secara internal. Parameterisasi dari himpunan semua pengontrol yang diperkenankan untuk suatu plant pertama kali dikemukakan oleh Youla pada tahun 1976, dengan menggunakan teknik faktorisasi koprim (coprime factorization). Kemudian dengan teknik ruang keadaan (state-space techniques) diperoleh parameterisasi Q dari semua pengontrol suboptimal [Zhou, 1998]. Dalam makalah ini, akan dibahas bagaimana menentukan semua pengontrol yang dapat menstabilkan sistem secara internal dan memparameterisasi semua pengontrol yang diperkenankan tersebut.                                                                Mahasiswa Pascasarjana Matematika pada Institut Teknologi Bandung  1  87 Kasbawati  2.  Eksistensi Pengontrol Misalkan kita mempunyai plant umum berupa fungsi transfer G(s) yang memetakan input w dan kontrol input u ke kontrol output z dan output terukur y, dengan bentuk     ( )z wG sy u          dimana G(s) mempunyai bentuk realisasi sebagai berikut:     Dalam bentuk close-loop system, fungsi transfer G(s) yang diberi pengontrol dapat digambarkan dalam bentuk diagram sebagai berikut :        Gambar 1.  Diagram Sistem Umum Terhubung               (General System Interconnected) G merupakan plant yang diperumum, K adalah pengontrol yang akan didesain, w merupakan semua input external yang meliputi disturbances, commands, u merupakan input kontrol, y merupakan sensor output/output terukur dan  z berupa regulatedoutput, untuk suatu1, , ,m pu R w R z R   ,q ny R x R  , 1 11 2 1 2 12 21, , , , , , , .nxn nx nxm pxn qxn pxm qxA R B R B R C R C R D R D R        Jika plant G tertutup oleh output feedback  ysKu )( , seperti pada Gambar 1, maka lup tertutup dari input w ke z dapat dinyatakan dalam bentuk lower linear fractional transformation (LFT) yaitu   211221211),( GKGIKGGKGFT lzw . Tinjau sistem umpan balik dalam gambar 1 dengan plant G yang diasumsikan  stabilizable dan detectable dengan bentuk realisasi di atas.  Definisi 1. Sistem G dikatakan stabilizable jika terdapat pengontrol K yang menstabilkan G secara internal.  Lemma 1.  Terdapat pengontrol K (yang proper) yang dapat menstabilkan G secara internal jika dan hanya jika (A,B2) stabilizable dan (A,C2) detectable.   Jika terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil maka pengontrol K dapat dibentuk menjadi     Bukti.  0)(2222FLFLDLCFBAsK88 Kasbawati  () - Dari asumsi bahwa sistem stabilizable dan  detectable maka terdapat K dan L sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil. - Misalkan K(s) merupakan pengontrol yang dapat menstabilkan G secara internal, maka matriks A dari sistem loop tertutup di atas berbentuk -  - 2222~LCFBALCFBAA  -  - Matriks di atas mempunyai bentuk yang sama dengan FBALCLCA222 0 . - Akibatnya spektrum dari matriks A~  akan sama dengan gabungan dari spektrum A+B2F dan A+LC2. - Ini mengakibatkan A~ juga stabil karena A+B2F dan A+LC2 stabil. () - Andaikan (A,B2) tidak stabilizable dan (A,C2) tidak detectable. - Akibatnya terdapat nilai eigen dari A~ yang real partnya positif sedemikian sehingga sistem tidak stabil. - Hal ini kontradiksi dengan adanya pengontrol K yang dapat menstabilkan sistem secara internal (defenisi 1) Asumsi bahwa (A,B2)  stabilizable dan (A,C2)  detectable mengakibatkan realisasi G22 juga stabilizable dan  detectable. Hal ini mengakibatkan bahwa sistem lup tertutup dalam Gambar 1 ekuivalen dengan lup tertutup yang diwakili oleh G22 seperti dalam diagram berikut:       Gambar 2.  Diagram equivalent stabilization Lemma 2.  