Hiroyuki Hirano

ヒラノ ヒロユキ

平野 博之

平野, 博之

ヒラノ, ヒロユキ

Hirano, Hiroyuki

AROUS Academic Repository of Okayama University of Science / 岡山理科大学学術リポジトリ

岡山理科大学紀要第35号App231-236(1999）希薄気体の数値解析における無次元化について平野博之岡山理科大学工学部応用化学科（1999年11月４日受理）1．緒言最近の計算機性能の向上にともなって、多数個の分子あるいは粒子モデルを用いて、さまざまな物理現象を数値計算によって再現できるようになってきた。このうちの’つとして、希薄気体の流れ解析がある。これは、半導体製造技術に関連した電子工業などの分野でとりわけ重要である。この場合、系を構成している気体の分子数密度は非常に低いため、分子同士の衝突の影響を無視できない。このような系は不連続体とよばれ、基礎となる方程式はBoltzmann方程式とよばれる’)'2)。一般的な大気圧程度の気体は連続体とよばれ、それを構成する分子は集団として扱ってもよく、Navier-Stokes方程式にしたがう。系が不連続体であるかどうかを判断するためによく用いられるのが、Knudsen数(Ｋ､）とよばれる無次元数である。これは分子の平均自由行程入に対する系の代表長さＬで定義される(Ｋ〃＝入/L)。一般的にはＫ、が００１よりも大きい場合を不連続体という３)。したがって、系が不連続体であるというのは、分子数密度が非常に低く（低圧）入が大きい場合と、系の代表長さＬが非常に小さい場合が考えられる。希薄気体の数値計算は、（実際の分子数よりは少ない）多数個の粒子（以下あえて分子という）を用いて確率論的に行うことがほとんどである。このような手法で実際に数多くの計算例が報告されている。本論文では、Boltzmann方程式を基礎方程式とし、DirectSimulationMonteCarlo(DSMC)法とよばれる方法3),4)で希薄気体を数値計算する場合の無次元化について述べる。物理現象を数値計算するという観点からすると、その現象のもととなる支配方程式は無次元化することによって初めて一般性を持つといえる。支配方程式を無次元化するということは、その方程式に含まれるある有次元の物理量を、基準となる物理量で除して無次元の物理量に換算するということにすぎないが、基準となる物理量をいかに決めるか、ということが最も重要である。方程式の無次元化の方法としては、甲藤5)の方向性次元解析およびHellumsandChurchill6)の方法がそれぞれ独立に導出された。しかしながらこれまでのいくつかの報告7),8),9),10)をみても、希薄気体の数値解析に関しては、これらの方法にしたがって支配方程式ならびにＤＳＭＣ法を無次元化したものは見あたらない。そこで本論文では、機械的に無次元化が可能なHellumsandChurchillの方法をとりあげ、まず、希薄気体力学の基礎方程式であるBoltzmann方程式を無次元化し、さらに実際の数値計算を行うための離散化においても、ＤＳＭＣ法をとりあげて無次元化して定式化を行う。2．Boltzmann方程式外力場がが働いているとき、時刻ｔにおいて、速度が(5～５＋d5)で位置が(愚～愚＋d量)にある分子の個数をノ(5,5,t)とすると、速度空間の微小要素｡v;,(＝dMMU3)と物理空間の微小要素d脇(＝dz1dMz3）を用いて、着目する全空間における総分子数Ｎは次式により求まる。１Ｍ。 f(5,愚,t)ｄＷｌｖ息＝Ⅳ (1)いま、時刻t、位置量において、速度の違う各々の分布関数がノーノ(汀,量,t）とハーノ(価,透,t）である分子同士がノ'＝ノ(２７,匠,ｫ）とf'，＝ノ(グ,,愚,ｔ）と変化するような衝突を考える。多数個の分子が存在しているので、この衝突の逆も考えられる。このような衝突をさらに全速度空間と全物理空間にわたって積分した/についての支配方程式はBoltzmann方程式と呼ばれ、一般に次のように書ける１),2)。箸+が塞十鶚一ﾉ[=ﾉ(`､Ｍﾙｸﾞﾊ)肌山②232 平野博之ここに、Ｕｒ＝l5i-51,が＝ｍ‘である。3．