Akinori Iwasaki

Hirokazu Ohtagaki

Keiichi Ueyama

イワサキ アキノリ

ウエヤマ ケイイチ

オオタガキ ヒロカズ

上山 圭一

太田垣 博一

岩崎 彰典

上山, 圭一

ウエヤマ, ケイイチ

Ueyama, Keiichi

岩崎, 彰典

イワサキ, アキノリ

Iwasaki, Akinori

太田垣, 博一

オオタガキ, ヒロカズ

Ohtagaki, Hirokazu

AROUS Academic Repository of Okayama University of Science / 岡山理科大学学術リポジトリ

岡山理科大学紀要第35号ApplO7-112(1999）多次元Ｏ‐ｌナップザック問題に対する遺伝的アルゴリズムの適用上山圭一・岩崎彰典＊・太田垣博一*＊岡山理科大学大学院工学研究科修士課程電子工学専攻＊岡山理科大学情報処理センター**岡山理科大学工学部電子工学科（1999年11月４日受理）1．まえがき多次元ｏ‐’ナップザック問題は，信頼性工学における最適化問題をはじめとして工学応用上頻繁に現れる重要な問題である。単一制約を持つ1次元０－１ナップザック問題は，従来分枝限定法や動的計画法などの有効な解法が研究されている')。しかし，複数の制約条件を持つ多次元０１ナップザック問題にそれらを適用することは困難である。その理由は，例えば分枝限定法では目的関数値と制約関数値の比により選択されるべき項目集合の順序の並び換えができ，それにより上限値と下限値を求めることができることを前提としているが複数制約を持つ問題では制約式が複数あるために，そのような並び換えを行うことができないからである。また動的計画法は整数優越性を使用するがこれも複数の制約条件を持つ問題では極端にその効率が悪くなるからである。遺伝的アルゴリズム(GeneticAlgorithm:GAS)は，生物の進化の過程を模倣した比較的単純な基本原理に基づいているが，従来の手法では解決が困難であったさまざまな最適化問題や探索問題に対して，実用的な最適解を速やかに得ることができる有効な手法として知られている2)。そこで，我々は多次元０－，ナップザック問題にＧＡＳを適用し，その有効性を確かめる3)。2．多次元０１ナップザック問題ナップザック問題は目的関数値と制約関数値を持つ複数個の品物が与えられたときに制約関数が，ある制約許容量以内で幾つかの品物を選択し，そのときの目的関数を最大にする組合せをみつける問題である。多次元Ｏ‐１ナップザック問題は次のように定式化される。［K］Ⅳ（麺）＝Ｚｃ麺麺”（１）maximize7L＝１Ｎ＄ubjecttog癖(錘）＝Ｚ…宛≦6” （２）九＝１ｚねＥ{0,1}，、＝1,2,…,Ⅳ，、z＝1,2,…,Ｍ （３）ここで係数cね，ｑｍｎは，ｎ番目の品物の価値や重さなどを表す正の数である。６m(＞Ｏ)は制約許容量，MjVはそれぞれ制約条件と変数との個数を表している。3．遺伝的アルゴリズム遺伝的アルゴリズム(GeneticAlgorithm:GAS)は生物進化の原理に着想を得たアルゴリズムで最適化の－手法である。ＧＡＳでは遺伝子を持つ仮想的な生物の集団を計算機内に設定し，あらかじめ定めた環境に適応している個体が子孫を残す確率が高くなるよう世代交代シミレーションを実行し，遺伝子および生物集団を進化させる。このためこれらの仮想生物の進化によって，与えられた工学的課題の解が得られるようにＧＡＳのプログラムミングを行う。ＧＡＳの特徴の一つは交叉，突然変異，選択という生存競争に基づく確率的原理により，組合せ問題のような計算量の多い問題において良好な解を見つけることができることにある2)4)。遺伝的アルゴリズムでは図１に示す手順に従って解を改善させる。図１の各項目について以下に述べる。上山圭一・岩崎彰典・太田垣博一108初期集団の生成交叉突然変異応度の計算各個体の適択選図１ＧＡＳの処理手順(1)初期集団の生成GASで解を探索するためには，まず問題の解候補を文字列にマッピングする。０－１ナップザック問題では各変数に遺伝子となるＯか１をランダムに与え，それを－つの個体とする。同じようにいくつかの個体を生成し，それらを初期集団とする。