Misalkan realisasi 222222DCBAG  yang merupakan partisi dari G, stabilizable dan  detectable, maka sistem dalam Gambar 1 akan stabil secara internal jika dan hanya jika sistem dalam gambar 2 stabil secara internal. Bukti. Karena sistem dalam Gambar 1 mempunyai matriks A yang sama dengan sistem dalam Gambar 2 dan  (A,B2), (A,C2) stabilizable dan  detectable sehingga jelas bahwa sistem dalam Gambar 1 akan stabil secara internal jika dan hanya jika sistem dalam Gambar 2 juga stabil secara internal. 3. Parameterisasi Pengontrol (Youla Parameterization) 89 Kasbawati  Tinjau kembali sistem lup tertutup dalam gambar 1 dengan bentuk realisasi yang sama. Salah satu bentuk parameterisasi dari pengontrol yang dapat menstabilkan plant G secara internal dapat dilihat dalam teorema berikut. Teorema 1. Misalkan RHG , maka semua pengontrol yang menstabilkan G dapat ditulis dalam bentuk   122 QGIQK  untuk suatu RHQ  dan  )(22  QDI  nonsingular. Bukti. - Karena G22 stabilizable (dari asumsi awal), maka  terdapat pengontrol yang menstabilkan G22 secara internal. - Misalkan pengontrol tersebut adalah K0, maka    RHKGIKQ102200 : . - Karena     1022022 )()( KDIQDI , akibatnya K0 dapat ditulis dalam bentuk   102200 QGIQK . Teorema 2. Misalkan terdapat F dan L sedemikian sehingga A+B2F dan A+LC2 stabil maka semua pengontrol yang menstabilkan G secara internal dapat diparameterisasi menjadi matriks transfer Tuy  dari y ke u (lihat diagram berikut),          Gambar 3: Sistem umum terhubung   dengan bentuk     211221211, JQJIQJJQJFK l  untuk suatu J yang berbentuk      Hal ini mengakibatkan, himpunan dari semua matriks transfer Tzw dari lup tertutup yang membawa w ke z (Gambar 1)  dapat dibentuk menjadi     invertibleQDIRHQQTTTQJFl   22211211 ,:,  untuk suatu T  yang berbentuk     Bukti. - Misalkan  QJFK l , . Dengan menggunakan state space star product diperoleh   211211, QTTTKGFl   untuk suatu T yang telah didefenisikan di atas. 90 Kasbawati  - Pengontrol  QJFK l ,  tidak menstabilkan sistem G untuk suatu RHQ . - Misalkan K sebarang pengontrol yang menstabilkan G secara internal, maka   RHKJFl ,ˆ  dengan                      00ˆ22ICIFBLAJ - Matriks Jˆ  dapat distabilkan oleh K karena Jˆ mempunyai bentuk G22 yang sama dengan G. - Misalkan    RHKJFQ l ,ˆ:0  maka       KJFKJFJFQJF tmpllll ,:,ˆ,, 0   dimana Jtmp dapat diperoleh dengan menggunakan state space star product, yaitu        - Akibatnya diperoleh     KKJFQJF tmpll  ,, 0 . - Jadi sebarang pengontrol dapat dibentuk menjadi  0,QJFl  untuk suatu RHQ0 . Secara umum teorema 2 di atas dapat digambarkan dalam diagram berikut:     Gambar 4 :   Perubahan bentuk sistem lup tertutup G dan K menjadi sistem lup tertutup T dan Q akibat parameterisasi  QJFK l ,           Gambar 5 : Bentuk parameterisasi pengontrol  QJFK l ,  Selanjutnya kita akan melihat parameterisasi pengontrol dengan meggunakan pendekatan coprime factorization.  Teorema 3. Q y uz wT y uz wQ J G K y uz wG 91 Kasbawati  Misalkan NMNMG ˆˆ 1122    merupakan rcf dan lcf of G22 dalam RH , maka himpunan dari semua pengontrol yang menstabilkan G secara internal dapat diparameterisasi menjadi                         0det, 10100   rrr NQVINQVMQUK         (1) untuk suatu   RHQr .  Atau dalam bentuk                        0~~det,~~~~ 10100 VNQIMQUNQVK lll     (2) untuk suatu  RHQl , dengan RHVUVU 0000~,~,,  memenuhi Bezout identities: IUNVMINUMV  0000~~,~~ Jika 0000~~,, VanUVU d  dipilih sedemikian sehingga  010100~~UVVU , yaitu IIVNUMMNUV00~~~~0000  maka       yylyyyyQJFMQUNQVNQVMQUK,~~~~010100 (3) dimana NVVVVUJ y 101010100~:  dan RHQy ,     yNQVI 10  invertible.  