Bütüner, Suphi Önder

İlköğretim Online (İOO - E-Journal)

 Elementary Education Online, 7(1), 218-222, 2008. 
lköretim Online, 7(1), 218-222, 2008. [Online]: http://ilkogretim-online.org.tr 
ÇEVR 
 
How Our Methods Of Writing Algebra Have Evolved: 
A Thread Through History 
 
Jack Oliver 
Nambour, Qld 
beja@westnet.com.au 
 
We have not always had our present clever ways of Writing algebraic equations and 
expressions.  This paper attempts to trace how our system has developed since the dawn of 
civilisation.  We all look at a few snapshots taken at distinct times to illustrate this progress. 
 
Cebri Yazma Metotlarımız Nasıl Deiim Gösterdi: 
Tarihe Yolculuk 
 
Çeviren:  Suphi Önder BÜTÜNER 
Karadeniz Teknik Üniversitesi lköretim Matematik Öretmenlii Doktora Örencisi, 
Trabzon Düzköy Çayırbaı lköretim Okulu Matematik Öretmeni 
 
Cebirsel eitlik ve ifadeleri yazmada belirgin yollarımız her zaman olmamıtır.  Bu çalıma 
medeniyetin douundan beri, sistemimizin nasıl gelitiini ortaya çıkarmaya çalımaktadır.  
Cebri yazma metodundaki geliimi göstermek için farklı zamanlardan alınmı birkaç farklı 
örnei inceleyeceiz. 
 
Eski Mısır ve Yunan  
 
Moskova papirüsünün 14.problemi (M.Ö 1850, Eves, 1983, s.11) 
 
Yükseklii 6birim, tabanında bulunan karenin kenar uzunluu 4 birim, tepesinde bulunan 
karenin uzunluu 2birim olan bir kesik piramit veriliyor.  Bu piramidin hacmini bulunuz. 
 
Dördün karesini al, sonu. 16.  4’ün iki katını al sonuç 8, 2’nin karesini al sonuç 4, 16, 8 ve 4’ü 
topla sonuç 28, 6’nın üçte birini al sonuç 2, 28’in iki katını al sonuç 56. 
 
M.Ö 2600’lerde Babil Tabletlerinden (Eves, 1983, s.14). 
 
Dairenin çevresi 60, kiriin orta noktasının daireye olan en yakın uzaklıı 2’dir. Buna göre 
kiriin uzunluu kaç birimdir? 
 
2’nin iki katını al, 20’den 4’ü çıkar.  Sonuç, 16.  20’nin karesini al, 400.  16’nın karesini al, 256.  
400’den 256’yı çıkar, 144.  144’ün karekökünü bul, 12.  Bu karekök kiriin uzunluudur. 
 
Babil’den aritmetikle ilgili bir alıtırma (Boyer, 1989, s.32) 
  
ki sayının toplamı 6 tam ½ ve çarpımları 7 tam 1/2.  Bu sayılar kaçtır? 
 
• Altı tam bir bölü ikinin yarısını bul. Sonuç: 3 tam ¼  
• 3 tam ¼’ün karesi. Sonuç: 10 tam 9/16 
 219 
• 10 tam 9/16’dan 7 tam 1/2 ‘yi çıkar. Sonuç: 3 tam 1/16 
• 3 tam 1/16’nın karekökünü bul. Sonuç: 1 tam ¾ 
• 1 tam ¾’e 3 tam ¼’ü ekle. Sonuç: 5 
• 3 tam ¼ ‘ten 1 tam ¾ ‘ü çıkar. Sonuç: 1 tam ½ 
 
Aranan sayılar 5 ve 1 tam ½’dir. 
 