ここで変数の個数をⅣ，生成する個体の総数をＬとし，各個体の遺伝子型を1A(J＝1,2,…,Ｌ、＝1,2,…,Ⅳ)と表すことにする。図２に20変数の問題でＬ個の個体からなる初期集団の例を示す。鴎OO100011000000000000I：OOOOO100010001000001魔Ｏ1001000100100100100殿00100000010010010000図２初期集団の例(2)交叉生成されたＬ個の初期集団の中から二つの個体のペアを何組かランダムに選択し，それぞれに対して交叉と呼ばれる操作を実行する。交叉は二つの個体の間で文字列の部分的な交換を確率的に行う操作である。本研究では，文字列をランダムに選んだ二ケ所の交叉位置で切断し，中央部を入れ換える２点交叉を使用した。図３に2点交叉の例を示す。この図では畷，Ｉ写がある一つのペアとして選ばれた個体で，左から７ビット目と８ビット目の間，１４ビット目と１５ビット目の間を交叉位置とし，中央部を入れ換えることによって新たな固体鷹，噂を作っている2)。㈱墓::;81:ＩｌＩＩｌＩ８ｉ:|:8188；〒峯::;:188|棚ｌＩＩｌＩＩ；図３２点交叉の例交叉によって生成された子の個体噸，ＬＰは，親の個体I:，Ｉ焉のそれぞれから形質を継承した個体である。これは探索空間において，現在の探索点とは少し異なる位置に新しい探索点を生成させることに相当している。初期集団では，さまざまな遺伝子型をもつ個体があるため，交叉によっても同様にいろいろな個体が生じる。一方，進化が進み遺伝子型がある傾向に定まりつつある過程では，どの個体の遺伝子型にも大きな差がないため，交叉によって作り出される固体の遺伝子型も似通ったものになる。すなわち，探索空間を多次元０－１ナップザック問題に対する遺伝的アルゴリズムの適用 109はじめは大局的に調べ，傾向をつかんでからはより詳細に調べるということになる2)。(3)突然変異交叉に続いて，突然変異と呼ばれる操作を実行する。突然変異は，個体中の特定の遺伝子を別な遺伝子に確率的に交換する操作である。図４に突然変異の例を示す。この図では左から１２ビット目の遺伝子に突然変異が生じている。突然変異前0001001000010101100001突然変異後oooloolooOolllolloooO1この突然変異の役割は二つあり，一つは交叉で得られた解の近傍を探索すること，もう一つは交叉だけでは得られない遺伝子のパターンを生成することである。これにより局所解からの脱出が可能となる。(4)各個体の適応度の計算適応度は，個々の個体の競争力を表す。本研究では(4)式のような適応度関数を設計し，これによりそれぞれの個体の適応度を計算する。多次元0-1ナップザック問題では，全ての制約許容量を満たす解を得るためにペナルティ乗数入ｍをうまく設定する必要がある。に…ﾄM…④（９m(z)二Ｍ(5)選択選択は，適応度に応じてより環境に適した個体を選ぶ操作である。本研究では適応度の大きいものから順に選択するエリート戦略を使用した。以上の処理によって，次世代のＬ個の個体を決定する。そして再び交叉，突然変異，適応度の計算，選択の過程を何世代か繰り返すことにより最終的にすべての制約条件を満たし，より目的関数の大きい解を得4．計算機実験個体数Ｌ＝２０とし乱数で生成した価値c冗および重さα1,と容積α2河をもつ２次元のＯ‐１ナップザック問題について計算機実験を行った。またGASにより解が改善される様子を視覚的に把握し、遺伝的アルゴリズムの各種パラメータを決定するため、図５のようなツールを作成し，このツールを使用して計算機実験を行った。この図５に50変数の２次元Ｏ‐１ナップザック問題の解の初期状態を示す。表１２次元0-1ナップザック問題例１刈銘田２朋酊肥３組肥町４珊門岨Ⅳ－１５４３８２９Ⅳ開ｎ冊、功恥』鴎項項０１１１１１０００００１１０１１１０曙０ １００１ ０１上山圭一・岩崎彰典・太田垣博一１１０図５５０変数２次元０１ナップザック問題に対するＧＡ適用のアニメーションツール図６解が改善される様子図７視点の変更多次元０－１ナップザック問題に対する遺伝的アルゴリズムの適用 １１１図5において①はc凧/Ｗ霊~〒てI更の大きい順に足したもので解が改善される様子を調べるための目安である。