Boltzmann方程式の無次元化Ｅｑ.(2)をHellumsandChurchillの方法6)にしたがって無次元化する。ただし、この式だけでは参照値をすべて決定できないので、各種の分子平均速度あるいはその他の条件なども用いる。いま、上付き～を無次元の物理量を表す意味とし、上付きの＊を参照値となる物理量（有次元）を表すものとし、以下の無次元変数を導入する。 ゴｚ→』ＵＦｒ－ｏｒＪ’ ＊＊＊＊ＺＵ＊◎ＰＴｊ句可雌可〃’’’’’’’一一一 (3)3-1Boltzmann方程式Ｅｑ.(3)をＥｑ.(2)に代入すると次式を得る。篝+単勗蜑+学芸竿1ｔ:ｒ５６r(ﾉﾉﾉ１－〃,)dvb1血 (4)3-2平均速度各種平均速度は以下のように無次元化される。に 鳫樗樗 与り貼一が（ ｝Ｕ、Ｉ (5)3-3各種条件代表長さがＬで表されるような系では、ｚｏ＝Ｌ→５５０＝Ｌ〃＊全散乱断面積は、分子が剛体球モデルであるとみなせるときは(6)ぴ０＝７rq2-十ケo＝汀α2/ぴ＊ (7)ただし、αは分子直径である。Ｅｑ.(4),Ｅｑ.(5),Ｅｑ.(6),Ｅｑ.(7)をもとに、各係数を１あるいはＯなどと決めてそれぞれの参照値を順次決めてゆく。Ｅｑ(5)より､5m＝１として､ザ＝⑳mとなる。このとき、〈５>=2,1/之~5面~三＝Ｖ百7百となる。Ｅｑ.(6)より、Z0＝１として、ｚ*＝ＬＥｑ.(7)より、５０＝１として、ぴ゛＝汀Ｑ２Ｅｑ.(4)に関しては、④＝１として、ｔ*＝が/Ｕ*＝Ｌ/Ｕｍｏ=1として、ノ*＝(t寧向鯵4)-1＝{m/(2AT)}3/2/(L汀α2）このとき、⑧＝ＷＵ*＝Ｌｍ/(2ｈＴ）以上より、最終的に無次元化されたBoltzmann方程式は以下のように書ける。警十示蜑+☆毘蜑-ﾉ[苣ﾉr鰔励('＃肌山 （８）希薄気体の数値解析における無次元化について 233ここに、ハはHoude数とよばれる無次元数で、Ｆｒ＝2kT/(Lm9)＝U蝋2/(L9)である。この他にも、たとえば熱平衡状態にある分布関数を参照値に選んだり、いろいろな無次元化が考えられる。しかし、基本的には上述したように支配方程式や各種条件に現れる係数をＯあるいは１などとして参照値を決定してゆくことに変わりはない。4．ＤＳＭＣ法以上で得られた無次元化されたBoltzmann方程式を用いて、実際の希薄気体の数値計算でよく用いられているＤＳＭＣ法3),4)を定式化する。なお、計算は，種類から成る気体について考える。4-1分離の原理Ｅｑ.(8)を便宜上、以下のように書く。竺一D/＋Jノａｔ５美+声晁罵(9)(10）(11）Ｄｆルノ[rｒ５６r(/'ハーノノ,)dVMuノここで、／(５，昂,jr)に関して、これを灸=o＝/(5,5,0)のまわりでnylor展開して、△jr2以上の項を無視すると次式を得る。ノー(１－，△f＋J△f)八=ｏ （12）ここでさらに、△fは微小であるとして、これを以下のように書く。ノー(１－，△f)(1＋J△j)入=ｏ（13）いま、Ｅｑ(13)について（1＋J△j)灸=｡＝/(5,5,0)＝ハー。とおき、Ｅｑ.(14)をＥｑ.(13)に代入すると、次式を得る。(14）ノー(１－，△t)ハー0 (15）これらの式は、以下のように解釈できる。Eq.(14)：Ｊは非線形の衝突演算子で、卜oが△rの間の衝突によってハーoに変化する。Eq(15)：Ｄは線形の移動を表す演算子で、△fの間の衝突によって、卜oからハーoに変化した分布関数のまま、衝突なしで△fの間移動する。計算で一番困難なのはＥｑ.(14)のハーoをいかにして求めるかということである。これを何らかの方法で求めることができれば、Ｅｑ.(15)を用いて次の分布関数ノを知ることができる。以下では、この九=oを計算する方法を定式化する。そのために、まず△f間の衝突回数をいかにして求めるか、そして、各衝突をいかに計算するかについて述べる。4-2衝突数実際の数値計算は、計算対象領域をいくつかのセルに分割し、各々のセルの中では平衡とみなせるものとして行う。平衡であるときを考えると、△tの間に－つの分子が他の分子と衝突する回数は以下のように書ける。〃＝､/面びT汎くり＞△オーUガヮTn△ｔ （16）ここに、びＴは全散乱断面積、ｎは分子数密度で、Uijは分子ｊと分子ｊの相対速度で|毎－毎|である。