Yukarıdaki 3 alıtırma, aritmetik ve geometrik problemlerin geçmite nasıl çözüldüüne dair 
çok fazla bilgi sunmaktadır.  Buradan ne sonuç çıkarabiliriz? 
• Açıklamalar sonucu bulmak için bir çeit reçetedir. 
• Problem verilmi bir grup sayı için özeldir. 
• Farklı sayılarla verilen aynı problemin cevapları, farklı sayıları deitirerek kolayca 
bulunabilir. 
Burada söylenmelidir ki; Hem Mısırlılar hem de Babilliler yıllarca tüm aritmetikle ilgili 
tabletleri yapmılardır.  Örnek olarak,  Babilliler, kil üzerine yazılı, birçok örneine sahip 
olduumuz çarpım tablosunu yapmılardır.  Mısırlılar ise dier tabletler arasında kesirleri 
kullanmalarında onlara yardımcı olan tabletlere sahiptirler. 
Zamanın kısa dönemlerinden söz etmiyoruz. En Eski belgeler, Mısır ve Mezopotamya’da ilk 
defa gelimi medeniyetler gördüümüz, M.Ö 3000’lere dayanır.  Bundan önceki aır geliim 
bin yıl olmasa da, yüzyıl olmalıdır.  En eski belgelerden, dünyanın bu bölümlerinin en azından 
2500 yıldan bu yana medeniyetin devam ettiini gördükleri söylenebilir.  Matematiksel 
problemleri çözmek için etkileyici teknikler gelitirmek için geni zamanımız olacak.  Bu 
belgelerin bize gösterdii, çeitli problemlerin çözümü için algoritmalar ve reçetelerdir.  Bu 
belgeler, genellikle algoritmaların nasıl gelitirildiine dair bize bilgi vermez.    
 
Yunan 
 
Öklit’den Arimete, Yunan dönemi hakkında çok az ey söyleyebiliriz.  Çok sayıda önemli 
cebir probleminin Öklid’in çeitli kitaplarında geometrik form’larda incelendii dönem, Yunan 
geometrisinin altın çaıydı (Kramer, 1982, s.370).   
 
3.yüzyılın ortalarında yaamı olan Alexandria Diophantus bize bir takım bilgiler sunmaktadır.  
Diophantus 3 kitap yazmıtır.  Bunlar: 
 
• Arithmetica (13 kitabın 6’sı mevcuttur) 
• On Polygonal Numbers (Bir bölümü mevcuttur) 
• Porism (Kayıptır) 
 
Aritmetica bizi ilgilendirir.  Sayı teorisi üzerine yazılmı bir kitaptır.  Mevcut bölümleri, bugün 
bizim tanımlı ve tanımsız eitlikler olarak adlandırdıımız 130 problemin çözümünü içerir.  Bu 
kitaptaki problemlerden biri (4. kitabın 10. problemi); Öyle 2 sayı bul ki, bu iki sayının toplamı, 
küpler toplamına eit olsun eklindedir. (Eves, 1983, s.119). 
 
Diophantus bilinmeyen için kısaltma kullanarak cebirsel sembolü tanıtmıtır (Eves, 1983, 
s.317).  Bu zamana kadar, problemler ve çözümleri kaıt üzerinde düz yazı eklinde 
yapılmaktaydı.  Bu çözüm metodunu anlamak çok zordu ve kullanısız bir yoldu.  Kısaltmaları 
tanıtmak, problemleri ve çözümlerinin anlaılmasını kolaylatırdı ve daha kullanılı hale getirdi.  
En azından gelecek 1000 yıldan bu yana balıca matematikçilerin önceki yaklaımı kullandıkları 
söylenmelidir.  
 
Matematikteki gelimeleri üç döneme ayırabiliriz.  Bu dönemler aaıdaki ekilde 
adlandırılırlar. 
 220 
 
• Sözel Dönem: Her eyin tamamiyle yazıldıı, Diophantustan önceki dönem. 
• Kısaltmaların kullanıldıı Dönem: Bazı kısaltmaların tanıtıldıı zaman (M.S yaklaık 
olarak 250–1600). 
• Sembollerin kullanıldıı Dönem: Çalıma, standardize edilmi kurallar kümesi 
tarafından manipüle edilebilen semboller içinde tamamiyle ifade edilebilir. 
 
Makalenin devamı, sembolik dönem için bize yol gösterecek olan kısaltma dönemindeki 
gelimelerden bahsedecektir.  Bu problemlerin çözümünde, Diophantus bugünün 
terminolojisiyle yazılan ifadelerle karı karıya gelecektir.  Örnein;   
 
  
Bu zamana kadar, bu sözcüklerle ifade edilmekteydi (sözel). 
 
