Kugelschwingungen können anhand der Anzahl und Lage ihrer Knotenflächen klassifiziert werden. Die Geometriekann allerdings nicht einfach in zwei Dimensionen dargestellt werden. Ein Lösungsansatz ist daher die Darstellungmittels Animationen und 3D-gedruckten haptischen Modellen. Dieser Ansatz bietet eine Möglichkeit, das Lernenvon Kugelflächenfunktionen und Kugelschwingungen sinnvoll zu unterstützen

Heusler, Stefan

Ubben, Malte

PhyDid - Physik und Didaktik in Schule und Hochschule (E-Journal, FU Berlin)

Didaktik der Physik  Frühjahrstagung – Würzburg 2018 Ein haptischer Zugang zu Moden von Kugelschwingungen Malte Ubben*, Stefan Heusler* *Institut für Didaktik der Physik, Westfälische Wilhelms-Universität, Wilhelm-Klemm-Str. 10, 48149 Münstermalte.ubben@uni-muenster.de, stefan.heusler@uni-muenster.de Kurzfassung Kugelschwingungen können anhand der Anzahl und Lage ihrer Knotenflächen klassifiziert werden. Die Geometrie kann allerdings nicht einfach in zwei Dimensionen dargestellt werden. Ein Lösungsansatz ist daher die Darstellung mittels Animationen und 3D-gedruckten haptischen Modellen. Dieser Ansatz bietet eine Möglichkeit, das Lernen von Kugelflächenfunktionen und Kugelschwingungen sinnvoll zu unterstützen. 1. EinleitungEine Auseinandersetzung mit Kugelwellen – und in diesem Zusammenhang auch Kugelflächen-funktio-nen – gehört zu jedem Physikstudium dazu. Die An-wendbarkeit dieser Schwingungen ist zahlreich und nicht auf eine bestimmte Größenordnung einge-schränkt – ob es sich nun um Schwingungen auf der Oberfläche des Erdballs, einer Seifenblase oder in der Hülle eines Atoms handelt, eine Beschreibung mittels Überlagerung von Grundmoden der Kugelschwin-gungen ist oft zweckmäßig. Der mathematische Zugang zu diesen Funktionen ist bereits Teil der Hochschullehre, wobei eine qualita-tive Darstellung der Schwingungen meist nur mittels Bildmaterial erfolgt.  Hinzukommend zu den bereits bekannten Bild-mate-rialien und Animationen stellen wir ein 3D-gedruck-tes Modell vor, welches als sinnvolle Ergänzung beim Erlernen von Kugelschwingungen genutzt werden kann. 2. Qualitative Herleitung der 3D-ModelleDie Grundidee unserer qualitativen Betrachtung ist die Klassifikation von Schwingungsmoden einzig an-hand ihrer Knoten. Dabei wird die Tatsache genutzt, dass Punkte mit dem permanenten Wert 0 sowohl in komplexen Schwingungsfunktionen als auch in reel-len Schwingungsfunktionen Orte eines zeitlichen Stillstandes darstellen.  Der erste Schritt bei einer Analyse von Kugelschwin-gungsmoden hinsichtlich ihrer Knotenpunkte ist es, eine allgemeine Kugelschwingungsmode 𝑓𝑘𝑙𝑚(r, ϑ, φ)  in ihren Radial- und ihren Winkelanteilzu zerlegen: 𝑓𝑘𝑙𝑚(r, ϑ, φ) = 𝑅𝑘(r) ⋅ 𝑌𝑙𝑚(ϑ, φ).     {1}Zunächst wird nur der Winkelanteil betrachtet, wel-cher durch die beiden ganzen Zahlen 𝑙 und 𝑚 klassi-fizierbar ist. Dies erlaubt es, zunächst nur die Ober-fläche einer Kugel von beliebigem Radius zu unter-suchen. Werden nun die Nullstellen der Funktion 𝑌𝑙𝑚(ϑ, φ) gesucht,so findet man, dass genau diese beiden Parameter 𝑙 und 𝑚 alle notwendigen qualitativen Aspekte hin-sichtlich einer Lokalisierung dieser Knoten beinhal-ten: Die Knoten bilden jeweils Linien, die in sich ge-schlossen auf der Kugeloberfläche verlaufen. Die An-zahl dieser Knotenlinien wird durch den Parameter 𝑙 beschrieben. Ist nun diese Anzahl bekannt, kann an m die Ausrich-tung dieser Knotenlinien abgelesen werden. Dabei gibt m an, wie viele Knotenlinien die Drehachse der Kugel schneiden; durch das Vorzeichen von m wird zusätzlich auch noch die Drehrichtung angegeben: Ein positives Vorzeichen weist auf rechtsdrehende Knotenlinien hin, ein negatives auf linksdrehende. Diese Betrachtung macht auch schnell verständlich, warum immer 𝑙 ≥ |𝑚| gelten muss – es können nicht mehr Knotenlinien die Drehachse schneiden, als Kno-tenlinien vorhanden sind.  