Bukti.  Pertama, akan dibuktikan parameterisasi dalam persamaan (1).  - Andaikan K terdefenisi. - Defenisikan rr NQVVMQUU  00 :,: . - Akibatnya       IQMNNMUNVMMQUNNQVMUNVM rrr ~~~~~~~~0000. - Dengan menggunakan lemma 5.7 (dari sub bab 5.4) dapat disimpulkan bahwa K dapat menstabilkan G secara internal. - Sebaliknya, misalkan K proper dan dapat menstabilkan dengan rcf dari K dalam RH  adalah 1UVK . - Berdasarkan lemma 5.7, UNVMZ~~:   invertible.  - Defenisikan rQ  melalui persamaan                            10 UZMQU r            (4)\  - Akibatnya                           011 UUZMQr    92 Kasbawati  - Dengan menggunakan Bezout identity, diperoleh      11111111001011001100~~~~~~~~~~~~VZVZMMZUNZMUZNIMUZNUNVMMUUZNMVUUZNMVNQV r (5) - Akibatnya    1001   rr NQVMQUUVK . - Untuk mengetahui apakah rQ  didalam RH , tinjau persamaan (4)       dan (5). Dari kedua persamaan tersebut dapat dilihat bahwa rMQ  dan rNQ  di dalam RH . - Akibatnya rQ  dapat ditulis menjadi        RHNQUMQVQNUMVQ rrrr 0000~~~~  - Karena V dan Z keduanya invertible maka rNQV 0  dan rNQVI10  juga invertible. Parameterisasi pengontrol dalam persamaan (2) langkah pembuktiannya sama dengan pembuktian yang pertama. Selanjutnya akan dibuktikan parameterisasi dalam persamaan (3). - Tinjau persamaan berikut:  -                             10110100100100 VNQVIQNVUMVUNQVMQU yyyy  dan                     010100~~UVVU   - Dari kedua persamaan di atas diperoleh -                      100010010100~~~~~~  VNUMVVNUVMNVUM  dan                        1011010100~  VNQVIQVVUK yy   4.  Penerapan Parameterisasi Pengontrol  Misalkan diberikan sistem dengan bentuk realisasi sebagai berikut :    Dari matriks A dalam realisasi di atas dapat dilihat bahwa sistem yang diberikan tidak stabil. Masalah kontrol yang akan kita lakukan adalah mencari pengontrol yang dapat menstabilkan G secara internal dan kemudian memparameterisasi pengontrol tersebut. Dengan menggunakan bahasa pemrograman Matlab 7 diperoleh hasil running sebagai berikut:  Pengontrol sub optimal K1 dalam bentuk fungsi transfer sebagai berikut:  01101100020120010222121211121DDCDDCBBAG93 Kasbawati  9456.0009728.0N  Fungsi transfer Tzw1 yang membawa input w ke output z yang diharapkan, yaitu   Norm infinity dari Tzw1, yaitu                                             . Selanjutnya pengontrol lain dapat kita parameterisasi, salah satunya dengan menggunakan coprime factorization.  Dengan mendefinisikan M = I diperoleh matriks  yang memenuhi syarat coprime IYNXM  . Dengan menggunakan bahasa pemrograman Matlab 7,  diperoleh hasil running sebagai berikut:  Pengontrol kedua (melalui coprime factorization) yaitu K2 dalam bentuk fungsi transfer sebagai berikut:   Fungsi transfer Tzw2 yang membawa input w ke output z yang diharapkan, yaitu   Norm infinity dari Tzw2, yaitu   Perbandingan antara hasil kontrol sistem oleh pengontrol K1 dan pengontrol K2 dapat dilihat dalam plot step respon, impulse respon dan plot frekuensi respon atau bode plot dalam gambar berikut:   0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3Step respon G dan Tzw1t secSistem Tanpa KontrolSistem Dengan Kontrol0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.2Step respon G dan Tzw2t secSistem Tanpa KontrolSistem Dengan Kontrol2857.01zwT 1; 1; 5283.02zwT94 Kasbawati  Gambar 6 :   Plot step respon antara sistem yang belum dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K1 (Tzw1-kiri) dan K2 (Tzw2-kanan)   Gambar 7 :   Plot impulse respon antara sistem yang belum dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K1 (Tzw1-kiri) dan K2 (Tzw2-kanan).   