‘ ilk sayı, ikinci sayının küpünün 2 katı ve ikinci sayının dört katından, ikinci sayının karesinin 
üç katı ve beten çıkarılarak oluturulur.  Bu tip ifadeleri kavramak ve kullanmak oldukça zor 
olmalıydı.  Diophantus bunu kendi stiliyle tekrar yazdı.   
                                    
 
Görüldüü gibi, bu oldukça kısadır ve kurallar verilir.  Sadece bir göz atmada kavranacak kadar 
kolaydır. Etkili bir anahtar Tablo 1’de verilmitir.  Ekleme yan yana koymaktır.  Eklenmi 
terimler sol tarafta gruplandırılmı ve çıkarılmı terimler ise sa tarafta gruplandırılmıtır (Eves, 
1983, s.128–129).   
 
Tablo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sayılar için küçük yunan harfleri kullanılır (Standart Klasik Yunan Sistemi) ve ilemler için 
büyük Yunan harfleri kullanılır.  Eksi iareti, ekstra bir ayaı olan büyük lambda sembolüyle 
gösterilir.  Bilinmeyende  sembolüyle gösterilir.  Bu semboller Tablo 2’de özetlenmitir. 
  
Diophantus zamanında, 0 ile ilgili hiçbir sembol yoktur.  Yukarıda ifade edildii gibi, 
Diophantus, döneminin cebirsel sembollerini tanıtmaya çalıan matematikçilerin en önde 
geleniydi.  Diophantus’tan Rönasansın ilk yıllarına kadar, seyrek giriimler olduysa da, 15 ve 
16. yüzyıllara kadar gerekli daha ileri düzeyde bir geliim gösterilememitir. 
 
Bu noktada cebirsel kısaltmalarla ilgili olarak, Hint matematikçilerinin yaptıkları çalımalara 
deinilmelidir (Eves, 1983, s.130; Kramer, 1982, s.66).  Dierlerinin arasında, Bragmagupta, 7. 
yüzyılda kısaltma biçimini kullanmıtır.   Bragmagupta’dan sonraki dier Hintli matematikçiler 
Büyük Harf Küçük Harf 
  
Birim   
   
Bilinmeyen 
 
  2 
 
Bilinmeyenin 
Karesi  
  3 
  
Bilinmeyenin Küpü 
 
  4 
  
Eksi 
 
  5 
 221 
kısaltmanın benzer ekillerini kullanmılardır.  Tablo 3’te temel sembol ve ilemler için bir 
anahtar verilmitir 
 
       Tablo2                              Tablo 3 
 
 
 
 
 
Tablo 4, Bragmagupta’nun notasyonunun modern cebirsel ifadelere dönütürülmü eklini 
sunmaktadır. Diophantus’tan sonraki süreçte, hem Hint hem de Arap matematikçileri, karmaık 
problemlerdeki aratırmaları içinde onlara yardım etmesi için cebirsel kısaltmayı 
kullanmılardır.  Bu bizi Avrupa’nın matematik dünyasının merkezi olduu Rönesans 
dönemime götürür.  Bu dönemde daha çok ileri matematikle ilgilenildi ve gelimi bir 
terminolojiye iddetle ihtiyaç duyuldu. 
 
   Tablo 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Makalenin sonuç bölümü, 1450’den 1650’ye kadar geçen dönemi göz önüne sermektedir.  Bu 
süre boyunca, çeitli matematikçiler kısa ve yalın iaretlerden oluan yazı yöntemi (stenografi) 
ilerlemilerdi ki, bu yazı sistemi 1600’lerin ortalarına kadar kısaltmalardan sembollere 
geliiyordu.  Biz bugün tanınabilir bir cebir yazma sistemine sahibiz.  Bunun nasıl gerçekletii 
göstermek için çeitli zamanlardan alınmı kısa ve yalın iaretlerden oluan yazı yöntemi 
(stenografi)’ne bakmalıyız (Hogben, 1936, s.259). 
lk örneimiz, Regiomontanus’tan.  De triangulisin yazarı, gerçek ismi, Johann Müller of 
Königsberg (1436–1476)—zamanının önemli bir matematikçisi (Boyer, 1989, s.272).  1464’ten 
bir örnek,  
 
                                      3 census et 6 demptis 5 rebus aequatur zero, 
 
3x2 ve 6’yı 5x’den çıkar, eittir 0 eklinde okunur.  30 yıl sonra, Pacioli ‘Summa de 
arithmetica’ adlı kitabında aynı ifadeyi yazmıtır (1494).   
 