これを無次元で表すと以下のようになる。〃＝巳ﾆﾆ:竺ﾂrT伽j△# （17）④234 平野博之ここで、④＝１となるように、､を選ぶと、〃*＝(o零Ｗ掌)－１＝(汀q2L)－１となる。したがって最終的に衝突数は以下のように書ける。〃＝ｎ５Ｔ５ｉｊ△# （18）でずここで、③は各セルの平均値として考えると、セル内の分子数jVSを用いて以下のように書ける。ＮｓＭｊ－士ＺＭ）（'9）ノー１以上より、分子ｊが△fの間に衝突する回数ＰｌはＮｓ ＮｓＢ=定Ｚ(術…')=ＺＢ， （20）ｊ＝１ ｊ＝１すなわち、１つのセル内で起こるすべての衝突回数Z'Ｔｌ土以下の式で表される｡”=;堂B=;ｚｚＢ,=zB，ＮｓＮｓ Ｎｓ （21）ｉ＝１ ｉ＝１ｊ＝1(≠j）ｉ＜ｊＢｊは分子ｉと分子ｊとが衝突する回数である。4-3最大衝突数法4-2節で衝突数を求めたので、あとは各衝突をいかに計算するかを考える。具体的には、Ｅｑ.(18)中の＠をいかに計算するかということになる。ここでは、計算効率の良い最大衝突数法をとりあげる。まず、ＧＷ)＝Ｄｆｊ５Ｔとおく。￣般的にはうＴはDjjの関数であることが多い。したがって、衝突数を計算するためには、jVSCVS-1)/2個のＧ(j,j)が必要となる。これは計算負荷が大きすぎる。そこで、これらをすべて一定値Gmaxと仮定する。このＣ…は、真の最大値を上回っていればよい。こうすることで、z"rは過大に見積もられることにはなるが、計算負荷はかなり軽減される。このとき、分子ｉと分子ｊが衝突する回数Ptj,maxは以下のように書ける。Ｂ…簗=走癒c…△ｆ（22）Eq.(22)を用いて、全衝突回数1次rは次のように表せる。乍菫{B…(鶚)｝伽）Eq.(23)は、次のような意味をもつ。①:各々の計算セルにおいて、ハノ自個の分子から任意の一対(i,j)を選ぶ。ただし、選んだどの組み合わせについても仮に等しい回数Ｂｊ,ｍｅx衝突するものとする。②:Ｃ(i,j)/Cmaxを計算し、これが乱数０≦Ｕ≦１よりも大きければ実際に衝突させる。③:衝突数がz'rになるまで、この操作を繰り返す。なお、Ｇ(j,j)/Gmaxは旦些21＝２２王iユー坐L(Ｕ…は系に応じて決める）ＧｍａｘＵｍａｘびＴＵｍａｘより計算する。以上により、Boltzmann方程式にしたがう分子の衝突ならびに移動が計算できる。4．結びHellumsandChurchillの方法にしたがって、Boltzmann方程式の無次元化を行った。分子に働く外力としては重力を考慮した。本論文で行った無次元化によれば、Boltzmann方程式はFroude数のみを含む形で無次元に整理できた。さらに、これをもとにして希薄気体の数値計算によく用いられるＤＳＭＣ法に関しても、無次希薄気体の数値解析における無次元化について 235元にて定式化を行った。使用記号ａ：分子直径ｅｇ ：単位ベクトル(重力方向）Ｆ：外カベクトルノ：分布関数９：重力加速度ベクトルＩＤ：Boltzmann定数、：分子質量、：分子数密度Ⅳ：分子数ﾉvＳ：計算セル内の分子数曰：分子ｊの△f間の衝突数Ｂｊ：分子ｚと分子ｊの△f間の衝突数Ｔ：温度ｔ：時間喝：速度空間脇：物理空間Ｕ：速度ベクトルUij：分子ｊと分子ｊの相対速度Uｒ：相対速度くり＞：平均速度Ｕｍ ：最大確率速度Ｖ三~5ﾜｰｦ：根二乗平均速度Ｚ：位置ベクトルギリシャ文字〃：衝突回数"Ｔ：計算セル内の△f間の総衝突回数ワ：微分散乱断面積oＴ：全散乱断面積Lｕ：立体角上付き文字＊：参照値：無次元物理量[m］[-］[ｋｇｍ/s2］[S3/ｍ６］[ｍ/S2］[J/K］[kg］[1/ｍ３］[-］[-］[-］[-］[K］[s］[m3/s3］[m3］[m/s］[m/s］[ｍ/s］[ｍ/s］[ｍ/s］[ｍ/s］[m］[-］[-］[m2］[ｍ２］[sr］参考文献1)Ｗ．Ｇ．VincentiandC・HKruger,Ｊｒ.:，，1）Ｗ．Ｇ．