②はランダムに生成された初期集団で，これに遺伝的操作を行い解が改善される様子を調べる。このツールを用いて実験を行うことには，次のような特徴がある。１.解が改善される様子が視覚的にわかる(図6）２．解の挙動を見ながら制約許容量，突然変異率，ペナルティ乗数を容易に変更することができる３.全ての制約を満たしているかどうか角度を変えて見ることができる(図7）5．実験結果制約条件の個数Ｍ＝２，変数の個数１Ｖ＝30,50,100の問題についてそれぞれ制約許容量を変化させたときの結果を表２に示す。制約許容量６１(%),６２(%)は、それぞれの制約関数値の合計に対する割合を表している。f(z)はGASによって求めた目的関数,ル)は制約許容量以内でc,⑭/Ｗ霊~キー57三;の大きい順に再帰的に足すことによって求めた目的関数である。この計算機実験では毎回ＧＡＳのほうが良い解を得ることができた。表２計算機実験結果Ⅳ６１(%）６２(%）（⑳）地）ノ(⑳)－加）5０５０１２８８１２６７２１100５０１３１９１３１４ ５3０５０１００１３４４１３１２３２8０１０６３３６０５２８1０８０６７７５３３１４４5０５０２０７６２０６７ ９100５０２１２０２０６７５３5０５０１００２１６４２１４７１７8０１０１００３８９０１１３1０８０１０２３８５８１６５5０５０４２０５４１７０３５100５０４２９４４１７０１２４100５０１００４４５３４４２５２８8０１０１９９４１７４４２５０1０８０３０１６２７９４２２２6．むすび２次元0-1ナップザック問題にＧＡＳを適用する方法を提案し，３Ｄのアニメーションによって視覚化した。ＧＡＳを適用して解が改善される様子を視覚的に把握しすることによりＧＡＳで良好な解を得るために必要なさまざまなパラメータの設定が容易にできた。参考文献１）今野浩，鈴木久敏：整数計画法と組合せ最適化，日科技連出版社(1982）２）安居院猛，長尾智晴：ジエネテイツクアルゴリズム，昭晃堂(1993）３）上山圭一，岩崎彰典，太田垣博一：多次元0-1ナップザック問題に対する遺伝的アルゴリズムの適用JAMSAnnualMeeting(1999）４）北野弘明：遺伝的アルゴリズム，産業図書(1993）上山圭一・岩崎彰典・太田垣博一112AnApplicationo玉aGeneticAlgorithmtoMulti‐DimensionalO-1KnapsackProblemsKeiichiUEYAMA,AkinorilWASAm＊ａｎｄＨｉｒｏｋａｚｕＯＨＴＡＧＡＫＩ＊＊CHmdUateSbhoo/ofEhgmeemng鐘ｌｍｂｍ２ａｔｍｎ厘ｍｃｅｓｓｍｇＣもnte2；謙竃Depar伽enfofE/ectmnルm2gmeemZg肋cMtyofEngineezmgOAayzm2aZﾉhiv'巳２，sityofSbjenceRjtfai-choZ-Z,OAayzmZa〃0-000グムpan（ReceivedNovember4,1999）O-1knapsackproblemsareveryimportant，andappearfrequentlyinawidevarietyofenglneeringapplications・SomeeffbctivemethodsarepresentedfbrsolvingO-1knapsaclKproblemswithasingleconstraint，However,O-1knapsackproblemswithmultipleconstraintsareverydifficulttosolve・Ｗeproposeamethodbasedonageneticalgorithmtosolvemulti-dimensionalO-1knapsaclKproblems，andvisualizethesolutionprocesstoenablethevariousparametersofthegeneticalgorithmtobedecidedinordertoobtainhighqualitysolutions．

タジゲン 0-1 ナップザック モンダイ ニタイスル イデンテキ アルゴリズム ノ テキヨウ

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