Abbildung 1: Kugelschwingungsmodenmodell mit Parametern 𝑙 = 2 und 𝑚 = 0 in geschlossener und of-fenen Form. Da die Drehung einer Kugel nur in bewegten Bildern gut dargestellt werden kann, bietet es sich in der Lehre an, hier Animationen zu verwenden (beispiels-weise [1]). Der Vorteil dieser bewegten Bilder liegt dabei in ihrer Dynamik, der Nachteil allerdings ist die Beschränkung auf eine einzige – wenn auch beliebig große – Oberfläche. Die Funktion 𝑌𝑙𝑚(ϑ, φ) gibt aberso für jeden beliebigen Radius dieselbe relative Lage der Knotenlinien an. 3. Aufbau der 3D-ModelleUm zu verstehen, was dies in drei Dimensionen be-deutet, wurden dreidimensionale Modelle entwickelt, 379Ubben, Heusler die mithilfe eines 3D-Druckers realisiert wurden.  Ei-nes der Modelle ist beispielhaft in Abb.1 zu sehen.  Diesem Modell liegt die Kugelflächenfunktion mit den Parametern  𝑙 = 2 und 𝑚 = 0 zugrunde. Von außen zu sehen sind nur die beiden rot dargestellten Knoten-linien, die beide nicht die Rotationsachse schneiden. Öffnet man das Modell jedoch, so wird schnell er-sichtlich, dass diese Knotenlinien – über mehrere Ra-dien betrachtet – eine Knotenfläche in Form eines Doppelkegels ausbilden. Somit kann im Modell die gesamte Knotenfläche innerhalb einer beliebig gro-ßen, schwingenden Kugel visualisiert werden.  Abbildung 2: Die beiden Kugelschwingungsmoden 𝑓020(r, ϑ, φ)) und 𝑓120(r, ϑ, φ) sind erst unterscheid-bar, wenn sie geöffnet betrachtet werden. Wird nun nicht nur der Winkelanteil 𝑌𝑙𝑚(ϑ, φ) von𝑓𝑘𝑙𝑚(r, ϑ, φ) betrachtet, sondern zusätzlich auch derRadialanteil 𝑅𝑘(r), so kommt nur ein einziger weite-rer Parameter hinzu: k, welcher die Anzahl der radia-len Knotenflächen angibt. Diese radialen Knotenflä-chen sind von außen nicht auf der Kugeloberfläche sichtbar; erst das Innere der Kugel gibt einen Auf-schluss über diese Flächen. So sind die beiden Kugel-schwingungsmoden 𝑓020(r, ϑ, φ)) und 𝑓120(r, ϑ, φ)nur zu unterscheiden, wenn sie dreidimensional be-trachtet werden (siehe Abb. 2). Die nun hergeleiteten dreidimensionalen Modelle beschreiben jegliche möglichen Grundschwingungsmoden einer Kugel. 4. Beispielhafte Anwendung der 3D-Modelle anAtomorbitalen und Chladnischen KlangfigurenDie 3-Dimensionalen Modelle können unter anderem dazu verwendet werden, ein tiefergreifendes Ver-ständnis über den Aufbau des Periodensystems erhal-ten zu können [2].  Dabei ist die Vererbung der Knotenflächen von Ku-gelschwingungsmoden auf die Orbitale ausschlagge-bend. Die Wellenfunktionen gebundener Elektronen in der Atomhülle können bekannterweise mittels der Schrödingergleichung berechnet werden. Die Lösun-gen entsprechen hier genau Funktionen der Art 𝑓𝑘𝑙𝑚(r, ϑ, φ).Die Wellenfunktionen sind zwar komplexer Natur und die Modelle können daher nur für die Visualisie-rung des Realteils oder des Imaginärteils einzeln die-nen, jedoch bleiben die Knotenflächen dieselben. Auch wenn nun das Betrag und anschließend das Quadrat einer der Elektronwellenfunktionen gebildet  wird, bleiben diese erhalten. So lassen sich die 3D-Modelle als „Blaupausen“ für die Atomorbitale ver-stehen (siehe Abb.3). Die vorgestellten haptischen Modelle zeigen außer-dem auf überraschende Weise die Chladnischen Klangfiguren: Die Schnittflächen entsprechen genau den Schwingungsmoden, die man auf einer runden angeregten Platte finden würde (siehe Abb.3).  Abbildung 3: Vergleich des p-Orbitals (unten links), der zugehörigen Kugelschwingungsmode im Modell (oben) und die zugehörige Chladnische Klangfigur (unten rechts). Dieser Zusammenhang zeigt eindrücklich, dass die 3D-Welt aus der 2D-Welt hervorgeht und könnte auch in der Hochschule zu einem besseren Verständ-nis von Kugelschwingungen führen. Außerdem stel-len die Schnitte durch die Modelle auch Modelle der Klangfiguren selbst dar. 5. Literatur[1] Heusler, Stefan (2017): Quantenspiegelun-gen. Url:  http://www.quantenspiegelungen.de (Stand 5/2018)    [2] Ubben, Malte & Heusler, Stefan (2018): A haptic approach to spherical vibrations. In: European Journal of Physics, 39 (4) 380

Ein haptischer Zugang zu Moden von Kugelschwingungen

http://www.phydid.de/index.php/phydid-b/article/download/856/994

Ein haptischer Zugang zu Moden von Kugelschwingungen

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