Gambar 8 :   Bode plot antara sistem yang belum dikontrol (G) dan sistem yang telah dikontrol oleh K1 (Tzw1-kiri) dan K2 (Tzw2-kanan) Dari plot solusi di atas kita dapat membandingkan antara sistem yang dikontrol oleh K1 dan sistem yang dikontrol oleh K2. Jika sistem diberikan diberikan input berupa fungsi step maka sistem yang dikontrol oleh K1 (gambar 6-kiri) akan lebih cepat mencapai kondisi yang stabil jika dibandingkan sistem yang dikontrol oleh K2 (gambar 6-kanan). Begitupula jika sistem diberikan diberikan input berupa fungsi impuls (respon yang tiba-tiba) maka sistem yang dikontrol oleh K1 (gambar 7-kiri)  juga akan lebih cepat mencapai kondisi yang stabil jika dibandingkan sistem 0 1 2 3 4 5 6x 10-600.511.522.533.544.5x 105 Impulse respon G dan Tzw1t secSistem Tanpa KontrolSistem Dengan Kontrol0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811.2Impulse respon G dan Tzw2t secSistem Tanpa KontrolSistem Dengan Kontrol-40-200From: In(1)To: Out(1)-360-1800180To: Out(1)-2000200To: Out(2)100105-360-270-180-90090To: Out(2)From: In(2)100105Bode diagram G dan Tzw 1Frequency  (rad/sec)Magnitude (dB) ; Phase (deg)-40-200From: In(1)To: Out(1)-360-1800180To: Out(1)-20020To: Out(2)10-2100102-360-270-180-90090To: Out(2)From: In(2)10-2100102Bode diagram G dan Tzw 2Frequency  (rad/sec)Magnitude (dB) ; Phase (deg)95 Kasbawati  yang dikontrol oleh K2 (gambar 7-kanan). Perbandingan hasil sistem yang telah dikontrol oleh K1 dan K2 juga dapat dilihat dari norm tak hingga dari tiap fungsi transfer pengontrol dimana  21 zwzwTT . Hal ini disebabkan karena pengontrol K1 mengalami optimalisasi sehingga sistem yang dikontrol oleh K1 hasilnya akan jauh lebih baik dari K2 yang tidak melalui optimalisasi.  5. Kesimpulan  Desain kontrol dengan H  kontrol menghasilkan suatu pengontrol yang akan menjamin kerobustan sistem. Disamping itu kontrol yang dihasilkan dengan H  kontrol mengalami optimalisasi sehingga norm dari fungsi transfernya dapat diminimumkan. Pada contoh yang diberikan, pengontrol yang menstabilkan sistem dapat dinyatakan dalam berbagai macam bentuk. Salah satu bentuk parameterisasi tersebut adalah dengan coprime factorization. Tetapi sistem yang dikontrol dengan H  kontrol hasilnya jauh lebih baik jika dibandingkan dengan kontrol lain yaitu kontrol yang dihasilkan dengan coprime factorization. Pengontrol lain dapat diparameterisasi dengan tujuan untuk memperlihatkan bahwa pengontrol dapat dibentuk dari berbagai macam parameter dan dapat digunakan untuk mengurangi orde pengontrol walaupun dalam aplikasi di lapangan, parameterisasi pengontrol jarang dilakukan karena kontrol yang dihasilkan oleh H  kontrol sudah menjamin kerobustan sistem sesuai yang diinginkan.  Daftar Pustaka  [1]  A.R.Hakim., 2002, “Parameterisasi Pengontrol Suboptimal H ”,  Tesis.  [2]  F.L. Lewis and V.L. Syrmos, 1995, “Optimal Control”,  Second Edition. New York: Wiley.  [3] K. Ogata, 1997, “Modern Control Engineering”, Third Edition. London: Prentice  Hall.  

Indonesian

Parameterisasi Pengontrol Yang Menstabilkan  Plant Secara Internal

Universitas Hasanuddin: e-Journals

http://journal.unhas.ac.id/index.php/jmsk/article/download/3316/1857

Parameterisasi Pengontrol Yang Menstabilkan Plant Secara Internal

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi

Universitas Hasanuddin: e-Journals