Basierend auf der allgemeinen Relativitätstheorie, wird argumentiert, dass die räumliche Komponente der Raumzeit mit einer dreidimensionalen, orientierbaren, lokal homogenen, zusammenhängenden, glatten und vollständigen Riemann'schen Mannigfaltigkeit M ohne Rand beschrieben werden kann. Das Hauptbestreben der vorliegenden Arbeit ist die Klassifikation der möglichen M nach ihrer Geometrie und Topologie.
Vollständige und lokal homogene Mannigfaltigkeiten M können als Quotienten einer einfach zusammenhängenden und
homogenen Mannigfaltigkeit N nach einer Untergruppe G der Isometriegruppe von N dargestellt werden.
G operiert frei und eigentlich diskontinuierlich of der universellen Überlagerung N. Die geometrische Struktur auf M wird von N induziert und somit ist eine Klassifikation
der Geometrien auf einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten ausreichend. Vervollständigt wird die Klassifikation durch Thurstons Geometrisierungstheorem, welches besagt, dass M mit einer geometrischen Struktur versehen werden kann, welche auf einer der acht Modellgeoemtrien modelliert wurde.
Die von Beobachtungsdaten gestützte Einschränkung auf lokal isotrope Mannigfaltigkeiten reduziert das Problem der Klassifikation der möglichen Topologien von M auf das dreidimensionale Clifford-Klein'sche Raumproblem. Dieses ist äquivalent mit der Klassifikation diskreter Untergruppen von Isometriegruppem einfach zusammenhängender Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung, welche frei auf eben diesen operieren. Diese Klassifikation erlaubt es uns, eine Liste möglicher Kanditaten für die räumliche Komponente des Universums mit flacher oder sphärischer Geometrie anzugeben. Für hyperbolische Raumformen ist bis jetzt keine strukturelle Klassifikation bekannt.
Jede kompakte Raumform kann als Fundamentalpolyeder mit paarweise identifizierten Seiten dargestellt werden. Mit Hilfe dieser Darstellung wird abschließend auf die Methoden der Kosmischen Topologie eingegangen. Im Gegensatz zu den Methoden der Standardkosmologie versuchen diese nicht nur die Geometrie, sondern auch die Topologie des uns umgebenden Raums zu bestimmen.Based on the General Theory of Relativity, I argue that the spatial part of space-time can be described by a three-dimensional, orientable, locally homogeneous, connected, smooth and complete Riemannian manifold M without boundary. The main topic of this work is to classify all the possible M by their topology and geometry.
Complete and locally homogeneous manifolds M can be represented as the quotient of a simply-connected and homogeneous manifold N by a subgroup G of the isometry group of N which is acting freely and properly discontinuous on the universal covering space N. The geometric structure on M is induced by N, hence, the classification of all geometric structures on M can be done by classifying all simply-connected three-dimensional geometries. Finally, Thurston's Geometrization Theorem states that M has a geometry, modelled on one of the eight three-dimesional model geometries.
Supported by observational data, we restrict ourselves to locally isotropic manifolds, reducing the classification of the possible topologies of M to the three-dimensional Clifford-Klein space form problem. It can be solved by classifying all discrete subgroups of the isometry groups of the simply-connected manifolds of constant curvature which act freely on them. For the spherical and flat case this classification enables us to list all canditates for the spatial part of the universe with a flat respectively spherical geometry. So far, there is no known structural classification of the hyperbolic space forms.
Every compact space form can be described as a gluing
manifold, which is a fundamental polyhedron with identified sides as pairs. In closing, the methods used by Cosmic Topology with the help of this "inner view" are presented. These, as opposed to the methods used by Standard Cosmology, try to determine not only the geometry, but also the topology of the space surrounding us
