Cicognani, Massimo

Italian

Almae Matris Studiorum Campus

compito giugno 2011

ANALISI MATEMATICA BEsercizio 1. Data la funzione f(x) =∞∑n=11n(1− xx)nA) Determinarne il dominio;Posto t = t(x) = (1 − x)/x e g(t) = ∑∞n=1 1ntn, si ha f(x) = g(t(x)). L’intervallo diconvergenza della serie di potenze g(t) e` −1 ≤ t < 1; infatti il raggio di convergenza vale1, per t = 1 si ha la serie armonica che non converge e per t = −1 si ha una serie a segnialterni che soddisfa il criterio di Liebniz quindi converge. Imponendo che t(x) appartengaa tale intervallo si ottiene la condizione x > 1/2 che identifica il dominio di f(x).B) Motivare la presenza di un asintoto orizzontale al grafico;Si halimx→+∞f(x) = limx→+∞g(t(x)) = limt→−1g(t) = g(−1)in quanto la serie di potenze converge per t = −1 ed e` ivi continua per il Lemma di Abel.C) Utilizzando la somma della serie geometrica, esplicitare la derivata f ′(x);Per la derivata della funzione composta f ′(x) = t′(x)g′(t(x)). Si ha t′(x) = −1/x2mentre, derivando termine a termine per −1 < t < 1, si ottiene la serie geometricag′(t) =∞∑n=1tn−1 = 1 + t+ t2 + . . . =11− t .Concludendof ′(x) = − 1x2· 11− 1−xx= − 1x(2x− 1) .D) Ricavare da C) una espressione esplicita di f(x).Integrando coi fratti semplici, sempre per x > 1/2, si haf(x) = −∫1x(2x− 1)dx = logx2x− 1 + c, x > 1/2.Infine, da f(1) = g(t(1)) = g(0) = 0, si ricava c = 0 quindi si concludef(x) = logx2x− 1 , x > 1/2.Esercizio 2. Si consideri il campo vettoriale piano F = (2x+ y + 2, 2y + x).A) Senza determinarli esplicitamente prima della domanda F), provare che F ha potenzialiglobali U(x, y);Date: 15 giu 2011.12 ANALISI MATEMATICA BPosto f1 = 2x + y + 2 e f2 = 2y + x, da ∂y(f1) = 1 = ∂x(f2) si verifica la condizionenecessaria di chiusura. Il dominio di F e` tutto il piano quindi e` semplicemente connesso:ne segue che la condizione di chiusura e` qui anche sufficiente per l’esistenza di potenzialiglobali. Si tenga conto nel seguito che, per definizione di potenziale,Ux = f1 = 2x+ y + 2, Uy = f2 = 2y + x.B) Provare che la superficie grafico z = U(x, y) in ogni suo punto giace localmente al disopra del piano tangente;Dalla formula di Taylor al secondo ordine, questo equivale a dire che la matrice hessianaH e` definita positiva in ogni punto. Tale hessiana e` a termini costantiUxx = 2, Uxy = Uyx = 1, Uyy = 2ed e` definita positiva in forza diUxx > 0, det(H) > 0.C) Determinare i punti critici liberi del potenziale U(x, y) e classificarli da B);Solo P = (−4/3, 2/3) e` punto critico ed e` di minimo relativo per quanto visto in B).D) Tramite la regola della catena, provare che il potenziale U(x, y) ha un minimo assolutovincolato sulla semicirconferenza di centro (−1, 0) e raggio 1 parametrizzata da x =−1 + cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ pi;AbbiamodUdt= Uxx′(t)+Uyy′(t) = (2 cos t+sin t)·(− sin t)+(2 sin t−1+cos t) cos t = cos2 t−sin2 t−cos tda cui anchedUdt= 2 cos2 t− 1− cos t.Da questa ultima espressione, nell’intervallo 0 < t < pi, la derivata si annulla per t = 2pi/3,e` negativa per 0 < t < 2pi/3, positiva per 2pi/3 < t < pi. La funzione U(x(t), y(t)) haquindi per minimo assoluto il valoreU(x(2pi/3), y(2pi/3)) = U(−3/2,√3/2).E) Dalla definizione, ricavare il lavoro del campo F sulla semicirconferenza al punto D)orientata dalla parametrizzazione ivi espressa.ANALISI MATEMATICA B 3Il lavoro vale∫ pi0(f1x′ + f2y′)dt =∫ pi0(Uxx′ + Uyy′)dt =∫ pi0dUdtdt =∫ pi0(cos2 t− sin2 t− cos t)dt =∫ pi0(cos(2t)− cos t)dt =[12sin(2t)− sin t]pi0= 0.F) Ricavare ora una espressione esplicita dei potenziali U(x, y).Si ha U =∫(2x+ y+ 