                                                  3 ce p 6 m 5 rebus ae 0, olarak 
 
 
Bilinmeyenin 
Küpünün iki 
katı 
 
Bilinmeyenin 
Dört katı 
 
Eksi 
 
Bilinmeyenin 
karesinin üç 
katı 
 
Be Birim 
Madde Entegrasyon 
Toplama Yan yana koyarak 
Çıkarma Çıkan sayı üzerindeki leke 
Çarpma Çarpılacak faktörlerden 
sonra bha yazılır. 
Karekök 
 
Bilinmeyen 
 
Bilinen tamsayı 
 
kinci bilinmeyen 
 
Modern ifade Brahmagupta’nın ifadesi 
 
 
 
 
 
 
  
 222 
Robert Recorde, eittir için ‘=’ sembolünü 1557’de kitabı olan ‘The Whetstone of Witte’ adlı 
kitabında tanıtmıtır. (Eves, 1983, s.130). 
 
1558’de Flandradaki Simon Steven (1548–1620),  ifadesini aaıdaki ekilde 
yazmıtır. 
 
 
 
Fransa’da 1591’de Francois Viete ise bu denklemi 3 in A quad – 5 in A plano + 6 aequator 0 
eklinde yazmıtır. 
 
Viate tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biridir.  Fakat notasyonu, stevin’in 
notasyonu ile karılatırıldıında daha çok cazip gelmitir. 
 
Gelecek yüzyıla geldiimizde, Descartes 1637’de   eklinde yazmıtır. 
 
Regiomontaus (1414), Diophantusun kullandıı yapıya benzer, bir yapı kullanır.  Regiomantus 
sıfır sembolüne iaret eder ki, bu Diophantus tarafından kullanılmamıtır.  Fakat Regiomontaus 
kısaltmalar yerine uzun kelimeler kullanmıtır.  Regiomontaus ve Pacioli’nin her ikiside tüm 
ifadeyi sıfıra eitlemeden önce, tüm pozitif terimleri eitliin sol tarafında, negatif terimleri ise 
eitliin sa tarafında olacak ekilde gruplandırmıtır.  Stevin(1585), Viete’nin (1591) ‘+’, ‘-’ , 
ve ‘=’ sembollerini içerek ekilde yaptıı gibi, modern yapıya benzer bir yapı kullanmılardır.  
Modern notasyonumuza benzer ekilde, Vieta 1. bilinmeyen için A sembolünü kullanmı, ikinci 
bilinmeyen için ise B sembolünü kullanmıtır.  Bunun yanında, Vieta, kısaltmalar ve uzun 
kelimelerin bir karıımını kullanmıtır.  Descartes modern çaın balangıcında, bilinmeyenler 
için alfabenin sonundaki harfleri, bilinenler için alfabenin baındaki harfleri kullanmıtır. 
Bu noktada, yukarıda bahsettiimiz gibi matematiksel notasyonların çarpıcı bir ekilde 
geniledii modern çaa girdiimizden dolayı makalemizi sonlandırıyoruz. 
 
Kaynaklar 
 
Boyer, C. (1989). A History of Mathematics (rev.). Newyork: Wiley 
Eves, H. (1983). Great Moments in Mathematics Before 1650. The Mathematical Association of 
America. 
Heath, T. (1908; rev. 1956). The Thirteen Books of Euclid’s Elements (2nd Ed.). Dover 
Publications. 
Hogben, L. (1936, rev. 1989). Mathematics for the Million. Rendlesham, UK: Merlin Pres. 
Kramer, E. (1982). The Nature and Growth of Modern Mathematics, Vol. 1. Princeton 
University Press. 


Cebri Yazma Metotlarımız Nasıl Değişim Gösterdi:Tarihe Yolculuk

http://ilkogretim-online.org.tr/index.php/io/article/download/1870/1706

Cebri Yazma Metotlarımız Nasıl Değişim Gösterdi:Tarihe Yolculuk

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

İlköğretim Online (İOO - E-Journal)