vmcentiandC・lLKruger,Ｊｒ.:，，IntroductiontoPhysicalGasDynamics，，,JohnWiley＆Sons(1967）2)曾根良夫,青木一生:，，分子気体力学'',朝倉書店(1994）3)南部健一:，，ボルツマン方程式の確率解法I，',東北大学流体科学研究所報告,第３巻,47-93(1992）4)ＧＡＢｉｒｄ:MolecularGasDynamicsandtheDirectSimulationofGasFlowsOxfOrdUniversitvPress・ＮｅｗＹ4ノロ・企Dlro:IMLo1ecularuasuynamlcsandtneulrect51mulatlonotGasFlowsOxfOrdUniversityPress,ＮｅｗＹｏｒｋ(1994）5)甲藤好郎:，，伝熱概論，，,養賢堂(1964）6)ＪＤＨｅｌｌｕｍｓａｎｄＳ.Ｗ・Churchill：，，SimplificationoftheMathematicalDescriptionofBoundaryandlnitialValueProb‐lems，，,ＡＩＣｈＥ・Joumaj,10,110-114(1964）7)ＧＡＢｉｒｄ:，'DirectSimulationofHigh-VOrticityGasFlows，，,Ｐﾉｶys・ＦＭｄｓ,３０(2),364-366(1987）8)Ｙ・Sone，Ｋ・Aoki,HSugimotoandHMotohaShi:，'TheBenardProblemofRarefiedGasDynamics，，,Rare5edGasDy-namics,OxfbrdUniversityPress,135-141(1995）9)ＡＬ・Garcia:，，HydrodynamicFluctuationsandtheDirestSimulationMonteCarloMeth。d，，,Ｍｃ”scopicSjmulGtjo汎ｓｏ/OompにzFlolus(EditedbyMichelMareschal),P1enumPress,NewYork,177-188(1990）10)渡辺正,蕪木英雄,町田昌彦,横川三津夫:，'直接シミュレーションモンテカルロ法によるＲａo/leigh-Benard不安定性の研究，'，ＴﾉZermqlScie汎ｃｅ３助gmeerm9,２(4),17-23(1994）236 平野博之NondilnensionalizationforNumericalColnputationofRarefiedGasDynalnicsHiroyukiHIRANODePqrtmentqMppljedChemjstrZノFhcuJtZ/qfEn9meerm9oAqW7MBUniuers伽ｑ/ScjenceZ-1，Rjdqi-cho，OAqpqmq700-OOO5，Ｊ叩α、（ReceivedNovember4,1999）Rarefiedgasdynamicsisimportantinthesemiconductorfabricationandalmostanyprocessthatinvolveshighvacuum,aswellasinthedevelopmentofthehigh-vacuumequipmentitselfAsthedemandfOrthehighperfbrmanceproductsintheseindustrieshasincreased,thenumericalcomputationofrarefiedgasdynamicsiscruciaLAnyequationinthegoverningequationsandthenumericalalgorithmshasitsgeneramtyonlyinthedimensionlessfOrm、ThispaperpresentsthenondimensionalizationprocedurefbrthenumericalcomputationofrarefiedgasdynamicswiththeBoltzmannequatioｎｂｙｔｈｅＤｉrectSimulationMonteCarlo(DSMC)methodTheBoltzmannequationisnondimensionalizedwiththeHoudenumberaccordingtothemethodproposedbyHellumsandChurchilL

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