2)dx = x2 + xy+ 2x+ h(y) ed imponendo Uy = x+ 2y si ottieneh′(y) = 2y da cui h(y) = y2 + c. ConcludendoU = x2 + xy + y2 + 2x+ c.G) Riottenere da F) il risultato di D) col metodo dei moltiplicatori di Lagrange una voltaosservato che sulla semicirconferenza U(x, y) = xy a meno di costanti.L’equazione cartesiana della semicirconferenza e`x2 + y2 + 2x = 0, y ≥ 0.Sotto questa condizione si ha proprio U = xy + c. Questa funzione puo` avere mas-simo/minimo agli estremi della semicirconferenza (−2, 0), (0, 0) o nella unica soluzione(−3/2,√3/2) del sistema di Lagrangey + 2λ(x+ 1) = 0x+ 2λy = 0x2 + y2 + 2x = 0y > 0.Avendo ora a disposizione una espressione esplicita di U(x, y) si vede che gli estremi sonopunti di massimo mentre si riottiene che (−3/2,√3/2) e` il punto di minimo.H) Riottenere da F) il risultato di E).Il lavoro vale U(−2, 0)− U(0, 0) = 0 come in E).Esercizio 3. Determinare il volume del solido A = {(x, y, z) : x2 + y2 ≤ z ≤ (x2 + y2)1/2}generato da una rotazione completa attorno all’asse z dell’insieme piano B = {(r, z) :r2 ≤ z ≤ r}. Eseguire l’integrale doppio su B che ne segue secondo entrambe le riduzionipossibili dzdr e drdz.Il volume vale ∫ ∫ ∫Adxdydz = 2pi∫ ∫Brdrdz4 ANALISI MATEMATICA Bpassando a coordinate cilindriche come sempre si fa nelle rotazioni assiali. Una primariduzione fornisce2pi∫ 10r∫ rr2dzdr = 2pi∫ 10(r2 − r3)dr = pi6.Seguendo l’altra riduzione si ha ancora2pi∫ 10∫ √zzrdrdz = pi∫ 10(z − z2)dz = pi6.Esercizio 4. Si consideri la funzione x(t) = u(2 − t)et con u(t) = 1(0,+∞) il gradinounitario.A) Calcolare la trasformata di Fourier xˆ(ω).xˆ(ω) =∫ 2−∞et(1−iω)dt =11− iω[et(1−iω)]2−∞ =e2(1−iω)1− iω .B) Verificare il risultato di A) con la formula di antitrasformazione.L’antitrasformata valee22pilimR→+∞∫ R−Reiω(t−2)1− iω dω.Nel punto di salto t = 2, si puo` applicare il calcolo delle primitive ed integrare separata-mente la parte reale 1/(ω2 + 1) e la parte immaginaria ω/(ω2 + 1) di 1/(1− iω). Questaultima ha integrale nullo per ogni R per simmetria dispari. Integrando la parte reale, ilrisultato della antitrasformata e` e2/2 che corrisponde a (x(2+) + x(2−))/2.Per t 6= 2 si considera la funzione di variabile complessa z = ω + iyf(z) =eiz(t−2)1− iz =eiz(t−2)−i(z + i)che ha un polo semplice per z = −i con residuoRes(f,−i) = et−2−i .Tenendo conto di ∣∣eiz(t−2)∣∣ = ∣∣ei(ω+iy)(t−2)∣∣ = e−y(t−2)si deve integrare nel semipiano y > 0 per t > 2 mentre si deve integrare nel semipianoy < 0 per t < 2.Nel caso t < 2, tenendo conto dell’orientamento orario quando si integra nel semipianoinferiore, l’antitrasformata vale12pie2· (−2pii) · Res(f,−i) = e22pi· (−2pii) · et−2−i = etmentre per t > 2 vale 0 in quanto nel semipiano y > 0 non ci sono singolarita` di f(z).In ogni caso, nei punti di continuita` t 6= 2, l’antitrasformata vale x(t).C) Determinare la derivata x′ nel senso delle distribuzioni seguendo la definizione.ANALISI MATEMATICA B 5Si ha〈x′(t), ϕ(t)〉 = −〈x(t), ϕ′(t)〉 = −∫ 2−∞etϕ′(t)dt = − [etϕ(t)]2−∞ + ∫ 2−∞ etϕ(t)dt =− e2ϕ(2) +∫ +∞−∞x(t)ϕ(t)dt = −e2〈δ(t− 2), ϕ(t)〉+ 〈x(t), ϕ(t)〉quindix′(t) = −e2δ(t− 2) + x(t).D) Calcolare xˆ′ direttamente dal risultato di C) e verificare poi la relazione attesa con xˆ.Tenendo conto anche di A), si haxˆ′(ω) = −e2 · e−2iω + e2(1−iω)1− iω =iωe2(1−iω)1− iωche verificaxˆ′(ω) = iωxˆ(ω).E) Verificare l’uguaglianza di Parseval.Si deve verificare ∫ +∞−∞|x(t)|2dt = 12pi∫ +∞−∞|xˆ(ω)|2dω.Il primo membro vale ∫ 2−∞e2tdt =e42.Il secondo, tenendo conto di |e−2iω| = 1 e di |1− iω|2 = ω2 + 1, vale anch’esso12pi∫ +∞−∞e4ω2 + 1dω =e42.

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